Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Antilles-Guyane - Session 2006

L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Une maladie atteint 3 % d'une population de 30 000 habitants. On soumet cette population à un test.
parmi les bien portants, 2 % ont un test positif ;
parmi les individus malades, 49 ont un test négatif.

1. Reproduire puis compléter le tableau suivant :

	Malades	Bien portants	Total
Test positif
Test négatif
Total			30 000

Dans les questions suivantes, les résultats numériques demandés seront donnés à 10^-3 près.

2. On choisit au hasard un individu de cette population. On considère les événements T et M suivants :
T : « le test est positif pour l'individu choisi » ;
M : « l'individu choisi est malade ».

    a) Calculer la probabilité de chacun des événements T et M.
    b) Définir par une phrase l'événement $\bar{\text{T}}$ et calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase chacun des événements M $\cup$ T et $\bar{\text{M}} \cap \text{T}$ .
    d) Calculer les probabilités des événements M $\cup$ T et $\bar{\text{M}} \cap \text{T}$ .

3. On décide d'hospitaliser tous les individus qui ont un test positif. On choisit au hasard un individu hospitalisé. Quelle est la probabilité qu’il soit bien portant ?

12 points

probleme

Partie A : Etude et représentation graphique d'une fonction

On appelle $f$ la fonction numérique de variable réelle définie sur [0 ; 5] par $f$ (t) = te^{2 - t}.

1. Calculer $f'(t)$ et vérifier que $f'(t) = (1 - t)e^{2 - t}$ .

2. a) Etudier le signe de $f'(t)$ sur [0 ; 5].
b) Dresser le tableau de variation de $f$ (dans ce tableau ne figureront que des valeurs exactes).

3. Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront données sous forme décimale arrondie à 0,01 près) :

t	0	1	2	3	4	5
$f$ (t)				1,10

4. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormé d'unité 3 centimètres.

Partie B : Application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps

A l'instant t = 0, un malade absorbe un médicament. On admet que la concentration de celui-ci dans le sang, exprimée en mg.L^-1, en fonction du temps t exprimé en heures est donnée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A.

1. A quel instant la concentration du médicament est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ? (donner sa valeur exacte puis son approximation décimale à 0,01 mg.L^-1 près).

2. Dans cette question, on fera apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.
a) Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L^-1.
b) Déterminer graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L^-1.

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exercice

1. Une maladie atteint 3 % d'une population de 30 000 habitants. $\dfrac{3}{100} \times 30 000$ habitants sont donc malades, soit 900 habitants.
(30 000 - 900) habitants sont donc bien portants, soit 29 100 habitants.
Parmi les 29 100 bien portants, 2% ont un test positif, c'est-à-dire $\dfrac{2}{100} \times 29 100 = 582$ habitants.
(29 100 - 582) bien portants ont un test négatif, soit 28 518 habitants.
Parmi les 900 individus malades, 49 ont un test négatif. (900 - 49) ont donc un test positif, c'est-à-dire 851 individus.

	Malades	Bien portants	Total
Test positif	851	582	1 433
Test négatif	49	28 518	28 567
Total	900	29 100	30 000

2. a) Calculons la probabilité des événements T et M :
T : " le test est positif pour l'individu choisi "
Parmi les 30 000 individus, 1 433 ont un test positif. Donc :
p(T) = $\dfrac{1\;433}{30\;000} \approx 0,048$ à 10^-3 près.

M : " l'individu choisi est malade "
Parmi les 30 000 individus, 900 sont malades. Donc :
p(M) = $\dfrac{900}{30\;000} = 0,03$ .

2. b) Calculons la probabilité de $\bar{T}$ :
$\bar{T}$ : " le test n'est pas positif pour l'individu choisi ".
$p(\bar{T}) = 1 - p(T) \approx 1 - 0,048 \approx 0,952$ à 10^-3 près.

2. c) Définissions chacun des événements M $\cup$ T et $\bar{M} \cap T$ par une phrase :
M $\cup$ T : " l'individu choisi est malade ou le test est positif pour l'individu choisi "
$\bar{M} \cap T$ : " l'individu choisi n'est pas malade et le test est positif ", c'est-à-dire, " l'individu choisi est bien portant et le test est positif ".

2. d) Calculons les probabilités des événements M $\cup$ T et $\bar{M} \cap T$ :
p(M $\cup$ T) = p(M) + p(T) - p(M $\cap$ T)
Or, M $\cap$ T : " l'individu choisi est malade et a un test positif ".
851 individus sont malades et ont un test positif, donc p(M $\cap$ T) = $\dfrac{851}{30\;000}$ .
Donc : p(M $\cup$ T) = $\dfrac{900}{30\;000} + \dfrac{1\;433}{30\;000} - \dfrac{851}{30\;000} = \dfrac{1\;482}{30\;000} \approx 0,049$ à 10^-3 près.

Parmi les 30 000 individus, 582 sont bien portants et ont un test positif. Donc :
$p(\bar{M} \cap T) = \frac{582}{30\;000} \approx 0,019$ à 10^-3 près.

3. Déterminons la probabilité qu'un individu hospitalisé soit bien portant :
Parmi les 1 433 individus qui ont un test positif, 851 sont malades. La probabilité cherchée est donc égale à : $\dfrac{851}{1\;433} \approx 0,594$ à 10^-3 près.

probleme

Partie A : Etude et représentation graphique d'une fonction

1. Calculons $f'(t)$ :
$f$ est de la forme uv avec u(t) = t et v(t) = e^{2 - t}.
u et v sont deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel t, u '(t) = 1 et v '(t) = - e^{2 - t}.
Donc : $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel t, on a :
$f'(\text{t})$ = 1 × e^{2 - t} + t × (- e^{2 - t}) = (1 - t) e^{2 - t}

2. a) Etudions le signe de $f'(t)$ sur [0 ; 5] :
Pour tout réel t, e^{2 - t} est strictement positif, donc $f'(t)$ est du signe de (1 - t) sur [0 ; 5].
Donc : $f'(t)$ est positif sur [0 ; 1] et négatif sur [1 ; 5].

2. b) Dressons le tableau de variation de $f$ :
De la question précédente, on en déduit que $f$ est croissante sur [0 ; 1] et décroissante sur [1 ; 5].
$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & 0&&1&&5 \\ \hline f'(x)&&+&0&-& \\ \hline \hspace{1pt}&&&e&& \\ f(x) &&\nearrow&&\searrow& \\ \hspace{1pt}&0&&&&5e^{-3}\\ \hline \end{array}$

3. Complétons le tableau de valeurs :

t	0	1	2	3	4	5
$f$ (t)	0	2,72	2	1,10	0,54	0,25

4. Traçons la courbe représentative de la fonction $f$ :

Partie B : Application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps

1. Déterminons à quel instant la concentration du médicament est maximale :
Sur [0 ; 5], la fonction $f$ admet un maximum en 1. Ce maximum est égal à e $\approx$ 2,72.
Donc : la concentration du médicament est maximale au bout d'une heure. Elle est alors d'environ 2,72 mg.L^-1.

2. a) Déterminons graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L^-1 :
On trace la droite d'équation y = 1 sur le graphique (en rouge). Elle coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en deux points d'abscisses 0,2 et 3,2 (environ).
Donc : la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L^-1 au bout de 3,2 heures environ.

2. b) Déterminons graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L^-1 :
On trace la droite d'équation y = 2 sur le graphique (en bleu). Elle coupe la courbe représentative de la fonction $f$ en deux points d'absisses 0,4 et 2.
Donc ; la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L^-1 pendant (2 - 0,4) heures, soit 1,6 heures.

Publié par Cel/Cel le 20-02-2007

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