Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
La Réunion - Session 2006

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Le tableau suivant, extrait du dernier recensement de l'INSEE, présente des données concernant le département du Nord et ses 6 arrondissements. Il porte sur le nombre de naissances observées dans ce département, et parmi elles, précise le nombre de nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement, et le nombre de mères n'ayant pas subi la totalité des 7 consultations prénatales normalement prévues.

	Nom de la zone	Nombre de naissances	Nombre de nouveaux-nés bénéficiant d'un allaitement	Nombre de naissances dont la mère a bénéficié de moins de 7 consultations prénatales
ARRONDISSEMENT	AVESNES-SUR-HELPE	3 210	1 226	371
	CAMBRAI	2 194	864	379
	DOUAI	3 395	1 379	364
	DUNKERQUE	5 026	1 921	488
	LILLE	17 967	9 818	2 092
	VALENCIENNES	4 881	2 163	608
DEPARTEMENT DU NORD	TOTAL	36 673	17 371	4 302

1. a) On sait par ailleurs que 7,29 % des nouveaux-nés de Cambrai étaient de "petit poids", c'est-à-dire avaient un poids de naissance inférieur à 2500 grammes. Déterminer le nombre de ces nouveaux-nés de "petit poids" en arrondissant à l'unité.
b) Les nouveaux-nés de "petit poids" de Cambrai représentent 6,14 % de tous les nouveaux-nés de "petit poids" du département du Nord. Calculer le nombre des nouveaux-nés du Nord qui sont de "petit poids" (on arrondira à 1 près).

Dans les questions suivantes, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie à 0,001 près.

2. On choisit au hasard un nouveau-né dans le département du Nord. On considère les événements suivants :
A : " le nouveau-né bénéficie d'un allaitement " ;
D : " le nouveau-né est né dans l'arrondissement de Dunkerque ".
    a) Calculer la probabilité de chacun des événements A et D.
    b) Définir par une phrase l'événement $\bar{\text{A}}$ et calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase l'événement $\bar{\text{A}} \cap \text{D}$ et calculer sa probabilité.
    d) Calculer la probabilité de l'événement $\bar{\text{A}} \cup \text{D}$ .

3. On choisit maintenant au hasard un nouveau-né du département du Nord dont la mère n'a pas bénéficié des 7 consultations prénatales. Quelle est la probabilité qu'il soit né à Lille ?

12 points

probleme

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 5] par $f$ (t) = 30e^-0,4t.

1. a) Calculer $f'(t)$ .
b) Etudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0 ; 5].
c) En déduire le tableau de variations de $f$ (dans ce tableau n'apparaîtront que des valeurs exactes).

2. Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,1 près :

t	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	4	5
$f$ (t)			20,1		13,5		9

3. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques :
2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses.
0,5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

Partie B

On dissout 30 kg de sucre dans de l'eau. A chaque instant t, exprimé en heures, on note y(t) la quantité, exprimée en kg, de sucre non encore dissous. On admet que la fonction y est solution de l'équation différentielle y' = -0,4y.

1. a) Résoudre l'équation différentielle y' = -0,4y.
    b) Trouver la solution telle que y(0) = 30 puis vérifier que cette solution est la fonction $f$ de la partie A.

2. Utiliser la partie A pour déterminer graphiquement, en faisant apparaître les traits de construction utiles :
    a) Au bout de combien de temps on aura 50 % de la quantité de sucre dissoute.
    b) Le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de 40 % de la quantité initiale.

3. Retrouver le résultat de la question 2. a) en résolvant une équation. On donnera la valeur exacte de la solution puis une valeur approchée à 0,1 près.

Voir la correction

exercice

1. a) Déterminons le nombre de ces nouveaux-nés de "petit poids" :
7,29 % des 2 194 nouveaux-nés de Cambrai sont de " petit-poids ".
$\dfrac{7,29}{100} \times 2 194 \approx 160$ à 1 près.
Il y a eu 160 nouveaux-nés de " petit poids " dans l'arrondissement de Cambrai.

1. b) Calculons le nombre des nouveaux-nés du Nord qui sont de " petit poids " :
Les 160 nouveaux-nés de " petit poids " de Cambrai représentent 6,14 % de tous les nouveaux-nés de " petit poids " du département du Nord.
Le nombre de nouveaux-nés de " petit poids " du Nord est donc égal à $\dfrac{100 \times 160}{6,14}$ , soit environ 2 606.

2. a) Calculons la probabilité des événements A et B :
A : " le nouveau-né bénéficie d'un allaitement".
Parmi les 36 676 nouveaux-nés, 17 371 bénéficient d'un allaitement.
D'où : p(A) = $\dfrac{17\;371}{36\;676} \approx 0,474$ à 0,001 près.

D : " le nouveau-né est né dans l'arrondissement de Dunkerque ".
Parmi les 36 676 nouveaux-nés, 5 026 sont nés dans l'arrondissement de Dunkerque.
D'où : p(D) = $\dfrac{5\;026}{36\;676} \approx 0,137$ à 0,001 près.

2. b) Calculons la probabilité de l'événement $\bar{A}$ :
$\bar{A}$ : " le nouveau-né ne bénéficie pas d'un allaitement ".
On a : $p\left(\bar{A}\right)$ = 1 - p(A)
D'où : $p\left(\bar{A}\right) \approx 0,526$ à 0,001 près.

2. c) Calculons la probabilité de l'événement $\bar{A} \cap D$ :
$\bar{A} \cap D$ : " le nouveau-né ne bénéficie pas d'un allaitement et est né dans l'arrondissement de Dunkerque ".
Parmi les 5 026 nouveaux-nés de l'arrondissement de Dunkerque, 1 921 bénéficient d'un allaitement. Donc (5 026 - 1 921) ne bénéficient pas d'un allaitement.
D'où : $p(\bar{A} \cap D) = \dfrac{5\;026 - 1\;921}{36\;673} = \dfrac{3\;105}{36\;676} \approx 0,085$ à 0,001 près.

2. d) Calculons la probabilité de l'événement $\bar{A} \cup D$ :
$p(\bar{A} \cup D}) = p(\bar{A}) + p(D) - p(\bar{A} \cap D)$
Donc : $p(\bar{A} \cup D}) = \dfrac{19\;302}{36\;673} + \dfrac{5\;026}{36\;676} - \dfrac{3\;105}{36\;676} = \dfrac{21\;223}{36\;676} \approx 0,579$ à 0,001 près.

3. Déterminons la probabilité pour que le nouveau-né choisi au hasard soit né à Lille :
Parmi les 4 302 nouveaux-nés dont la mère a bénéficié de moins de sept consultations prénatales, 2 092 sont nés à Lille. Donc la probabilité cherchée est égale à $\dfrac{2\;092}{4\;302} \approx 0,486$ à 0,001 près.

probleme

Partie A

1. a) Calculons $f'(t)$ :
$f$ est dérivable sur [0 ; 5]. Pour tout réel t de [0 ; 5], on a :
f '(t) = 30 × (-0,4) e^-0,4t
f '(t) = -12e^-0,4t

1. b) Etudions le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0 ; 5] :
Pour tout réel t de [0 ; 5], e^-0,4t > 0,
donc pour tout réel t de [0 ; 5], -12e^-0,4t < 0.
D'où : pour tout réel t de [0 ; 5], f '(t) < 0.

1. c) Déduisons-en le tableau de variations de $f$ :
De la question précédente, on en déduit que $f$ est strictement décroissante sur [0 ; 5].
$\begin{array}{|c|lcr|} \hline t&0&&5 \\ \hline f'(t)&&-& \\ \hline \hspace{1pt}&30&& \\ f(t)&&\searrow& \\ \hspace{1pt}&&&30e^{-2}\\ \hline \end{array}$
f(0) = 30 × e^{-,04 × 0} = 30
f(5) = 30 × e^{-0,4 × 5} = 30e^-2

2. Reproduire et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,1 près :

t	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	4	5
$f$ (t)	30	24,6	20,1	16,5	13,5	11,0	9	6,1	4,1

3. Traçons la courbe représentative de la fonction $f$ :

Partie B

1. a) Résolvons l'équation différentielle y' = -0,4y :
y' = 0,4y est de la forme y' = ay avec a = -0,4. Les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont les fonctions y définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x) = Ce^{-0,4x}$ , où C est une constante réelle.

1. b) Trouvons la solution telle que y(0) = 30 :
On cherche la solution telle que y(0) = 30, donc : C × e^{-0,4 × 0} = 30, ce qui équivaut à C = 30.
D'où : la solution sur [0 ; 5] de l'équation différentielle y' = -0,4y telle que y(0) = 30 est donnée par $y(x) = 30e^{-0,4x}$ qui est la fonction $f$ de la partie A.

2. a) Déterminons au bout de combien de temps on aura 50 % de la quantité de sucre dissoute :
On veut que 50% de la quantité de sucre soit dissous. Il y aura aura alors 50% de sucre non dissous, c'est-à-dire $\frac{50}{100} \times 30 = 15$ (soit 15 kg).
On trace la droite d'équation y = 15 (en rouge). Elle coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point d'abscisse 1,7.
Donc : au bout de 1,7 heures (soit 1h 42min), on aura 50% de la quantité de sucre dissoute.

2. b) Déterminons le temps pendant lequel la quantité de sucre dissous représente moins de 40 % de la quantité initiale :
40% de la quantité initiale représent $\frac{40}{100} \times 30$ , soit 12 kg. Si 12 kg de sucre sont dissous, il reste 30 - 12 = 18 kg de sucre non dissous.
On trace la droite d'équation y = 18 (en bleu). Elle coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en un point d'abscisse 1,3.
Donc : la quantité de sucre dissous représente moins de 40% de la quantité initiale pendant 1,3 heures (soit 1h 18min).

3. Retrouvons le résultat de la question 2. a) en résolvant une équation :
$f(t) = 15 \Longleftrightarrow 30e^{-0,4t} = 15 \\ \Longleftrightarrow e^{-0,4t} = \frac{15}{30} \\ \Longleftrightarrow e^{-0,4t} = 0,5\\ \Longleftrightarrow -0,4t = \ln 0,5 \text{ la fonction } \ln \text{ est continue et strictement croissante sur } ]0 ; +\infty[\\ \Longleftrightarrow t = \dfrac{\ln 0,5}{-0,4}$
$\Longleftrightarrow t \approx 1,7$ à 0,1 près.
On retrouve bien le résultat de la question 2. a).

Publié par Cel/Cel le 21-02-2007

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