Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industriels
Spécialités : Génie des matériaux, Génie mécanique options : Systèmes motorisés (B), Structures métalliques (C), Bois et matériaux Associés (D), Matériaux souples (E)
La Réunion - Session 2006

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L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Le sujet nécessite une feuille de papier millimétré.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
4 points

exercice 1

Partie A

On désigne par (E) l'équation différentielle : 2y' + y = 0 où y est une fonction numérique définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

1. Résoudre l'équation (E).
2. Déterminer la solution particulière f de (E) telle que f(0) = 0,5.

Partie B

La direction d'un musée vient de faire l'acquisition d'une nouvelle statue et elle souhaite réaliser un socle en bois pour y déposer celle-ci. On appelle V le volume de ce socle dont la forme est donnée ci-dessous.
Le socle est constitué de deux parties.
sujet du bac STI Matériaux Mécanique Réunion 2006 : image 1

(*) Cette cote a été arrondie au centième.


1. La première partie est un cylindre de révolution de 0,50 m de rayon et de 0,50 m de hauteur. Calculer la valeur exacte, en m3, du volume V1 de cette première partie.

2. Le volume V2 de la deuxième partie est celui du solide de révolution engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses, du domaine plan limité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction f d'équation y = 0,5e^{-0,5x} et les droites d'équations x = 0 et x = 0,5.
On précise que la valeur exacte, en m3, de ce volume est donnée par la formule : V2 = \pi \displaystyle \int_0^{0,5} [f(x)]^2 \text{d}x.
     a) Calculer V2.
     b) En déduire que la valeur exacte, en m3, du volume du socle est : V = \dfrac{\pi(3 - 2e^{-0,5})}{8}
     c) Donner la valeur arrondie du volume V à 10-3 près.


5 points

exercice 2

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O ; \vec{u}, \vec{v})
(unité graphique : 2 cm).
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation suivante : iz = -\sqrt{3} + i.
Exprimer la solution sous forme algébrique.

2. Soit A le point d'affixe zA défini par \text{z_A} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}
    a) Déterminer le module et un argument de zA.
    b) En déduire que l'écriture algébrique de zA est 1 + i\sqrt{3}.

3. On désigne par B et C les points dont les affixes zB et zC sont définies par : zB = -zA et zC = zA².
    a) Ecrire zB et zC sous forme algébrique.
    b) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
    c) Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

4. On note D le point d'affixe zD définie par zD = \dfrac{4}{z_A}
Montrer que zD = \bar{z_A}\bar{z_A} désigne le nombre complexe conjugué de zA.

5. On note E le point de la droite (AC) dont l'affixe zE est un nombre réel. Calculer zE.


11 points

probleme

On note I l'intervalle ]0 ; +\infty[.

Partie A

Soient a et b deux nombres réels.
On considère la fonction numérique f définie, pour tout nombre réel x de I, par : f(x) = x^2 + ax + b - 2\ln x.
On note \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i} , \vec{j}) (unité graphique : 2 cm).
Soit A le point de coordonnées (1 ; -3).

Calculer les valeurs respectives des nombres réels a et b pour que, d'une part la courbe \mathscr{C} passe par le point A et que, d'autre part, la tangente à cette courbe au point A admette un coefficient directeur égal à 0.

Partie B

Dans toute la suite du problème, on étudiera la fonction numérique f définie, pour tout nombre réel x de I, par : f(x) = x^2 - 4 - 2\ln x.

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en 0.
    b) Que peut-on en déduire pour la courbe \mathscr{C} ?

2. a) Verifier que, pour tout nombre réel x de I, on a f(x) = x\left(x - \dfrac{4}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x}\right).
    b) En déduire la limite de la fonction f en +\infty.

3. Déterminer la fonction dérivée f' de la fonction f puis montrer que, pour tout nombre réel x de I, on a f'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1)}{x}.

4. Étudier le signe de la fonction f' sur I et dresser le tableau de variations de la fonction f sur I.

5. Déterminer le signe de f(x) quand le nombre réel x appartient à l'intervalle [1 ; 2].

6. Tracer la courbe \mathscr{C} dans le repère (O ; \vec{i} , \vec{j}).

Partie C

Soit H la fonction numérique définie, pour tout nombre réel x de I, par : \text{H}(x) = x\ln x - x.

1. Calculer H'(x) où H' désigne la fonction dérivée de H.

2. En déduire une primitive F de la fonction f sur I.

3. On appelle \Delta la partie du plan limitée par la courbe \mathscr{C}, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 2. Hachurer \Delta. Calculer la valeur exacte de l'aire de \Delta en unités d'aire, puis en cm².






exercice 1

Partie A

1. Résolution de l'équation différentielle (E) :
2y' + y = 0 \: \Longleftrightarrow \: y' = -0,5y
L'ensemble des solutions est donné par : \boxed{ f(x) = k e^{-0,5x} }k est un réel quelconque.
Rappel : Les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont de la forme f(x)=ke^{ax}, où k est un réel quelconque.

2. Recherche de la solution particulière vérifiant la condition initiale f(0)=0,5 :
f(0)=0,5 \: \Longleftrightarrow \: k e^{-0,5 \times 0} = 0,5 \Longleftrightarrow \boxed{k=0,5}
Donc la solution particulière est : \boxed{ f(x) = 0,5 e^{-0,5x} }

Partie B

1. Volume du cylindre de rayon R = 0,5 m et de hauteur H = 0,5 m :
\text{V}_1 = \pi \text{R}^2 \text{H} \\ \text{V}_1 = \pi \times 0,5^2 \times 0,5 \\ \text{V}_1 = 0,125 \pi \\ \boxed{\text{V}_1 = \frac{\pi}{8} }

2. a) Calcul de V2 :
f(x) = 0,5 e^{-0,5x}\\ \left[f(x)\right]^2 = 0,5^2 e^{-0,5x \times 2}\\ \left[f(x)\right]^2 = 0,25 e^{-x}
Soit F une primitive de \left[f(x)\right]^2 : F(x) = -0,25 e^{-x}
Donc :
\text{V}_2 = \pi \displaystyle \int_0^{0,5} \left[f(x)\right]^2 \text{d}x\\ \text{V}_2 = \pi \left[F(x)\right]_0^{0,5} \\ \text{V}_2 = \pi \left[F(0,5) - F(0)\right] \\ \text{V}_2 = -0,25\pi \left(e^{-0,5} - e^0\right) \\ \text{V}_2 = 0,25\pi \left(1 - e^{-0,5}\right) \\ \boxed{\text{V}_2 = \frac{\pi \left(1 - e^{-0,5}\right)}{4} }

2. b) Calcul du volume total :
\text{V} = \text{V}_1 + \text{V}_2 \\ \text{V} = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{\pi \left(1 - e^{-0,5}\right)}{4} \\ \text{V} = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{2 \pi \left(1 - e^{-0,5}\right)}{8} \\ \boxed{\text{V} = \frac{\pi \left(3 - 2e^{-0,5}\right)}{8} }

2. c) Valeur approchée du volume :
\boxed{\text{V} \approx 0,702 \ \text{m}^3 }




exercice 2

1. Résolution de l'équation :
\text{i}z = -\sqrt{3} + \text{i}
On multiplie les 2 membres par i :
\text{i}^2z = -\text{i}\sqrt{3} + \text{i}^2 \\ \Longleftrightarrow \: -z = -\text{i}\sqrt{3} - 1 \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{z = 1 + \text{i}\sqrt{3}}

2. a) Module et argument de zA :
Par définition, un nombre complexe de module \rho et d'argument \theta a pour forme exponentielle z = \rho e^{\text{i} \theta}
Donc : \boxed{|z_{\text{A}}| = 2} \hspace{50pt} \boxed{Arg(z_{\text{A}}) = \frac{\pi}{3}}

2. b) Les parties réelles et imaginaires d'un nombre complexe de module \rho et d'argument \theta sont données par :
Re(z) = \rho \cos \theta \hspace{50pt} Im(z) = \rho \sin \theta
Donc : Re(z_{\text{A}}) = 2 \cos \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \frac{1}{2} = 1  \hspace{50pt} Im(z_{\text{A}}) = 2 \sin \dfrac{\pi}{3} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
Donc : \boxed{z_{\text{A}} = 1 + i\sqrt{3}}

3. a) Formes algébriques de zB et zC :
z_{\text{B}} = -z_{\text{A}} \\ z_{\text{B}} = -(1 + i\sqrt{3}) \\ \boxed{z_{\text{B}} = -1 - i\sqrt{3}}

z_{\text{C}} = z_{\text{A}}^2 \\ z_{\text{C}} = (1 + i\sqrt{3})^2 \\ z_{\text{C}} = 1^2 + (i\sqrt{3})^2 + 2 \times 1 \times i\sqrt{3} \\ z_{\text{C}} = 1 - 3 + 2i\sqrt{3} \\ \boxed{z_{\text{C}} = -2 + 2i\sqrt{3}}

3. b)
sujet du bac STI Matériaux Mécanique Réunion 2006 : image 2


3. c) Calcul des longueurs AB, AC et BC :
\text{AB} = |z_{\text{B}} - z_{\text{A}}| \\ \text{AB} = |-1 - \text{i}\sqrt{3} - \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)| \\ \text{AB} = |-2 - 2\text{i}\sqrt{3}| \\ \text{AB} = \sqrt{\left(-2\right)^2 + \left(-2\sqrt{3}\right)^2} \\ \text{AB} = \sqrt{4+12} \\ \boxed{\text{AB} = 4}

\text{AC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{A}}| \\ \text{AC} = |-2 + 2\text{i}\sqrt{3} - \left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)| \\ \text{AC} = |-3+2\text{i}\sqrt{3}| \\ \text{AC} = \sqrt{(-3)^2 + (\sqrt{3})^2} \\ \text{AC} = \sqrt{9+3} \\ \boxed{\text{AC} = \sqrt{12}}

\text{BC} = |z_{\text{C}} - z_{\text{B}}| \\ \text{BC} = |-2 + 2\text{i}\sqrt{3} - (-1 - \text{i}\sqrt{3})| \\ \text{BC} = |1+3\text{i}\sqrt{3}| \\ \text{BC} = \sqrt{1^2 + (3\sqrt{3})^2} \\ \text{BC} = \sqrt{1+27} \\ \boxed{\text{BC} = \sqrt{28}}

D'une part : \text{BC}^2 = \left(\sqrt{28}\right)^2 = 28
D'autre part : \text{AB}^2 + \text{AC}^2 = 4^2 + \left(\sqrt{12}\right)^2 = 16+12 = 28
On a donc : \text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

4. Calcul de zD :
z_{\text{D}} = \dfrac{4}{z_{\text{A}}} \\ z_{\text{D}} = \dfrac{4}{1 + \text{i}\sqrt{3}} \\ z_{\text{D}} = \dfrac{4(1 - \text{i}\sqrt{3})}{\left(1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)} \\ z_{\text{D}} = \dfrac{4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)}{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} \\ z_{\text{D}} = \dfrac{4\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)}{4} \\ z_{\text{D}} = 1 - \text{i}\sqrt{3} \\ \boxed{z_{\text{D}} = \bar{z_{\text{A}}} }

5. Détermination de zE :
Si zE est un nombre réel, alors cela signifie que E est sur l'axe des abscisses. Donc E est l'intersection de la droite (AC) et de l'axe des abscisses.
On détermine l'équation de la droite (AC), de la forme y = mx+p,avec \text{A}(1 \, ; \, \sqrt{3}) et \text{C}(-2 \, ; \, 2\sqrt{3})
m = \dfrac{y_{\text{C}} - y_{\text{A}}}{x_{\text{C}} - x_{\text{A}}} \\ m = \dfrac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{-2 - 1} \\ \boxed{m = -\frac{\sqrt{3}}{3}}
Le point A appartient à la droite (AC) donc :
y_{\text{A}} = m \times x_{\text{A}} + p \\ \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \times 1 + p \\ p = \sqrt{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \boxed{p = \frac{4\sqrt{3}}{3} }
Donc l'équation de la droite (AC) est : \boxed{y = \frac{\sqrt{3}}{3}(-x + 4) }
Le point E est tel que y_{\text{E}} = 0
y = 0 \: \Longleftrightarrow \: \dfrac{\sqrt{3}}{3}(-x+4)=0 \: \Longleftrightarrow \: x=4
Donc le point E a pour coordonnées \boxed{\text{E}(4 ; 0)} donc \boxed{z_{\text{E}} = 4}.




probleme

Partie A

La courbe \scr{C} passe par le point A de coordonnées (1 ; -3) donc \boxed{f(1) = -3}.
La courbe admet une tangente horizontale au point A, donc \boxed{f'(1) = 0}
f(1) = -3 \\ \Longleftrightarrow \: 1^2 + a \times 1 + b -2 \ln 1 = -3 \\ \Longleftrightarrow \: 1 + a + b = -3 \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{a + b = -4}

f'(x) = 2x + a - \dfrac{2}{x}\\ f'(1)=0 \\ \Longleftrightarrow \: 2 \times 1 + a - \dfrac{2}{1} = 0 \\ \Longleftrightarrow \: 2 + a - 2 = 0 \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{a = 0}
On en déduit que \boxed{b = -4}
Donc : \boxed{f(x) = x^2 - 4 -2 \ln x}

Partie B

1. a) Limite en 0 :
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to 0} \ x^2-4 = -4 \\ \displaystyle \lim_{x\to 0} \: \ln x = -\infty  \end{array} \right \rbrace   \text{ donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x \to 0} \: f(x) = +\infty}

1. b) On en déduit que la courbe \scr{C} admet l'axe des ordonnées, d'équation x=0, pour asymptote verticale.

2. a) On développe :
 x \left( x - \dfrac{4}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x} \right) = x^2 - \dfrac{4x}{x} -2x\dfrac{\ln x}{x} \\ x \left( x - \dfrac{4}{x} - 2\dfrac{\ln x}{x} \right) = x^2 - 4 - 2\ln x \\ \boxed{x \left( x - \frac{4}{x} - 2\frac{\ln x}{x} \right) = f(x)}

2. b) Limite en +infini
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x \times x = +\infty \\ \end{array} \right \rbrace donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \ f(x) = +\infty}

3. Calcul de la dérivée :
f'(x) = 2x -2\times \dfrac{1}{x} \\ f'(x) = \dfrac{2x^2 -2}{x} \\ f'(x) = \dfrac{2(x^2 -1)}{x} \\ \boxed{f'(x) = \frac{2(x-1)(x+1)}{x}}

4. Etude du signe de la dérivée :
f'(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \; x-1=0 \; \text{ ou } \; x+1=0 \\ \Longleftrightarrow \; x = 1 \; \text{ ou } \; x=-1
sujet du bac STI Matériaux Mécanique Réunion 2006 : image 3


5. Signe de f(x) sur l'intervalle [1 ; 2] :
  • La fonction f est dérivable sur [1 ; 2] ;
  • la fonction f est strictement croissante sur [1 ; 2] ;
  • f(1) = -3 < 0 \hspace{25pt} f(2) = -2 \ln 2 \approx -1,4 < 0
donc f(x) est strictement négatif pour tout x de l'intervalle [1 ; 2].

6.
sujet du bac STI Matériaux Mécanique Réunion 2006 : image 4


Partie B

1. Calcul de la dérivée de H :
On pose : u = x \hspace{25pt} v = \ln x
Donc : u' = 1 \hspace{25pt} v'=\dfrac{1}{x}
H'(x) = u'v+uv' - 1 \\ H'(x) = 1 \times \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 \\ H'(x) = \ln x + 1 - 1 \\ \boxed{H'(x) = \ln x}

2. Détermination d'une primitive de f :
f(x) = x^2 - 4 - 2 H'(x)
Donc :
F(x)= \dfrac{x^3}{3} - 4x - 2 H(x) \\ F(x) = \dfrac{x^3}{3} - 4x - 2 (x \ln x - x) \\ \boxed{ F(x) = \frac{x^3}{3} - 2x - 2 x \ln x }

3. Calcul de l'aire :
On calcule l'intégrale de la fonction f entre 1 et 2 :
\text{J} = \displaystyle \int_1^2 f(x) dx \\ \text{J} = [F(x)]_1^2 \\ \text{J} = F(2) - F(1) \\ \text{J} = \dfrac{2^3}{3} - 2 \times 2 - 2 \times 2 \times \ln 2 - \left(\dfrac{1^3}{3} - 2 \times 1 - 2 \times 1 \times \ln 1\right) \\ \text{J} = \dfrac{8}{3} - 4 - 4 \ln 2 - \left(\dfrac{1}{3} - 2 - 0\right) \\ \text{J} = \dfrac{8}{3} - 4 - 4 \ln 2 - \dfrac{1}{3} + 2 \\ \boxed{\text{J} = \frac{1}{3} - 4 \ln 2}
Unités d'aire associée au repère : 1 \, \text{U.A.} \, = 2 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2
On a vu que la fonction f est négative sur l'intervalle [1 ; 2], donc l'aire \scr{A} est donnée par :
\scr{A} = -\text{J} \\ \boxed{\scr{A} = 4 \ln 2 - \frac{1}{3} \, \text{U.A.} }\\ \boxed{\scr{A} = 16 \ln 2 - \frac{4}{3} \, \text{cm}^2 \, \approx 9,76 \, \text{cm}^2}
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