Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
La Réunion - Session 2006

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L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
8 points

exercice

Le tableau suivant, extrait du dernier recensement de l'INSEE, présente des données concernant le département du Nord et ses 6 arrondissements. Il porte sur le nombre de naissances observées dans ce département, et parmi elles, précise le nombre de nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement, et le nombre de mères n'ayant pas subi la totalité des 7 consultations prénatales normalement prévues.

  Nom de la zone Nombre de
naissances
Nombre de
nouveaux-nés
bénéficiant d'un
allaitement
Nombre de
naissances dont
la mère a
bénéficié de
moins de 7
consultations
prénatales
ARRONDISSEMENT AVESNES-SUR-HELPE 3 210 1 226 371
CAMBRAI 2 194 864 379
DOUAI 3 395 1 379 364
DUNKERQUE 5 026 1 921 488
LILLE 17 967 9 818 2 092
VALENCIENNES 4 881 2 163 608
DEPARTEMENT DU NORD TOTAL 36 673 17 371 4 302


1. a) On sait par ailleurs que 7,29 % des nouveaux-nés de Cambrai étaient de "petit poids", c'est-à-dire avaient un poids de naissance inférieur à 2500 grammes. Déterminer le nombre de ces nouveaux-nés de "petit poids" en arrondissant à l'unité.
    b) Les nouveaux-nés de "petit poids" de Cambrai représentent 6,14 % de tous les nouveaux-nés de "petit poids" du département du Nord. Calculer le nombre des nouveaux-nés du Nord qui sont de "petit poids" (on arrondira à 1 près).

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 0,001 près.

2. On choisit au hasard un nouveau-né dans le département du Nord. On considère les événements suivants :
  A : " le nouveau-né bénéficie d'un allaitement " ;
  D : " le nouveau-né est né dans l'arrondissement de Dunkerque ".
    a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et D.
    b) Définir par une phrase l'événement \bar{\text{A}} et calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase l'événement \bar{\text{A}} \cap \text{D} et calculer sa probabilité.
    d) Calculer la probabilité de l'événement \bar{\text{A}} \cup \text{D}.

3. On choisit maintenant au hasard un nouveau-né du département du Nord dont la mère n'a pas bénéficié des 7 consultations prénatales. Quelle est la probabilité qu'il soit né à Lille ?


12 points

probleme

Partie A

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 5] par f(t) = 30e-0,4t.

1. a) Calculer f'(t).
    b) Etudier le signe de f'(t) sur l'intervalle [0 ; 5].
    c) En déduire le tableau de variations de f (dans ce tableau n'apparaîtront que des valeurs exactes).

2. Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,1 près :
t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5
f(t)     20,1   13,5   9    


3. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :
  2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses.
  0,5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

Partie B

On dissout 30 kg de sucre dans de l'eau. A chaque instant t, exprimé en heures, on note y(t) la quantité, exprimée en kg, de sucre non encore dissous. On admet que la fonction y est solution de l'équation différentielle y' = -0,4y.

1. a) Résoudre l'équation différentielle y' = -0,4y.
    b) Trouver la solution telle que y(0) = 30 puis vérifier que cette solution est la fonction f de la partie A.

2. Utiliser la partie A pour déterminer graphiquement, en faisant apparaître les traits de construction utiles :
    a) Au bout de combien de temps on aura 50 % de la quantité de sucre dissoute.
    b) Le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de 40 % de la quantité initiale.

3. Retrouver le résultat de la question 2. a) en résolvant une équation. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à 0,1 près.








exercice

1. a) Déterminons le nombre de ces nouveaux-nés de "petit poids" :
7,29 % des 2 194 nouveaux-nés de Cambrai sont de " petit-poids ".
\dfrac{7,29}{100} \times 2 194 \approx 160 à 1 près.
Il y a eu 160 nouveaux-nés de " petit poids " dans l'arrondissement de Cambrai.

1. b) Calculons le nombre des nouveaux-nés du Nord qui sont de " petit poids " :
Les 160 nouveaux-nés de " petit poids " de Cambrai représentent 6,14 % de tous les nouveaux-nés de " petit poids " du département du Nord.
Le nombre de nouveaux-nés de " petit poids " du Nord est donc égal à \dfrac{100 \times 160}{6,14}, soit environ 2 606.

2. a) Calculons la probabilité des événements A et B :
A : " le nouveau-né bénéficie d'un allaitement".
Parmi les 36 676 nouveaux-nés, 17 371 bénéficient d'un allaitement.
D'où : p(A) = \dfrac{17\;371}{36\;676} \approx 0,474 à 0,001 près.

D : " le nouveau-né est né dans l'arrondissement de Dunkerque ".
Parmi les 36 676 nouveaux-nés, 5 026 sont nés dans l'arrondissement de Dunkerque.
D'où : p(D) = \dfrac{5\;026}{36\;676} \approx 0,137 à 0,001 près.

2. b) Calculons la probabilité de l'événement \bar{A} :
\bar{A} : " le nouveau-né ne bénéficie pas d'un allaitement ".
On a : p\left(\bar{A}\right) = 1 - p(A)
D'où : p\left(\bar{A}\right) \approx 0,526 à 0,001 près.

2. c) Calculons la probabilité de l'événement \bar{A} \cap D :
\bar{A} \cap D : " le nouveau-né ne bénéficie pas d'un allaitement et est né dans l'arrondissement de Dunkerque ".
Parmi les 5 026 nouveaux-nés de l'arrondissement de Dunkerque, 1 921 bénéficient d'un allaitement. Donc (5 026 - 1 921) ne bénéficient pas d'un allaitement.
D'où : p(\bar{A} \cap D) = \dfrac{5\;026 - 1\;921}{36\;673} = \dfrac{3\;105}{36\;676} \approx 0,085 à 0,001 près.

2. d) Calculons la probabilité de l'événement \bar{A} \cup D :
p(\bar{A} \cup D}) = p(\bar{A}) + p(D) - p(\bar{A} \cap D)
Donc : p(\bar{A} \cup D}) = \dfrac{19\;302}{36\;673} + \dfrac{5\;026}{36\;676} - \dfrac{3\;105}{36\;676} = \dfrac{21\;223}{36\;676} \approx 0,579 à 0,001 près.

3. Déterminons la probabilité pour que le nouveau-né choisi au hasard soit né à Lille :
Parmi les 4 302 nouveaux-nés dont la mère a bénéficié de moins de sept consultations prénatales, 2 092 sont nés à Lille. Donc la probabilité cherchée est égale à \dfrac{2\;092}{4\;302} \approx 0,486 à 0,001 près.




probleme

Partie A

1. a) Calculons f'(t) :
f est dérivable sur [0 ; 5]. Pour tout réel t de [0 ; 5], on a :
f '(t) = 30 × (-0,4) e-0,4t
f '(t) = -12e-0,4t

1. b) Etudions le signe de f'(t) sur l'intervalle [0 ; 5] :
Pour tout réel t de [0 ; 5], e-0,4t > 0,
donc pour tout réel t de [0 ; 5], -12e-0,4t < 0.
D'où : pour tout réel t de [0 ; 5], f '(t) < 0.

1. c) Déduisons-en le tableau de variations de f :
De la question précédente, on en déduit que f est strictement décroissante sur [0 ; 5].
\begin{array}{|c|lcr|} \hline  t&0&&5 \\ \hline  f'(t)&&-& \\ \hline  \hspace{1pt}&30&& \\ f(t)&&\searrow& \\ \hspace{1pt}&&&30e^{-2}\\ \hline  \end{array}
f(0) = 30 × e-,04 × 0 = 30
f(5) = 30 × e-0,4 × 5 = 30e-2

2. Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,1 près :
t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5
f(t) 30 24,6 20,1 16,5 13,5 11,0 9 6,1 4,1


3. Traçons la courbe représentative de la fonction f :
bac SMS Réunion 2006 : image 1


Partie B

1. a) Résolvons l'équation différentielle y' = -0,4y :
y' = 0,4y est de la forme y' = ay avec a = -0,4. Les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont les fonctions y définies sur \mathbb{R} par : y(x) = Ce^{-0,4x}, où C est une constante réelle.

1. b) Trouvons la solution telle que y(0) = 30 :
On cherche la solution telle que y(0) = 30, donc : C × e-0,4 × 0 = 30, ce qui équivaut à C = 30.
D'où : la solution sur [0 ; 5] de l'équation différentielle y' = -0,4y telle que y(0) = 30 est donnée par y(x) = 30e^{-0,4x} qui est la fonction f de la partie A.

2. a) Déterminons au bout de combien de temps on aura 50 % de la quantité de sucre dissoute :
On veut que 50% de la quantité de sucre soit dissous. Il y aura aura alors 50% de sucre non dissous, c'est-à-dire \frac{50}{100} \times 30 = 15 (soit 15 kg).
On trace la droite d'équation y = 15 (en rouge). Elle coupe la courbe représentative de la fonction f en un point d'abscisse 1,7.
Donc : au bout de 1,7 heures (soit 1h 42min), on aura 50% de la quantité de sucre dissoute.

2. b) Déterminons le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de 40 % de la quantité initiale :
40% de la quantité initiale représent \frac{40}{100} \times 30, soit 12 kg. Si 12 kg de sucre sont dissous, il reste 30 - 12 = 18 kg de sucre non dissous.
On trace la droite d'équation y = 18 (en bleu). Elle coupe la courbe représentative de la fonction f en un point d'abscisse 1,3.
Donc : la quantité de sucre dissous représente moins de 40% de la quantité initiale pendant 1,3 heures (soit 1h 18min).

3. Retrouvons le résultat de la question 2. a) en résolvant une équation :
f(t) = 15 \Longleftrightarrow 30e^{-0,4t} = 15 \\ \Longleftrightarrow e^{-0,4t} = \frac{15}{30} \\ \Longleftrightarrow e^{-0,4t} = 0,5\\ \Longleftrightarrow -0,4t = \ln 0,5 \text{ la fonction } \ln  \text{ est continue et strictement croissante sur } ]0 ; +\infty[\\ \Longleftrightarrow t = \dfrac{\ln 0,5}{-0,4}
\Longleftrightarrow t \approx 1,7 à 0,1 près.
On retrouve bien le résultat de la question 2. a).
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