Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie électronique - Génie électrotechnique - Génie optique
La Réunion - Session 2006

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Le candidat traitera obligatoirement les deux exercices et le problème.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'utilisation des calculatrices électroniques, programmables, alphanumériques ou à écran graphique est autorisée, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu'il ne soit fait usage d'aucune imprimante.
Chaque candidat ne peut utiliser qu'une seule machine sur sa table.
En cas de défaillance, elle pourra cependant être remplacée.
Cependant, les échanges de machines entre candidats, la consultation des notices fournies par les constructeurs ainsi que l'échange d'informations par l'intermédiaire des fonctions de transmission des calculatrices sont interdits.
(circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999).
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
4,5 points

exercice 1

\mathbb{C} est l'ensemble des nombres complexes et i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} l'équation : z² - 4z + 16 = 0.

2. On considère les nombres complexes : z1 = 2 + 2\sqrt{3}i     et     z2 = 2 - 2\sqrt{3}i.
    a) Déterminer le module et un argument de z1.
    b) Ecrire z1, puis z2 sous forme exponentielle.

3. Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O ; \vec{u}, \vec{v}) d'unité 1 cm.
On considère la rotation r de centre O et d'angle -\frac{2\pi}{3}.
    a) Placer les points M1 et M2 d'affixes respectives z1 et z2 dans le repère (O ; \vec{u}, \vec{v}).
    b) Montrer que le point M2 est l'image du point M1 par la rotation r.
    c) On appelle M3 le point image du point M2 par la rotation r.
Calculer l'affixe z3 du point M3.
Placer le point M3 dans le repère (O ; \vec{u}, \vec{v}).
    d) Démontrer que le triangle M1M2M3 est équilatéral.

4. Vérifier que les nombres complexes (z1)6 et \dfrac{(z_1)^4}{(z_2)^2} sont des entiers naturels.
On utilisera la forme z1 et z2 la plus adaptée.


4,5 points

exercice 2

I. On considère l'équation différentielle : (E0) : y'' + 4y = 0 où y désigne une fonction de la variable t, définie et deux fois dérivables sur l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels, et y'' sa dérivée seconde.

1. Résoudre l'équation (E0).

2. Déterminer la solution particulière f de (E0) vérifiant : f(0) = \sqrt{3} \text{ et } f'(0) = 2 ;
f' désigne la dérivée de la fonction f.

3. Montrer que pour tout réel t, f(t) peut s'écrire sous la forme : f(t) = 2 \cos \left(2t - \dfrac{\pi}{6}\right)

4. Calculer la valeur moyenne de f sur l'intervalle \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right].

II. On considère maintenant l'équation différentielle : (E1) : y'' + 4y = 3 sin t
où y désigne une fontion de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble \mathbb{R}, et y'' sa dérivée seconde.

1. Montrer que si une fonction g est solution de l'équation (E0), alors la fonction h définie sur \mathbb{R} par : h(t) = g(t) + sin t est solution de l'équation (E1).

2. Donner une solution particulière, ne s'annulant pas pour t = 0, de l'équation (E1).


11 points

probleme

Sur l'annexe, on donne, dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}), la courbe \mathscr{C}_f d'une fonction f, définie sur l'intervalle ]2 ; +\infty[.

sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique la réunion 2006 : image 1

Annexe : courbe de la fonction f


Partie A : Détermination de la fonction f

On suppose que la courbe \mathscr{C}_f passe par le point A de coordonnées \left(3 ; -\dfrac72 + 3 \ln 2\right).
La droite D d'équation x = 2 est une asymptote verticale à la courbe \mathscr{C}_f.
On note f' la fonction dérivée de f.

1. Quelle est la valeur exacte de f(3) ?

2. Donner sans justification la limite de la fonction f en 2.

3. On suppose que, pour tout réel x de l'intervalle ]2 ; +\infty[, f(x) = ax - 5 + 3\ln(x - 1) - 3\ln(x - 2).
En utilisant la réponse de la question 1, déterminer algébriquement le nombre a.

Partie B : Etude de la fonction f

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle ]2 ; +\infty[ par : f(x) = \dfrac12 x - 5 + 3\ln(x - 1) - 3\ln(x - 2).

1. a) Retrouver par le calcul la limite de la fonction f en 2.
    b) Montrer que, pour tout x réel de l'intervalle ]2 ; \infty[, f(x) = \frac12 x - 5 + 3\ln\left(\dfrac{x-1}{x-2}\right)
    c) En déduire la limite de la fonction f en +\infty.

2. Démontrer que la droite \Delta d'équation y = \frac12 x - 5 est une asymptote oblique à la courbe \mathscr{C}_f en +\infty. Tracer \Delta sur l'annexe.

3. a) Calculer f'(x) et montrer que pour tout réel x de l'intervalle ]2 ; +\infty[, f'(x) = \dfrac{x^2 - 3x - 4}{2(x - 1)(x - 2)}.
    b) Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle ]2 ; +\infty[.
    c) Dresser le tableau de variation dela fonction f sur l'intervalle ]2 ; +\infty[.

4. a) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une solution unique \alpha dans l'intervalle [2,1 ; 3] et une solution unique \beta dans l'intervalle [9 ; 10].
    b) Déterminer un encadrement d'amplitude 10-1 de chacune des solutions \alpha et \beta.

Partie C : Calcul d'aire

1. On considère les fonctions h et H définies sur l'intervalle ]2 ; +\infty[ par h(x) = \ln\left(\dfrac{x-1}{x-2}\right) et H(x) = (x - 1)\ln(x - 1) - (x - 2)\ln(x - 2).
    a) Montrer que la fonction H est une primitive de la fonction h sur l'intervalle ]2 ; +\infty[.
    b) En déduire une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]2 ; +\infty[.

2. On considère le domaine \mathscr{D} du plan compris entre la courbe \mathscr{C}_f, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 3 et x = 9.
    a) Hachurer le domaine \mathscr{D} sur le graphique de l'annexe.
    b) On note \mathscr{A} la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine \mathscr{D}. Exprimer \mathscr{A} sous la forme d'une intégrale.
    c) Calculer la valeur exacte de \mathscr{A}, puis en donner une valeur approchée à 10-1 près.






exercice 1

1. Résolution de l'équation z² - 4z + 16 = 0 :
\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 16 = -48 = (4i\sqrt{3})^2 donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées :
z_1 = \dfrac{-(-4)-4i\sqrt{3}}{2 \times 1} = \boxed{2-2i\sqrt{3}} \hspace{50pt} z_2 = \boxed{2+2i\sqrt{3}}

2. a) Module de z1 :
|z_1| = |2+2i\sqrt{3}| \\ |z_1| = \sqrt{2^2+(2\sqrt{3})^2} \\ |z_1| = \sqrt{4+12} \\ \boxed{|z_1| = 4}
On appelle \theta_1 un argument du nombre complexe z1.
\left. \begin{array}{l} \cos(\theta_1) = \dfrac{Re(z_1)}{|z_1|} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \\ \sin(\theta_1) = \dfrac{Im(z_1)}{|z_1|} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right \rbrace  \text{ donc } \boxed{ \theta_1 = \dfrac{\pi}{3} }

2. b) La forme exponentielle d'un nombre complexe z de module \rho et d'argument \theta est : z = \rho e^{i \theta}
Donc : \boxed{z_1 = 4e^{i\frac{\pi}{3}} }
Les nombres complexes z1 et z2 sont conjugués, ils ont donc le même module et des arguments opposés, donc :
\boxed{z_2 = 4e^{-i\frac{\pi}{3}} }

3. a)
sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique la réunion 2006 : image 2


3. b) Soit M un point d'affixe z et M' son image, d'affixe z', par la rotation r de centre O et d'angle -\dfrac{2\pi}{3}. On a :
z' = z e^{-i\frac{2\pi}{3}}
Donc l'affixe de l'image du point M1 est donnée par :
z_1' = z_1 e^{-i\frac{2\pi}{3}} \\ z_1' = 4 \times e^{i\frac{\pi}{3}} \times e^{-i\frac{2\pi}{3}} \\ z_1' = 4 \times e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3})} \\ \boxed{z_1' = 4 e^{-i\frac{\pi}{3}} = z_2}
Donc M2 est bien l'image de M1 par la rotation r.

3. c) M3 est l'image de M2 par la rotation r donc :
z_3 = z_2 e^{-i\frac{2\pi}{3}} \\ z_3 = 4 \times e^{-i\frac{\pi}{3}} \times e^{-i\frac{2\pi}{3}} \\ z_3 = 4 \times e^{i(-\frac{\pi}{3}-\frac{2\pi}{3})} \\ z_3 = 4 e^{-i \pi} \\ \boxed{z_3 = -4}

3. d) Calcul des longueurs M1M2, M1M3 et M2M3 :
\text{M}_1\text{M}_2 = |z_2 - z_1| = |2 - 2\sqrt{3}i - (2 + 2\sqrt{3}i) | = |-4i\sqrt{3}| = \boxed{4\sqrt{3}}\\ \text{M}_1\text{M}_3 = |z_3 - z_1| = |-4 - (2 + 2\sqrt{3}i) | = |-6 - 2i\sqrt{3}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{48} = \boxed{4\sqrt{3}}\\ \text{M}_2\text{M}_3 = |z_3 - z_2| = |-4 - (2 - 2\sqrt{3}i) | = |-6 + 2i\sqrt{3}| = \sqrt{(-6)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{48} = \boxed{4\sqrt{3}}
\text{M}_1\text{M}_2 = \text{M}_1\text{M}_3 = \text{M}_2\text{M}_3 donc le triangle M1M2M3 est équilatéral.

4. On utilise les formes exponentielles.
(z_1)^6 = (4e^{i\frac{\pi}{3}})^6 \\ z_1 = 4^6 \times e^{6 \times i\frac{\pi}{3}} \\ z_1 = 4096 \times e^{2i \pi} \\ z_1 = 4096 \times 1 \\ \boxed{z_1 = 4096}

\dfrac{(z1)^4}{(z_2)^2} = \dfrac{(4e^{i\frac{\pi}{3}})^4}{(4e^{-i\frac{\pi}{3}})^2} \\ \dfrac{(z1)^4}{(z_2)^2} = \dfrac{4^4}{4^2} \times \dfrac{e^{4i\frac{\pi}{3}}}{e^{-2i\frac{\pi}{3}}} \\ \dfrac{(z1)^4}{(z_2)^2} = 16 \times e^{4i\frac{\pi}{3}} \times e^{2i\frac{\pi}{3}} \\ \dfrac{(z1)^4}{(z_2)^2} = 16 \times e^{i(4\frac{\pi}{3}+2\frac{\pi}{3})} \\ \dfrac{(z1)^4}{(z_2)^2} = 16 \times e^{2i \pi} \\\boxed{\frac{(z1)^4}{(z_2)^2} = 16 }
Donc (z_1)^6 et \dfrac{(z_1)^4}{(z_2)^2} sont des entiers naturels.




exercice 2

I. 1. Résolution l'équation différentielle (E0) :
y'' + 4 y = 0 \, \, \Longleftrightarrow \, \, y''+ 2^2 y = 0
Donc : \boxed{f(t) = A \cos (2 t) + B \sin(2 t)}
Rappel : les solutions de l'équation différentielle y'' + \omega^2 y = 0 sont données par : f(x) = A \cos ( \omega x) + B \sin( \omega x) où A et B sont deux réels quelconques.

2. Recherche de la solution particulière f vérifiant les deux conditions initiales :
On a : f(t) = A \cos (2 t) + B \sin(2 t)
Donc : f'(t) = -2A \sin (2 t) + 2B \pi \cos(2 t)
f(0) = \sqrt{3}\\ \Longleftrightarrow A \cos (2 \times 0) + B \sin(2 \times 0) = \sqrt{3}\\ \Longleftrightarrow A \times 1 + B \times 0 = \sqrt{3}\\ \Longleftrightarrow \boxed{A = \sqrt{3}}

f'(0) = 2\\ \Longleftrightarrow -2A \sin (0) + 2B \cos(0) = 2\\ \Longleftrightarrow 2B = 2\\ \Longleftrightarrow \boxed{ B = 1}
Donc, la solution de (E0) vérifiant les deux conditions initiales est donnée par :
\boxed{f(t) = \sqrt{3} \cos (2 t) + \sin(2 t)}

3. On utilise la formule d'addition : \cos(a-b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)
2 \cos \left(2 t - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \left( \cos(2 t) \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + \sin(2 t) \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \right) \\ 2 \cos \left(2 t - \dfrac{\pi}{6}\right) = 2 \left( \cos(2 t) \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \sin(2 t) \times \dfrac{1}{2} \right) \\ 2 \cos \left(2 t - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} \cos(2 t) + \sin(2 t)
Donc, on a bien : \boxed{ f(t) = 2 \cos \left(2 t - \dfrac{\pi}{6}\right) }

4. Calcul de la valeur moyenne :
Soit F une primitive de f : F(t) = \sin(2 t - \dfrac{\pi}{6})
\text{I} = \dfrac{1}{b-a} \: \displaystyle \int_a^b f(t) dt \\ \text{I} = = \dfrac{2}{\pi} \: \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt \\ \text{I} = \dfrac{2}{\pi} [F(t)]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \text{I} = \dfrac{2}{\pi} \left( F(\frac{\pi}{2}) - F(0) \right) \\ \text{I} = \dfrac{2}{\pi} \left(\sin\left(2 \times \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) - \sin\left(2 \times 0 - \dfrac{\pi}{6}\right) \right) \\ \text{I} = \dfrac{2}{\pi} \left( \sin( \pi - \frac{\pi}{6}) - \sin( -\frac{\pi}{6}) \right) \\ \text{I} = \dfrac{2}{\pi} \left( \sin\left( \frac{5\pi}{6}\right) - \sin\left( - \frac{\pi}{6}\right) \right) \\ \text{I} = \dfrac{2}{\pi} \left( \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) \\ \boxed{\text{I} = \frac{2}{\pi}}
Donc la valeur moyenne sur cet intervalle est ègale à \frac{2}{\pi}.

II. 1. Soit h(t) = g(t) + \sin t
On a donc :
h'(t) = g'(t) + \cos t \\ h''(t) = g''(t) - \sin t
Donc :
h^{ \prime \prime}(t) + 4h(t) = g^{ \prime \prime}(t) - \sin t + 4(g(t) + \sin t) \\ h^{ \prime \prime}(t) + 4h(t) = g^{ \prime \prime}(t) + 4g(t) + 3 \sin t
Or g est solution de (E0) donc g^{ \prime \prime}(t) + 4g(t) = 0 donc :
h^{ \prime \prime}(t) + 4h(t) = 0 + 3 \sin t \\ \boxed{h^{ \prime \prime}(t) + 4h(t) = 3 \sin t}
Donc h est bien solution de l'équation différentielle (E1).

2. Soit la fonction h définie par : h(t) = f(t) + \sin tf est la fonction trouvée dans la partie précédente.
h(0) = f(0) + \sin 0 = \sqrt{3} + 0 = \sqrt{3} \neq 0
Donc \boxed{h(t) = 2 \cos \left(2 t - \frac{\pi}{6}\right) + \sin t} est une solution de l'équation (E1) ne s'annulant pas pour t = 0.




probleme

Partie A : Détermination de la fonction f

1. La courbe passe par le point A de coordonnées \left(3 \, ; \, -\dfrac{7}{2}+3 \ln 2 \right) donc \boxed{f(3) = -\frac{7}{2} + 3 \ln 2}

2. \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 2} \: f(x) = +\infty}
(Graphiquement, on voit que la courbe " monte à l'infini " contre l'asymptote verticale x = 2.)

3. Détermination du nombre a :
f(3) = -\dfrac{7}{2}+3 \ln 2 \\ \Longleftrightarrow a \times 3 - 5 + 3 \ln (3-1) - 3 \ln (3-2) = -\dfrac{7}{2}+3 \ln 2 \\ \Longleftrightarrow 3a - 5 + 3 \ln (2) - 3 \times 0 = -\dfrac{7}{2} + 3 \ln 2\\ \Longleftrightarrow 3a = -\dfrac{7}{2} + 3 \ln (2) + 5 - 3 \ln (2)\\ \Longleftrightarrow 3a = -\dfrac{7}{2} + 5\\ \Longleftrightarrow 3a = \dfrac{3}{2}\\ \Longleftrightarrow \boxed{a = \frac{1}{2}}

Partie B : Etude de la fonction f

1. a) Limite en 2 :
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to 2} \: \left(\dfrac{1}{2}x - 5\right) = \dfrac{1}{2} \times 2 - 5 = -4 \\ \displaystyle \lim_{x\to 2} \: \left[3 \ln (x - 1)\right] = 3 \ln(1) = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to 2} \: \left[-3 \ln (x-2)\right] = \displaystyle \lim_{x\to 0} \: \left[-3\ln(x)\right] = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace  \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 2} \: f(x) = +\infty}

1. b) On utilise la propriété suivante : \ln \: a - \ln \: b = \ln \: \dfrac{a}{b}
Donc : 3 \ln(x-1) - 3 \ln(x-2) = 3 \ln \left( \dfrac{x-1}{x-2} \right)
Donc : \boxed{f(x) = \frac{1}{2}x - 5 + 3 \ln \left( \dfrac{x-1}{x-2} \right) }

1. c) Limite de f en +\infty :
On a : \dfrac{x-1}{x-2} = \dfrac{x(1-\frac{1}{x})}{x(1-\frac{2}{x})}
Or : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \frac{1}{x} = 0 \: \text{ et } \: \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \dfrac{2}{x} = 0
Donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)} = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \dfrac{x}{x} = 1
Donc : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \ln \left( \frac{x-1}{x-2} \right) = 0
On a donc : \boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \:f(x) = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \left(\frac{1}{2}x - 5\right) = +\infty }

2. Asymptote oblique :
\boxed{\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left[f(x) - \left(\frac{1}{2}x - 5\right)\right] = \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \ln \left( \frac{x-1}{x-2} \right) = 0}
Donc la droite \Delta d'équation y = \dfrac{1}{2}x - 5 est une asymptote oblique à la courbe \scr{C}_f en +\infty.
sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique la réunion 2006 : image 3


3. a) Calcul de la dérivée :
f(x) = \dfrac{1}{2}x - 5 + 3 \ln(x-1) - 3 \ln(x-2) \\ f'(x) = \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{1}{x-1} - 3 \times \dfrac{1}{x-2} \\ f'(x) = \dfrac{(x-1)(x-2)}{2(x-1)(x-2)} + 3 \times \dfrac{2(x-2)}{2(x-1)(x-2)} - 3 \times \dfrac{2(x-1)}{2(x-1)(x-2)}\\ f'(x) = \dfrac{(x-1)(x-2) + 6(x-2) - 6(x-1)}{2(x-1)(x-2)}\\ f'(x) = \dfrac{x^2-2x-x+2+6x-12-6x+6}{2(x-1)(x-2)}\\ \boxed{f'(x) = \frac{x^2-3x-4}{2(x-1)(x+2)}}

3. b Etude du signe de f'(x) :
Valeurs interdites (valeurs qui annulent le dénominateur) :
x - 1 = 0 \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt}  x - 2 = 0 \\ x = 1 \hspace{25pt} \text{ ou } \hspace{25pt} x = 2
Mais 1 et 2 n'appartiennent pas à l'intervalle ]2 \, ; \, +\infty[ donc pas de valeurs interdites pour x.
f'(x) = 0 \hspace{10pt} \Longleftrightarrow \hspace{10pt} x^2-3x-4 = 0
\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 25 > 0 donc le numérateur de f' admet 2 racines réelles disctinctes :
x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{25}}{2 \times 1} = 4 \hspace{25pt} x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{25}}{2 \times 1} = -\frac{1}{2}
Donc \boxed{f'(x)=0 \: \Longleftrightarrow \: x = 4}
Le numérateur x^2-3x-4 est du signe du coefficient de x^2, donc positif, en dehors des racines.
sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique la réunion 2006 : image 4


3. c) Du signe de la dérivée, on déduit les variations de la fonction :
sujet du bac STI génie électronique génie électrotechnique génie optique la réunion 2006 : image 5


f(4) = \dfrac{1}{2} \times 4 - 5 + 3 \ln(4-1) - 3 \ln(4-2) \\f(4) = -3 + 3 \ln 3 - 3 \ln 2 \\ f(4) = 3( \ln (1,5) - 1) \approx -1,78

4. a) Existence et unicité des solutions :
la fonction f est dérivable sur [2,1 ; 3] ;
la fonction f est strictement décroissante sur [2,1 ; 3] ;
f(2,1) \approx 3,24 > 0 \: \text{ et } \: f(3) \approx -1,42 < 0 ;
donc l'équation f(x) = 0 admet une solution unique \alpha dans l'intervalle [2,1 ; 3].

La fonction f est dérivable sur [9 ; 10] ;
la fonction f est strictement croissante sur [9 ; 10] ;
f(9) \approx -0,10 < 0 \: \text{ et } \: f(10) \approx 0,35 > 0 ;
donc l'équation f(x) = 0 admet une solution unique \beta dans l'intervalle [9 ; 10].

4. b) Encadrement des solutions :
\left. \begin{array}{l} f(2,3) \approx 0,55 > 0 \\ f(2,4) \approx -0,04 < 0 \\ \end{array} \right \rbrace  \text{ donc } \boxed{ 2,3 < \alpha < 2,4}
\left. \begin{array}{l} f(9,2) \approx -0,01 < 0 \\ f(9,3) \approx 0,04 > 0 \\ \end{array} \right \rbrace  \text{ donc } \boxed{ 9,2 < \beta < 9,3}

Partie C : Calcul d'aire

1. a) Dérivation de H(x) :
On pose : u = x - 1 \: \: v = \ln (x-1)
Donc : u' = 1 \: \: v' = \dfrac{1}{x-1}
Donc : \left( (x-1) \ln (x-1) \right)' = u'v + uv' = \ln(x-1) + (x-1) \times \dfrac{1}{x-1} = \ln(x-1) + 1
De même : \left( (x-2) \ln (x-2) \right)' = \ln(x-2) + 1
Donc : H'(x) = \ln(x-1) - \ln(x-2) = \ln \left( \dfrac{x-1}{x-2} \right) = h(x)
Donc H est une primitive de h.

1. b) Détermination d'une primitive F de la fonction f :
On a : f(x) = \dfrac{1}{2}x - 5 + 3h(x)
Donc : F(x) = \dfrac{1}{4}x^2 - 5x + 3H(x)
\boxed{ F(x) = \dfrac{x^2}{4} - 5x + 3(x-1) \ln (x-1) - 3(x-2) \ln (x-2) }

2. a) Voir figure

2. b) D'après l'étude des variations de la fonction f et les valeurs de \alpha et \beta, on en déduit que f(x) < 0 pour tout x \in [3 \, ; \, 9]. Donc l'aire \scr{A} est donnée, en unités d'aires, par :
\boxed{ \scr{A} = - \displaystyle \int_3^9 f(x) \text{d}x }

2. c) Calcul de \scr{A} :
\scr{A} = - \displaystyle \int_3^9 f(x) \text{d}x \\ \scr{A} = -[F(x)]_3^9 \\ \scr{A} = F(3) - F(9) \\ \scr{A} = \frac{3^2}{4} - 5 \times 3 + 3(3-1) \ln (3-1) - 3(3-2) \ln (3-2) - \dfrac{9^2}{4} + 5 \times 9 - 3(9-1) \ln (9-1) + 3(9-2) \ln (9-2) \\ \scr{A} = \frac{9}{4} - 15 - \dfrac{81}{4} + 45 + 6\ln 2 - 3 \ln 1 - 24 \ln 8 + 21 \ln 7 \\ \scr{A} = 12 + 6\ln 2 - 24 \ln 2^3 + 21 \ln 7 \\ \scr{A} = 12 + 6\ln 2 - 72 \ln 2 + 21 \ln 7 \\ \boxed{\scr{A} = 12 -66 \ln 2 + 21 \ln 7 \approx 7,1}
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