Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
Métropole - Session 2006

Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits.
(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999)
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ d'unité graphique 2cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation z² - 2z + 4 = 0.

2. On considère les points A et B d'affixes respectives z_A = 1 + i $\sqrt{3}$ et z_B = 1 - i $\sqrt{3}$ .
    a) Déterminer le module et un argument de z_A et z_B.
    b) Donner la forme exponentielle de z_A.
    c) Placer les points A et B dans le plan muni du repère $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ .

3. On désigne par R la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M ' d'affixe z ' tel que : z ' = $e^{i \frac{2\pi}{3}} z$
    a) Indiquer la nature de la transformation R et préciser ses éléments caractéristiques.
    b) On nomme C l'image du point A par la transformation R.
Déterminer la forme exponentielle de l'affixe z_C du point C. En déduire sa forme algébrique.
    c) Placer le point C.
    d) Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation R.

4. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.

4 points

exercice 2

Pour la fête de l'école, une association propose une loterie selon le principe suivant :
- Le joueur mise 10 euros.
- Il fait tourner deux roues identiques chacune s'arrêtant devant un repère. Chaque roue est divisée en quatre quartiers sur lesquels sont indiqués les gains en euros : 10 ; 0 ; 5 ; 0.
Tous les quartiers ont la même probabilité de s'arrêter devant le repère.
Le gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 1

Dans l'exemple ci-dessus, la partie assure au joueur un gain de 15 €.

1. Etude du gain d'un joueur pour une mise de 10 euros.
On nomme G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
a) Compléter le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

Roue n°2 \ Roue n°1	10	0	5	0
10
0
5
0

    b) Prouver que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50 %.
    c) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
    d) Calculer la probabilité, notée p(G > 10), qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise.
    e) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation.

2. Etude du bénéfice de l'association pour une mise de m euros.
On suppose dans cette question que la mise du joueur est de m euros.
On note B la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe le bénéfice (positif ou négatif) réalisé par l'association, c'est-à-dire la différence entre la mise qu'elle a encaissée et le gain éventuel qu'elle a reversé au joueur.

    a) Exprimer en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B.
    b) Déterminer m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €.

11 points

probleme

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (E) : y ' + y = — $x$ - 1 ; où y désigne une fonction de la variable $x$ , définie et dérivable sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ .

1. a) Résoudre l'équation différentielle y ' + y = 0.
b) Déterminer la solution h de cette équation différentielle y ' + y = 0 prenant la valeur $\dfrac{1}{e}$ en $x$ = 1.

2. Déterminer le nombre réel a tel que la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = e^{-x} + ax$ soit solution de l'équation différentielle (E).

Partie B : Etude d'une fonction auxiliaire $f$

La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^{-x} - x$ .

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en + $\infty$ et — $\infty$ .

2. $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ . Calculer, pour tout réel $x$ , $f'(x)$ puis en déduire le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. a) Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0 ; 1].
b) Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01.

4. Préciser le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1].

Partie C : Calcul de l'aire d'une partie du plan

La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ , dans le plan muni d'un repère $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ est tracée ci-dessous.

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 2

1. Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurer la partie $\mathscr{D}$ limitée par la courbe $\mathscr{C}_f$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

2. Calculer en fonction de $\alpha$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie $\mathscr{D}$ du plan.

Partie D : Etude d'une fonction g et représentation graphique

La fonction g est définie sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ par : $g(x) = \dfrac{x}{e^{-x} - x}$ (où $\alpha$ désigne le nombre réel trouvé à la partie B) et on note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. a) Vérifier que, pour tout $x \in ]-\infty ; \alpha[$ ; $g(x) = \dfrac{xe^x}{1 - xe^x}$ .
b) En déduire la limite de la fonction g en - $\infty$ et interpréter graphiquement cette limite.

2. En utilisant les résultats trouvés dans la partie B question 4, déterminer la limite de la fonction g en $\alpha$ .
Interpréter graphiquement cette limite.

3. a) La fonction g ' désignant la dérivée de la fonction g, montrer que pour tout $x$ de ]— $\infty$ ; $\alpha$ [, $g'(x) = \dfrac{e^{-x}(1 + x)}{\left(e^{-x} - x\right)^2}$ .
b) En déduire les variations de la fonction g sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ et dresser le tableau des variations de la fonction g.

4. Tracer la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ de la fonction g dans le repère ci-dessus.

Correction

exercice 1

1. Résolvons dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ l'équation z² - 2z + 4 = 0 :
z² - 2z + 4 = 0
$\Delta$ = (-2)² - 4 × 1 × 4 = 4 - 16 = -12 = $\left(i\sqrt{12}\right)^2$
L'équation admet deux solutions complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{-(-2) + i\sqrt{12}}{2 \times 1} = \dfrac{2 + i\sqrt{4 \times 3}}{2} = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = \dfrac{-(-2) - i\sqrt{12}}{2 \times 1} = 1 - i\sqrt{3}$

2. a) Déterminons le module et un argument de z_A :
|z_A| = $\sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
Soit $\theta_A$ un argument de z_A, on a :
$\cos (\theta_A) = \dfrac12 \hspace{15pt} \text{ et } \hspace{15pt} \sin (\theta_A) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D'où : un argument de z_A est $\dfrac{\pi}{3}$

Déterminons le module et un argument de z_B :
Soit $\theta_B$ un argument de z_B, on a :
z_A et z_B sont deux nombres complexes conjugués, donc : |z_A| = |z_B| = 2 et arg z_A = -arg z_B (2 $\pi$ ).
D'où : un argument de z_B est - $\dfrac{\pi}{3}$

2. b) Donnons la forme exponentielle de z_A :
On sait que le module de z_A est 2 et un argument de z_A est $\dfrac{\pi}{3}$ , donc : z_A = $2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .

2. c) Plaçons les points A et B dans le plan muni du repère $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ :

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 3

3. a) R est la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ .

3. b) Déterminons la forme exponentielle de l'affixe z_C du point C :
C est l'image du point A par la transformation R, donc :
$z_C = e^{i\frac{2\pi}{3}}z_A = e^{i\frac{2\pi}{3}} \times 2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2e^{i\pi}$
On en déduit que : z_C = 2(cos $\pi$ + i sin $\pi$ ) = -2.

3. c) Plaçons le point C :
cf graphique

3. d) Montrons que le point B est l'image du point C par la transformation R :
Déterminons l'affixe de l'image du point C par la transformation R :
$e^{i\frac{\pi}{3}} z_C = e^{i\frac{\pi}{3}} \times (-2) = -2\left(\cos \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right) = -2\left(-\dfrac12 + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1 - i\sqrt{3} = z_B$
D'où : le point B est l'image du point C par la transformation R.

4. Déterminons la nature du triangle ABC :
Déterminons les longueurs AB, AC et BC :
AB = |z_B - z_A| = $|1 - i\sqrt{3} - 1 - i\sqrt{3}| = |-2i\sqrt{3}| = \sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{12}$
AC = |z_C - z_A| = $|-2 -1 - i\sqrt{3}| = |-3 - i\sqrt{3}| = \sqrt{(-3)^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{12}$
BC = |z_C - z_B| = $|-2 - 1 + i\sqrt{3}| = |-3 + i\sqrt{3}| = \sqrt{(-3)^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{12}$
Comme AB = AC = BC, alors le triangle ABC est équilatéral.

exercice 2

1. a) Complétons le tableau suivant donnant les valeurs prises par la variable aléatoire G selon les quartiers sur lesquels se sont arrêtées les roues :

Roue n°2 \ Roue n°1	10	0	5	0
10	20	10	15	10
0	10	0	5	0
5	15	5	10	5
0	10	0	5	0

1. b) Prouvons que la probabilité que le joueur obtienne un gain supérieur ou égal à sa mise est 50 % :
Le joueur obtient un gain supérieur ou égal à sa mise 8 fois sur 16, soit dans 50% des cas.

1. c) Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire G :
La variable aléatoire G peut prendre les valeurs 0 ; 5 ; 10 ; 15 ; 20.
Déterminons la probabilité que le joueur gagne 0 € : d'après le tableau de la question 1. a), cela se produit 4 fois sur 16. Donc : p(G = 0) = $\frac{4}{16} = \frac14$
De même, à l'aide du tableau, on trouve :
p(G = 5) = $\dfrac{4}{16} = \dfrac14$
p(G = 10) = $\dfrac{5}{16}$
p(G = 15) = $\dfrac{2}{16} = \dfrac18$
p(G = 20) = $\dfrac{1}{16}$

1. d) Calculons la probabilité qu'un joueur obtienne un gain strictement supérieur à sa mise :
p(G > 10) = p(G = 15) + p(G = 20) = $\dfrac18 + \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{16}$

1. e) Calculons l'espérance mathématique de la variable aléatoire G, puis donner son interprétation :
E(G) = 0 × p(G = 0) + 5 × p(G = 5) + 10 × p(G = 10) + 15 × p(G = 15) + 20 × p(G = 20)
E(G) = $0 \times \dfrac14 + 5 \times \dfrac14 + 10 \times \dfrac{5}{16} + 15 \times \dfrac18 + 20 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{15}{2}$
D'où : E(G) = 7,5.
En moyenne, le joueur gagne 7,50 €.

2. a) Exprimons en fonction de m l'espérance mathématique de la variable aléatoire B :
B peut prendre les valeurs suivantes : m ; m - 5 ; m - 10 ; m - 15 ; m - 20.
On a : B = m - G
Donc : E(B) = E(m - G) = m - E(G) = m - $\dfrac{15}{2}$ .
D'où : E(B) = m - 7,5.

2. b) Déterminons m pour que l'espérance de bénéfice de l'association soit d'au moins 5 € :
On cherche m tel que E(B) $\geq$ 5,
soit m - 7,5 $\geq$ 5
donc m $\geq$ 12,5.
La mise doit être d'au moins 12,50 € pour que le bénéfice de l'association soit d'au moins 5 €.

11 points

probleme

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

1. a) Résolvons l'équation différentielle y ' + y = 0 :
y ' + y = 0 $\Longleftrightarrow$ y ' - (-1)y = 0
Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle sont de la forme : $y(x) = ke^{-x}$ où k est une constante réelle.

1. b) Déterminons la solution h de cette équation différentielle y ' + y = 0 prenant la valeur $\dfrac{1}{e}$ en $x$ = 1 :
h est solution de l'équation différentielle y ' + y = 0 donc pour tout réel, $h(x) = ke^{-x}$ .
Or, h(1) = $\dfrac{1}{e}$ , donc ke^-1 = $\dfrac{1}{e}$ , soit k = 1.
D'où : pour tout réel $x$ , $h(x) = e^{-x}$ .

2. Déterminons le nombre réel a tel que la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = e^{-x} + ax$ soit solution de l'équation différentielle (E) :
u est solution de l'équation différentielle (E), donc : u' + u = - $x$ - 1
Or, $u'(x) = -e^{-x} + a$ , donc :
$-e^{-x} + a + e^{-x} + ax = -x - 1$ , donc :
$a + ax = -x - 1 \\ a(1 + x) = -(x + 1)$
Donc : a = -1.
D'où : la fonction u définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x) = e^{-x} + ax$ est solution de l'équation différentielle (E) pour a = -1.

Partie B : Etude d'une fonction auxiliaire $f$

1. Déterminons les limites de la fonction $f$ :
en + $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0 \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} (-x) = -\infty$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

en - $\infty$ :
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x) = +\infty$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$

2. Calculons, pour tout réel $x$ , $f'(x)$ :
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , on a :
$f'(x) = -e^{-x} - 1 = -(e^{-x} + 1)$

Déduisons-en le tableau de variations de la fonction $f$ :
Pour tout réel $x$ , $e^{-x} > 0$ , donc $e^{-x} + 1 > 0$ .
Donc : pour tout réel $x$ , $f'(x) < 0$
D'où : $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}$ .

$\begin{array}{|c|lcr|} \hline x & -\infty & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - & \\ \hline \; & +\infty & & \\ f(x) & & \searrow & \\ \; & & & -\infty \\ \hline \end{array}$

3. a) Montrons que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0 ; 1] :
$f$ est continue et croissante sur [0 ; 1].
De plus, $f(0) = e^{-0} - 0 = 1 > 0 \text{ et } f(1) = e^{-1} - 1 \approx -0,6 < 0$ .
Donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unqiue $\alpha$ dans l'intervalle [0 ; 1].

3. b) Donnons un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 0,01 :
On a $f(0,56) \approx 0,011 > 0 \text{ et } f(0,57) \approx -0,004 < 0$
D'où : 0,56 < $\alpha$ < 0,57

4. Précisons le signe de $f(x)$ sur l'intervalle [0 ; 1] :
D'après le tableau de variations, $f$ est continue et décroissante sur [0 ; 1].
$f(x) > 0 \text{ si } x \in [0 ; \alpha[ \\ f(x) = 0 \text{ si } x = \alpha \\ f(x) < 0 \text{ si } x \in ]\alpha ; 1]$

Partie C : Calcul de l'aire d'une partie du plan

1. Dans le demi-plan constitué des points d'abscisses positives, hachurons la partie $\mathscr{D}$ limitée par la courbe $\mathscr{C}_f$ , l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées :

sujet national du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique 2006 : image 4

2. Calculons en fonction de $\alpha$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire de la partie $\mathscr{D}$ du plan :
$f$ est positive sur [0 ; $\alpha$ ], donc l'aire de la partie $\scr{D}$ du plan est donnée par :
$\displaystyle \int_0^{\alpha} f(x) \text{d}x = \int_0^{\alpha} \left(e^{-x} - x\right) \text{d}x = \left[-e^{-x} - \frac12 x^2\right]_0^{\alpha} \\ = -e^{-\alpha} - \frac12 \alpha^2 + e^0 + \frac12 \times 0 = -e^{-\alpha} - \frac12 \alpha^2 + 1$
D'où : l'aire de la partie $\mathscr{D}$ du plan est égale à $-e^{-\alpha} - \dfrac12 \alpha^2 + 1$ u.a.

Partie D : Etude d'une fonction g et représentation graphique

1. a) Vérifions que, pour tout $x \in ]-\infty ; \alpha[$ ; $g(x) = \dfrac{xe^x}{1 - xe^x}$ :
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-\infty ; \alpha[$ ,
$\large g(x) = \frac{x}{e^{-x} - x} = \dfrac{x}{e^{-x}\left(1 - \dfrac{x}{e^{-x}}\right)} = \dfrac{xe^x}{1 - xe^x} \text{ (car } \dfrac{1}{e^{-x}} = e^x)$

1. b) Déduisons-en la limite de la fonction g en - $\infty$ :
On sait que $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0 \text{ et que } \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(1 - xe^x\right) = 1$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = 0$
La droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction g.

2. Déterminons la limite de la fonction g en $\alpha$ :
On sait que $f(\alpha) = 0$ , donc $e^{-\alpha} - \alpha = 0$ .
De plus, pour tout réel $x < \alpha$ , $f(x) > 0 \text{ soit } e^{-\alpha} - \alpha > 0$ .
Donc $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} \dfrac{1}{e^{-x} - x} = +\infty$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to \alpha} g(x) = +\infty$
Ce qui signifie que la droite d'équation $x = \alpha$ est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction g.

3. a) Montrons que pour tout $x$ de ]— $\infty$ ; $\alpha$ [, $g'(x) = \dfrac{e^{-x}(1 + x)}{\left(e^{-x} - x\right)^2}$ :
g est dérivable sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ et pour tout réel $x$ de l'intervalle ]— $\infty$ ; $\alpha$ [, on a : $g(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)}$ où u et v sont deux fonctions continues et dérivables sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ avec $u(x) = x$ et $v(x) = e^{-x} - x$ .
On a : $u'(x) = 1 \text{ et } v'(x) = -e^x - 1$ . Donc :
$g'(x) = \dfrac{e^{-x} - x - x(-e^{-x} - 1)}{(e^{-x} - x)^2}\\ g'(x) = \dfrac{e^{-x} - x + xe^{-x} + x}{(e^{-x} - x)^2}\\ g'(x) = \dfrac{(1 + x)e^{-x}}{(e^{-x} - x)^2}$

3. b) Déduisons-en les variations de la fonction g sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [ :
Pour tout réel $x$ de ]— $\infty$ ; $\alpha$ [, on a :
$e^{-x} > 0 \text{ et } (e^{-x} - x)^2 > 0$
Donc : $g'(x)$ est du signe de (1 + $x$ ) sur ]— $\infty$ ; $\alpha$ [.
Donc :
$g'(x) < 0 \text{ si } x \in ]-\infty ; -1[ \\ g'(x) = 0 \text{ si } x = -1 \\ g'(x) > 0 \text{ si } x \in ]-1 ; \alpha[$
D'où : g est décroissante sur ]— $\infty$ ; -1] et croissante sur ]-1 ; $\alpha$ [.

Dressons le tableau des variations de la fonction g :
$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x & -\infty & & 1 & & \alpha \\ \hline g' & & - & 0 & + & \\ \hline \; & 0 & & & & +\infty \\ g & & \searrow & & \nearrow & \\ \; & & & \frac{1}{e^{-1} - 1} & & \\ \hline \end{array}$

4. Traçons la courbe représentative $\mathscr{C}_g$ de la fonction g dans le repère ci-dessus :
cf graphique

Publié par Cel/Cel le 30-08-2006

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