Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
Polynésie Française - Session 2006

L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 2cm).
Soient les nombres complexes $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt{2}$ et $z_2 = 1 + i\sqrt{3}$ .

1. a) Déterminer le module et un argument des nombres z₁ et z₂.
    b) Placer les points A et B d'affixes respectives z₁ et z₂.

2. Soit Z le nombre complexe tel que $Z = \dfrac{z_2}{z_1}$ .
Ecrire Z sous forme exponentielle, en déduire une mesure en radians de l'angle $\theta$ de la rotation de centre O qui transforme A en B.

3. a) Ecrire Z sous forme trigonométrique.
    b) En utilisant les formes algébriques de z₁ et z₂, déterminer la forme algébrique de Z.
    c) En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ .

4 points

exercice 2

Un commercial vend entre 0 et 4 voitures d'un certain modèle en une semaine. Soit X la variable aléatoire qui, pour une semaine, donne le nombre de voitures vendues. X suit la loi de probabilité ci-dessous :

Nombre de voitures vendues	0	1	2	3	4
p(X = k)	0,26	0,23		0,15	0,05

1. Calculer la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine.

2. Justifier que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à 0,51.

3. Donner une représentation graphique de la fonction de répartition F de cette loi dans un repère convenablement choisi.

4. Calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire. En déduire le nombre moyen de voitures vendues en une année (c'est-à-dire 52 semaines).

5. Le prix de vente d'une voiture est de 13 500 €. Le vendeur perçoit une commission de 0,4 % sur le prix de vente pour chaque voiture vendue.
Déterminer le montant moyen de la commission perçue en un an.

11 points

probleme

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ (unité grapique : 2 cm).
Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle I. On a déterminé expérimentalement des valeurs de $f$ qui ont permis d'obtenir une partie de la courbe (C), représentative de la fonction $f$ , et sa tangente (T) au point O (voir la figure ci-dessous).

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 1

Partie A

1. A l'aide du graphique, déterminer $f(0)$ et $f'(0)$ .

2. On admet que l'expression de $f(x)$ est de la forme $f(x) = ax + b - \ln(10x + 1)$ où a et b sont des réels.
a) Déterminer $f'(x)$ en fonction de a.
b) En utilisant les résultats du 1., déterminer les réels a et b.

Partie B

On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle I = ]-0,1 ; 10] par $f(x) = 0,5x - \ln(10x + 1)$

1. Calculer $\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -0,1\\ x > -0,1 \end{array}} f(x)$ . Que peut-on en déduire pour la courbe (C) représentant $f$ ?

2. Calculer la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ . Montrer que $f'(x)$ a le même signe que 5 $x$ - 9,5 sur l'intervalle I.
Etudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I.

3. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$

4. Justifier que l'équation $f(x) = 0$ a dans l'intervalle [6 ; 10] une solution unique, que l'on notera $\alpha$ .
Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-2.

5. Soit F la fonction définie sur l'intervalle I = ]-0,1 ; 10] par $F(x) = 0,25x^2 + x - (x + 0,1)\ln(10x + 1)$
    a) Démontrer que F est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
    b) Calculer l'intégrale J = $\displaystyle \int_0^1 f(x) \text{d}x$ . On donnera la valeur exacte.
    c) On considère dans le repère défini initialement, l'ensemble des points M de coordonnées ( $x$ ; y) tels que : $\left \lbrace \begin{array}{l} 0 \leq x \leq 1\\ f(x) \leq y \leq 0\_ \end{array}$
Utiliser la question précédente pour déterminer l'aire $\mathscr{A}$ en cm² de cette région. On en donnera la valeur décimale arrondie à 10^-2 près.

Voir la correction

exercice 1

1. a) Déterminons le module et un argument des nombres z₁ et z₂ :
On a $z_1 = \sqrt{2} + i\sqrt2$ , donc $|z_1|^2 = (\sqrt2)^2 + (\sqrt2)^2 = 4$
D'où |z₁| = 2 car un module est positif.
En écrivant z₁ sous forme exponentielle, on a :
$z_1 = 2\left(\dfrac{\sqrt2}{2} + i\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = 2(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{4})\right) = 2e^{i\frac{\pi}{4}}$
Donc un argument de z₁ est $\dfrac{\pi}{4}$ .

Avec $z_2 = 1 + i\sqrt3$ , on a :
$|z_2|^2 = 1^2 + (\sqrt3)^2 = 4$
D'où |z₂| = 2.
En écrivant z₂ sous forme exponentielle, on a :
$z_2 = 2\left(\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = 2\left((\cos\left((\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$
Un argument de z₂ est donc $\dfrac{\pi}{3}$ .

1. b) Plaçons les points A et B d'affixes respectives z₁ et z₂ :

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 2

2. Ecrivons Z sous forme exponentielle :
En utilisant les formes exponentielles de z₁ et z₂, on a :
$Z = \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2e^{i\frac{\pi}{4}}} = e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})} = e^{i\frac{\pi}{12}}$

Déduisons-en une mesure en radians de l'angle $\theta$ de la rotation de centre O qui transforme A en B :
On sait qu'une rotation de centre O s'exprime par : $z' = e^{i\theta}z$ où $\theta$ est l'angle de la rotation.
A partir de la forme exponentielle de Z, on a $z_2 = e^{i\frac{\pi}{12}}z_1$
D'où l'angle de la rotation de centre O qui transforme A en B est $\dfrac{\pi}{12}$ .

3. a) Ecrivons Z sous forme trigonométrique :
A partir de la forme exponentielle de Z, on a :
$Z = e^{i\frac{\pi}{12}} = \cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$

3. b) Déterminons la forme algébrique de Z :
En utilisant les formes algébriques de z₁ et z₂, on a :
$Z = \dfrac{z_2}{z_1} = \dfrac{1 + i\sqrt3}{\sqrt2 + i\sqrt2} = \dfrac{(1 + i\sqrt3)(\sqrt2 - i\sqrt2)}{4}$ en multipliant le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée
D'où $Z = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} + i\dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ .

3. c) Déduisons-en les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ :
En utilisant le fait que l'écriture complexe est unique, et en utilisant les formes algébriques et trigonométriques de Z, on en déduit que :
$\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ .

exercice 2

1. Calculons la probabilité de vendre exactement deux voitures en une semaine :
La probabilité de vendre toutes les voitures est de 1, donc P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 1,
d'où P(X = 2) = 1 - (0,26 + 0,23 + 0,15 + 0,05)
D'où P(X = 2) = 0,31.

2. Justifions que la probabilité de vendre au moins deux voitures en une semaine est égale à 0,51 :
Vendre au moins deux voitures c'est vendre soit deux voitures, soit trois voitures, soit quatre voitures donc la probabilité de vendre au moins deux voitures est de :
P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) = 0,31 + 0,15 + 0,05 = 0,51.

3. Donnons une représentation graphique de la fonction de répartition F de cette loi dans un repère convenablement choisi :
La fonction de répartition F est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$F(x) = \left \lbrace \begin{array}{ll} 0 & \text{ pour } x < 0\\ P(X = 0) = 0,26 & \text{ pour } x \in[0 ; 1[\\ P(X = 0) + P(X = 1) = 0,49 & \text{ pour } x \in [1 ; 2[\\ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,8 & \text{ pour } x \in [2 ; 3[ \\ P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,95 & \text{ pour } x \in [3 ; 4[ \\ 1 & \text{ pour } x \geq 4 \end{array} \right.$

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 3

4. Calculons l'espérance mathématique de cette variable aléatoire :
L'espérance mathématique E de la loi est la moyenne des valeurs k (c'est-à-dire le nombre de voitures vendues par semaine) pondérés par leurs probabilités. On a donc :
E(X) = 0 × 0,26 + 1 × 0,23 + 2 × 0,31 + 3 × 0,15 + 4 × 0,05
D'où E(X) = 1,5.

Déduisons-en le nombre moyen de voitures vendues en une année :
Le nombre moyen de voitures vendues pendant une année est de 78 voitures (car il y a 52 semaines dans une année).

5. Déterminons le montant moyen de la commission perçue en un an :
Le vendeur perçoit une commission de 0,4% sur le prix de vente pour chaque voiture venduee et en une année, le nombre moyen de voitures vendues est de 78 voitures. Le montant moyen de la commission preçue en un an est donc de $78\times 13\,500 \times \dfrac{0,4}{100}$ €, soit 4 212 €.

probleme

Partie A

1. Déterminons $f(0)$ et $f'(0)$ :
A l'aide du graphique, on trouve $f(0) = 0$ car la courbe passe par l'origine.
Pour trouver $f'(0)$ , il faut calculer la pente à l'origine.
La pente à l'origine vaut : $\dfrac{y_M - y_O}{x_M - x_O} = \dfrac{-4,75}{0,5} = -9,5$
D'où $f'(0) = -9,5$ .

2. a) Déterminons $f'(x)$ en fonction de a :
$f$ est une fonction continue sur ]-0,1 ; + $\infty$ [. $f$ est dérivable sur ]-0,1 ; + $\infty$ [ et pour tout $x$ de ]-0,1 ; + $\infty$ [, on a :
$f'(x) = a - \dfrac{10}{10x + 1}$ .

2. b) Déterminons les réels a et b :
En utilisant le 1, on a :
$\left \lbrace \begin{array}{l} f(0) = 0 \\ f'(0) = -9,5 \end{array} \right.$ d'où $\left \lbrace \begin{array}{l} b - \ln 1 = 0 \\ a - 10 = -9,5 \end{array} \right$
D'où $\left \lbrace \begin{array}{l} b = 0 \\ a = 0,5 \end{array} \right.$ .
Et $f$ est donc définie sur ]-0,1 ; + $\infty$ [ par $f(x) = 0,5x - \ln(10x + 1)$ .

Partie B

1. Calculons $\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -0,1\\ x > -0,1 \end{array}} f(x)$ :
$f$ est définie sur ]-0,1 ; 10] par $f(x) = 0,5x - \ln(10x + 1)$ . On a :
$\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -0,1\\ x > -0,1 \end{array}} (10x + 1) = 0^+$ , donc $\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -0,1\\ x > -0,1 \end{array}} \ln(10x + 1) = -\infty$ .
et $\displaystyle \lim_{x\to -0,1} (0,5x) = -0,05$
D'où : $\displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -0,1\\ x > -0,1 \end{array}} f(x) = \displaystyle \lim_{\begin{array}{l} x \to -0,1\\ x > -0,1 \end{array}} (0,5x - \ln(10x + 1)) = +\infty$
On en déduit que la droite d'équation $x$ = -0,1 est asymptote verticale à la courbe $(\mathscr{C})$ de $f$ .

2. Calculons la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ :
$f$ est continue et dérivable sur ]-0,1 ; 10], donc pour tout $x$ de ]-0,1 ; 10], on a :
$f'(x) = 0,5 - \dfrac{10}{10x+1} = \dfrac{0,5(10x + 1) - 10}{10x + 1} = \dfrac{5x - 9,5}{10x + 1}$

Montrons que $f'(x)$ a le même signe que 5 $x$ - 9,5 sur l'intervalle I :
Sur I = ]-0,1 ; 10], 10 $x$ + 1 > 0 donc, sur I, $f'(x)$ a le même signe que 5 $x$ - 9,5.

Etudions le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle I :
On a :
5 $x$ - 9,5 > 0 si $x$ > 1,9 et 5 $x$ - 9,5 < 0 si $x$ < 1,9
Donc sur ]-0,1 ; 1,9], $f'(x) \leq 0$ et sur [1,9 ; 10], $f'(x) \geq 0$ .

3. Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ :
En utilisant le signe de $f$ sur ]-0,1 ; 10], on a :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & -0,1& &1,9&&10 \\ \hline \text{signe de } f'(x) & & - & 0 & + & & \\ \hline \hspace{1pt}&+\infty&&&& 5 - \ln 101\\ \text{variations de } f&&\searrow&&\nearrow&&\\ \hspace{1pt}&&&0,95 - \ln 20&& \\ \hline \end{array}$
avec $f(1,9) = 0,5 \times 1,9 - \ln(10 \times 1,9 + 1) = 0,95 - \ln 20 < 0$ et $f(10) = 5 - \ln 101 > 0$ .

4. Justifions que l'équation $f(x) = 0$ a dans l'intervalle [6 ; 10] une solution unique :
$f$ est continue sur [6 ; 10].
On remarque en utilisant la question 2 que $f'$ est strictement positive, donc f est strictement croissante sur [6 ; 10].
De plus, $f$ (6) < 0 et $f$ (10) > 0, donc 0 est compris entre $f$ (6) et $f$ (10) avec $f$ (6) < 0 < $f$ (10).
On en déduit que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans [6 ; 10].
Pour obtenir un encadrement de $\alpha$ à 10^-2 près, on utilise la calculatrice et on a :
$f(9,02) \approx -0,0031 < 0\\ f(9,03) \approx 0,00085 > 0$
$\alpha \in$ ]9,02 ; 9,03[.

5. a) Démontrons que F est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I :
La fonction F définie sur ]-0,1 ; 10] est continue et dérivable, donc pour tout $x$ de ]-0,1 ; 10], on a :
$F'(x) = 0,5x + 1 - \left(\ln(10x + 1) + (x + 0,1)\dfrac{10}{10 x +1}\right) = 0,5x + 1 - \ln(10x + 1) - 1 = 0,5 - \ln(10x + 1) = f(x)$
Donc F est une primitive de f sur I.

5. b) Calculons l'intégrale J = $\displaystyle \int_0^1 f(x) \text{d}x$ :
En utilisant une primitive de $f$ , on a :
$\text{J} = \displaystyle \int_0^{1} f(x) \text{d}x = [F(x)]_0^{1} = F(1) - F(0) \\ \text{J} = 0,25 \times 1 + 1 - (1 + 0,1) \ln(10 \times 1 + 1) - 0,25 \times 0 - 0 + (0 + 0,1) \ln(10 \times 0 + 1)\\ \text{J} = 0,25 + 1 - 1,1 \times \ln 11$
D'où J = $1,25 - 1,1 \ln 11$

5. c) Déterminer l'aire $\mathscr{A}$ en cm² de la région :
Sur [0 ; 1], $f(x) \leq 0$ , donc l'aire $\mathscr{A}$ de la région délimitée par $\left \lbrace \begin{array}{l} 0 \le x \le 1\\ f(x) \le y \le 0 \end{array}$ est donnée (en u. a.) en calculant $\displaystyle \int_0^{1}(-f(x)) \text{d}x$
Donc $\mathscr{A} = \displaystyle \int_0^{1}(-f(x)) \text{d}x = -\int_0^{1} f(x) \text{d}x = -1,25 + 1,1 \, \ln 11$ u. a.
Or, 1 u.a. = 2 × 2 cm² = 4cm², donc $\mathscr{A} = 4(-1,25 + 1,1 \, \ln 11) = -5 + 4,4 \, \ln 11$ cm², soit environ 5,55 cm².

Publié par Cel/Joelz le 10-07-2006

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