Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences Médico-Sociales
Antilles-Guyane - Session 2006

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L'usage des calculatrices et des instruments de calcul est autorisé.
Une feuille de papier millimétré est nécessaire pour le problème.
Le formulaire officel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
8 points

exercice

Une maladie atteint 3 % d'une population de 30 000 habitants. On soumet cette population à un test.
      parmi les bien portants, 2 % ont un test positif ;
      parmi les individus malades, 49 ont un test négatif.

1. Reproduire puis compléter le tableau suivant :
  Malades Bien portants Total
Test positif      
Test négatif      
Total     30 000


Dans les questions suivantes, les résultats numériques demandés seront donnés à 10-3 près.

2. On choisit au hasard un individu de cette population. On considère les événements T et M suivants :
      T : « le test est positif pour l'individu choisi » ;
      M : « l'individu choisi est malade ».

    a) Calculer la probabilité de chacun des événements T et M.
    b) Définir par une phrase l'événement \bar{\text{T}} et calculer sa probabilité.
    c) Définir par une phrase chacun des événements M \cup T et \bar{\text{M}} \cap \text{T}.
    d) Calculer les probabilités des événements M \cup T et \bar{\text{M}} \cap \text{T}.

3. On décide d'hospitaliser tous les individus qui ont un test positif. On choisit au hasard un individu hospitalisé. Quelle est la probabilité qu’il soit bien portant ?


12 points

probleme

Partie A : Etude et représentation graphique d'une fonction

On appelle f la fonction numérique de variable réelle définie sur [0 ; 5] par f(t) = te2 - t.

1. Calculer f'(t) et vérifier que f'(t) = (1 - t)e^{2 - t} .

2. a) Etudier le signe de f'(t) sur [0 ; 5].
    b) Dresser le tableau de variation de f (dans ce tableau ne figureront que des valeurs exactes).

3. Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs suivant (les valeurs seront données sous forme décimale arrondie à 0,01 près) :
t 0 1 2 3 4 5
f(t)       1,10    


4. Tracer la courbe représentative de la fonction f sur une feuille de papier millimétré, dans un repère orthonormé d'unité 3 centimètres.

Partie B : Application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps

A l'instant t = 0, un malade absorbe un médicament. On admet que la concentration de celui-ci dans le sang, exprimée en mg.L-1, en fonction du temps t exprimé en heures est donnée par la fonction f étudiée dans la partie A.

1. A quel instant la concentration du médicament est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ? (donner sa valeur exacte puis son approximation décimale à 0,01 mg.L-1 près).

2. Dans cette question, on fera apparaître sur le graphique tous les tracés utiles.
    a) Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L-1.
    b) Déterminer graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L-1.








exercice

1. Une maladie atteint 3 % d'une population de 30 000 habitants. \dfrac{3}{100} \times 30 000 habitants sont donc malades, soit 900 habitants.
(30 000 - 900) habitants sont donc bien portants, soit 29 100 habitants.
Parmi les 29 100 bien portants, 2% ont un test positif, c'est-à-dire \dfrac{2}{100} \times 29 100 = 582 habitants.
(29 100 - 582) bien portants ont un test négatif, soit 28 518 habitants.
Parmi les 900 individus malades, 49 ont un test négatif. (900 - 49) ont donc un test positif, c'est-à-dire 851 individus.
  Malades Bien portants Total
Test positif 851 582 1 433
Test négatif 49 28 518 28 567
Total 900 29 100 30 000


2. a) Calculons la probabilité des événements T et M :
T : " le test est positif pour l'individu choisi "
Parmi les 30 000 individus, 1 433 ont un test positif. Donc :
p(T) = \dfrac{1\;433}{30\;000} \approx 0,048 à 10-3 près.

M : " l'individu choisi est malade "
Parmi les 30 000 individus, 900 sont malades. Donc :
p(M) = \dfrac{900}{30\;000} = 0,03.

2. b) Calculons la probabilité de \bar{T} :
\bar{T} : " le test n'est pas positif pour l'individu choisi ".
p(\bar{T}) = 1 - p(T) \approx 1 - 0,048 \approx 0,952 à 10-3 près.

2. c) Définissions chacun des événements M \cup T et \bar{M} \cap T par une phrase :
M \cup T : " l'individu choisi est malade ou le test est positif pour l'individu choisi "
\bar{M} \cap T : " l'individu choisi n'est pas malade et le test est positif ", c'est-à-dire, " l'individu choisi est bien portant et le test est positif ".

2. d) Calculons les probabilités des événements M \cup T et \bar{M} \cap T :
p(M \cup T) = p(M) + p(T) - p(M \cap T)
Or, M \cap T : " l'individu choisi est malade et a un test positif ".
851 individus sont malades et ont un test positif, donc p(M \cap T) = \dfrac{851}{30\;000}.
Donc : p(M \cup T) = \dfrac{900}{30\;000} + \dfrac{1\;433}{30\;000} - \dfrac{851}{30\;000} = \dfrac{1\;482}{30\;000} \approx 0,049 à 10-3 près.

Parmi les 30 000 individus, 582 sont bien portants et ont un test positif. Donc :
p(\bar{M} \cap T) = \frac{582}{30\;000} \approx 0,019 à 10-3 près.

3. Déterminons la probabilité qu'un individu hospitalisé soit bien portant :
Parmi les 1 433 individus qui ont un test positif, 851 sont malades. La probabilité cherchée est donc égale à : \dfrac{851}{1\;433} \approx 0,594 à 10-3 près.




probleme

Partie A : Etude et représentation graphique d'une fonction

1. Calculons f'(t) :
f est de la forme uv avec u(t) = t et v(t) = e2 - t.
u et v sont deux fonctions dérivables sur \mathbb{R} et pour tout réel t, u '(t) = 1 et v '(t) = - e2 - t.
Donc : f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel t, on a :
f'(\text{t}) = 1 × e2 - t + t × (- e2 - t) = (1 - t) e2 - t

2. a) Etudions le signe de f'(t) sur [0 ; 5] :
Pour tout réel t, e2 - t est strictement positif, donc f'(t) est du signe de (1 - t) sur [0 ; 5].
Donc : f'(t) est positif sur [0 ; 1] et négatif sur [1 ; 5].

2. b) Dressons le tableau de variation de f :
De la question précédente, on en déduit que f est croissante sur [0 ; 1] et décroissante sur [1 ; 5].
\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  x & 0&&1&&5 \\ \hline  f'(x)&&+&0&-& \\ \hline  \hspace{1pt}&&&e&& \\ f(x) &&\nearrow&&\searrow& \\ \hspace{1pt}&0&&&&5e^{-3}\\  \hline \end{array}

3. Complétons le tableau de valeurs :
t 0 1 2 3 4 5
f(t) 0 2,72 2 1,10 0,54 0,25


4. Traçons la courbe représentative de la fonction f :
bac SMS Antilles Guyane 2006 : image 1


Partie B : Application : étude de la concentration d'un médicament dans le sang d'un malade en fonction du temps

1. Déterminons à quel instant la concentration du médicament est maximale :
Sur [0 ; 5], la fonction f admet un maximum en 1. Ce maximum est égal à e \approx 2,72.
Donc : la concentration du médicament est maximale au bout d'une heure. Elle est alors d'environ 2,72 mg.L-1.

2. a) Déterminons graphiquement au bout de combien de temps la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L-1 :
On trace la droite d'équation y = 1 sur le graphique (en rouge). Elle coupe la courbe représentative de la fonction f en deux points d'abscisses 0,2 et 3,2 (environ).
Donc : la concentration dans le sang redevient inférieure à 1 mg.L-1 au bout de 3,2 heures environ.

2. b) Déterminons graphiquement le temps pendant lequel la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L-1 :
On trace la droite d'équation y = 2 sur le graphique (en bleu). Elle coupe la courbe représentative de la fonction f en deux points d'absisses 0,4 et 2.
Donc ; la concentration dans le sang est supérieure à 2 mg.L-1 pendant (2 - 0,4) heures, soit 1,6 heures.
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