Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (options B, C, D et E) - Génie des Matériaux
Métropole - Session 2006

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L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le condidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
5 points

exercice 1

1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{C} des nombres complexes, l'équation (z - 4)(z2 + 4z + 16) = 0.

2. Soient les nombres complexes suivants :
z_1 = 4z_2 = -2 - 2i\sqrt{3}z_3 = -2 + 2i\sqrt{3}z_4 = 8 e^{i\frac{\pi}{3}}z_5 = 2 e^{i\frac{\pi}{3}}

    a) Donner le module et un argument de chacun des nombres complexes z1, z2, z3.
    b) Donner les formes algébriques de z4 et de z5.

3. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) d'unité graphique 1cm.
Soient les points A, B, C, D et E d'affixes respectives z1, z2, z3, z4 et z5.
    a) Placer les points A, B, C, D et E dans le repère indiqué.
    b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.


5 points

exercice 2

On considère l'équation différentielle (E) suivante :
\pi^2y + 9y'' = 0,

où y est une fonction de la variable réelle x et y '' sa dérivée seconde.

1. Soit g la fonction numérique définie pour tout nombre réel x par :
g(x) = 2 \cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4 \sin\left(\dfrac{\pi}{3}x\right).

Vérifier que la fonction g est une solution de l'équation différentielle (E).

2. a) Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle (E).
    b) Déterminer la solution particulière f de l'équation différentielle (E) qui vérifie :
f(0) = 1 et f'(0) = \dfrac{\pi}{3}.

    c) Montrer que, pour tout nombre réel x, f(x) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = \sqrt{2} \cos \left( \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4}\right).

    d) Résoudre dans l'intervalle [0 ; 3] l'équation f(x) = 1.



10 points

probleme

Partie A

1. Résoudre dans l'ensemble \mathbb{R} des nombres réels l'équation 2X² - 5X + 2 = 0.

2. En déduire les solutions, sur l'intervalle ]0 ; +\infty[, de l'équation 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2 = 0
On pourra poser X = ln x.

Partie B

Soit la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par f(x) = 2(\ln x)^2 - 5\ln x + 2.
Soit \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni du repère orthonormal (O;\vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 1 cm.

1. Limites aux bornes
    a) Etudier la limite de f en 0. Quelle conséquence graphique peut-on en tirer ?
    b) Déterminer la limite de f en + \infty (on pourra factoriser par ln x).

2. Variations
    a) On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.
Vérifier que, pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; +\infty[, f'(x) = \dfrac{4 \ln x-5}{x}.
    b) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.
    c) En déduire le signe de f(x) sur l'intervalle ]0 ; +\infty[. On pourra remarquer que la fonction f s'annule en \sqrt{e} et en e^2.

3. Donner une équation de la tangente T et la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse \sqrt{e}.

4. Tracer la courbe \mathscr{C} et la tangente T dans le repère orthonormal (O;\vec{i},\vec{j}).

5. Calcul d'une aire
    a) Hachurer le domaine \mathscr{A} du plan situé en dessous de l'axe (Ox) et compris entre la courbe \mathscr{C} et l'axe (Ox).
    b) Vérifier que la fonction F définie sur l'intervalle ]0; +\infty[ par F(x) = x(2(\ln x)^2 - 9\ln x + 11) est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; +\infty[.
    c) Calculer en cm² l'aire du domaine \mathscr{A}. En donner l'arrondi à 10-2.






exercice 1

1. Résolution de l'équation :
(z-4)(z^2+4z+16)=0 \\ \Longleftrightarrow \: z - 4 = 0 \hspace{15pt} \text{ ou } \hspace{15pt} z^2+4z+16=0

Résolution de z^2+4z+16 = 0
\Delta = 4^2 - 4 \times 1 \times 16 = -48 = \left(4i\sqrt{3}\right)^2 donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées :
z_1 = \dfrac{-4-4i\sqrt{3}}{2 \times 1} = \boxed{-2-2i\sqrt{3}} \hspace{50pt} z_2 = \boxed{-2+2i\sqrt{3}}
Donc les solutions de l'équation (z-4)(z^2+4z+16)=0 sont \boxed{S = \lbrace 4 \, ; \, -2-2i\sqrt{3} \, ; \, -2+2i\sqrt{3} \rbrace  }

2. a) Calcul des modules des nombres complexes z1, z2 et z3 :
|z_1| = |4| \\ \boxed{|z_1| = 4 }

|z_2| = |-2-2i\sqrt{3}| \\ |z_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} \\ |z_2| = \sqrt{4 + 12} \\ \boxed{|z_2| = 4 }

|z_3| = |-2+2i\sqrt{3}| \\ |z_3| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} \\ |z_3| = \sqrt{4 + 12} \\ \boxed{|z_3| = 4 }

On appelle \theta_1 , \theta_2, \theta_3 un des arguments des nombres complexes z1, z2 et z3.
\left. \begin{array}{l}  \cos \theta_1 = \dfrac{Re(z_1)}{|z_1|} = \frac{4}{4} = 1 \\ \sin \theta_1 = \dfrac{Im(z_1)}{|z_1|} = \frac{0}{4} = 0 \\ \end{array} \right \rbrace  \text{donc } \boxed{Arg(z_1) = \theta_1 = 0}
\left. \begin{array}{l} \cos \theta_2 = \dfrac{Re(z_2)}{|z_2|} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \\ \sin \theta_2 = \dfrac{Im(z_2)}{|z_2|} = \dfrac{-2\sqrt{3}}{4} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{array} \right \rbrace  \text{donc } \boxed{Arg(z_2) = \theta_2 = -\dfrac{2\pi}{3}}
\left. \begin{array}{l} \cos \theta_3 = \dfrac{Re(z_3)}{|z_3|} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2} \\ \sin \theta_3 = \dfrac{Im(z_3)}{|z_3|} = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right \rbrace  \text{donc } \boxed{Arg(z_3) = \theta_3 = \dfrac{2\pi}{3}}

2. b) Forme algébriques de z4 et z5 :
Rappel : \rho e^{\text{i} \theta} = \rho (\cos \theta + \text{i} \sin \theta)
z_4 = 8e^{\text{i} \frac{\pi}{3}} \\ z_4 = 8\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \\ z_4 = 8\left(\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ \boxed{ z_4 = 4 + 4\text{i} \sqrt{3} }

z_5 = 2e^{\text{i}\frac{\pi}{3}} \\ z_5 = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{\pi}{3} \right) \\ z_5 = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \\ \boxed{ z_5 = 1 + \text{i}\sqrt{3} }

3. a)
bac STI Génies Mécanique Matériaux Métropole 2006 - terminale : image 1


3. b) Nous allons montrer que le quadrilatère ABCD est un losange.
On calcule les longueurs des 4 côtés :
\text{AB} = |z_2 - z_1| = |-2 - 2\text{i}\sqrt{3} - 4| = |-6-2\text{i}\sqrt{3}| = \sqrt{(-6)^2+(-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36+12} = \sqrt{48} = \boxed{4\sqrt{3}} \\ \text{AD} = |z_4 - z_1| = |4 + 4\text{i}\sqrt{3} - 4| = |4\text{i}\sqrt{3}| = \boxed{4\sqrt{3}} \\ \text{BC} = |z_3 - z_2| = |-2+2\text{i}\sqrt{3} - (-2-2\text{i}\sqrt{3})| = |4\text{i}\sqrt{3}| = \boxed{4\sqrt{3}} \\ \text{CD} = |z_4 - z_3| = |4+4\text{i}\sqrt{3} - (-2+2\text{i}\sqrt{3})| = |6+2\text{i}\sqrt{3}| = \sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36+12} = \sqrt{48} = \boxed{4\sqrt{3}}
Un quadrilatère qui a ses 4 côtés de même longueur est un losange donc ABCD est un losange.
Remarque : On aurait pu utiliser d'autres méthodes :
- en commencant par montrer que ABCD est un parallélogramme, par exemple en démontrant que les vecteurs \overrightarrow{\text{AB}} et \overrightarrow{\text{DC}} sont égaux, ou que les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu E ;
- puis en démontrant que les diagonales sont perpendiculaires en E.




exercice 2

1. Vérification que la fonction g est une solution de l'équation différentielle (E) :
g(x) = 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \\ g'(x) = -2 \times \dfrac{\pi}{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4 \times \dfrac{\pi}{3}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \\ g'(x) = -\dfrac{2\pi}{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + \dfrac{4\pi}{3}\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \\ g''(x) = -\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{\pi}{3} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - \dfrac{4\pi}{3} \times \dfrac{\pi}{3}\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \\ g''(x) = -\dfrac{2\pi^2}{9} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - \dfrac{4\pi^2}{9} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right)
Donc :
\pi^2g(x) + 9g''(x) = \pi^2 \left( 2\cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \right) + 9 \left( -\dfrac{2\pi^2}{9} \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - \dfrac{4\pi^2}{9} \sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \right) \\ \pi^2g(x) + 9g''(x) = 2\pi^2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) + 4\pi^2 \sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - 2\pi^2 \cos \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) - 4\pi^2 \sin \left(\dfrac{\pi}{3}x\right) \\ \boxed{\pi^2g(x) + 9g''(x) = 0}
Donc la fonction g est une solution de l'équation différentielle (E).

2. a) Ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) :
\9y''+ \pi^2 y = 0 \:  \Longleftrightarrow \: y'' + \dfrac{\pi^2}{9} y = 0 \: \Longleftrightarrow \: y'' + \left(\dfrac{\pi}{3}\right)^2 y = 0
Donc : \boxed{f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{3} x\right) + B \sin\left(\frac{\pi}{3} x\right)} où A et B sont deux réels quelconques.
Rappel : les solutions de l'équation différentielle y'' + \omega^2 y = 0 sont données par : f(x) = A \cos ( \omega x) + B \sin( \omega x) où A et B sont deux réels quelconques.

2. b) Détermination de la solution particulière vérifiant les 2 conditions initiales :
f(x) = A \cos \left(\dfrac{\pi}{3} x\right) + B \sin\left(\dfrac{\pi}{3} x\right)
Donc : f'(x) = -A\dfrac{\pi}{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{3} x\right) + B\dfrac{\pi}{3} \cos\left(\dfrac{\pi}{3} x\right)
f(0)=1 \\ \Longleftrightarrow \: A \cos \left(\dfrac{\pi}{3} \times 0\right) + B \sin\left(\dfrac{\pi}{3} \times 0\right) = 1 \\ \Longleftrightarrow \: A \times 1 + B \times 0 = 1 \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{A = 1}

f'(0)=\dfrac{\pi}{3} \\ \Longleftrightarrow \: -A\dfrac{\pi}{3} \sin \left(\dfrac{\pi}{3} \times 0\right) + B\dfrac{\pi}{3} \cos\left(\dfrac{\pi}{3} \times 0\right) = \dfrac{\pi}{3} \\ \Longleftrightarrow \: -A\dfrac{\pi}{3} \times 0 + B\dfrac{\pi}{3} \times 1 = \dfrac{\pi}{3} \\ \Longleftrightarrow \: \boxed{B = 1 }
Donc : \boxed{f(x) = \cos \left(\dfrac{\pi}{3} x\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{3} x\right)}

2. c) On utilise la formule d'addition : \cos(a-b) = \cos(a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)
\sqrt{2} \cos \left( \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3} x\right) \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{3} x\right) \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right) \\ \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \cos\left(\dfrac{\pi}{3} x\right) \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \sin\left(\dfrac{\pi}{3} x\right) \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \\ \sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{3} x\right) + \sin\left(\dfrac{\pi}{3} x\right) \\ \boxed{\sqrt{2} \cos \left( \frac{\pi}{3} x - \frac{\pi}{4} \right) = f(x) }
(car \sqrt{2} \times \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{2}{2} = 1)

2. d) Résolution de l'équation dans [0 ; 3] :
f(x) = 1 \\ \Longleftrightarrow \: \sqrt{2} \cos \left( \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} \right) = 1 \\ \Longleftrightarrow \: \cos \left( \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \Longleftrightarrow \: \cos \left( \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} \right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \Longleftrightarrow \: \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \: \text{ ou } \: \dfrac{\pi}{3} x - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \: (k \in \subset\mathbb{Z}) \\ \Longleftrightarrow \: \frac{\pi}{3} x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \: \text{ ou } \: \dfrac{\pi}{3} x = 2k\pi \: (k \in \subset\mathbb{Z}) \\ \Longleftrightarrow \: x = \dfrac{3}{2} + 6k \: \text{ ou } \: x = 6k \: (k \in \subset\mathbb{Z})
Dans l'intervalle [0 ; 3], seule la valeur k = 0 convient pour les 2 familles de solutions, donc :
\boxed{f(x) = 1 \: \Longleftrightarrow \: x = \frac{3}{2} \: \text{ ou } \: x = 0 }




probleme

Partie A

1. Résolution de l'équation 2X^2 - 5X + 2 = 0 :
\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 9 \, > \, 0 donc l'équation admet 2 racines réelles distinctes :
x_1 = \dfrac{-(-5)-\sqrt{9}}{2 \times 2} = 0,5 \hspace{50pt} x_2 = \dfrac{-(-5)+\sqrt{9}}{2 \times 2} = 2
L'ensemble des solutions est donc : \boxed{S_X = \lbrace  0,5 \, ; \, 2 \rbrace  }

2. Résolution de l'équation 2(\ln x)^2 - 5 \ln x + 2 = 0 :
En posant X = \ln x, on obtient l'équation de la question 1. On a donc :
2(\ln x)^2 - 5 \ln x + 2 = 0 \\ \Longleftrightarrow \: \ln x = 0,5 \: \text{ ou } \: \ln x = 2 \\ \Longleftrightarrow \: x = e^{0,5} \: \text{ ou } \: x = e^2
L'ensemble des solutions est donc : \boxed{S_x = \lbrace  e^{0,5} \, ; \, e^2 \rbrace  }

Partie B

1. a) Limite en 0 :
On a : \displaystyle \lim_{x\to 0} \, \ln x = -\infty donc :
\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to 0} \, (\ln x)^2 = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to 0} \, -5\ln x = +\infty \\ \end{array} \right\rbrace  \text{donc } \boxed{\displaystyle \lim_{x\to 0} \, f(x) = +\infty}
Donc la courbe \scr{C} admet l'axe des ordonnées, d'équation x = 0, comme asymptote verticale.

1. b) Limite en +\infty :
f(x) = 2(\ln x)^2 - 5 \ln x + 2 = \ln x (2 \ln x - 5) + 2
On a : \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, \ln x = +\infty
Donc \boxed{\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, f(x) = +\infty}

2. a) Calcul de la dérivée :
Rappel : (u^2)' = 2u'u donc, en posant u = \ln x :
f'(x) = 2 \times 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x - 5 \times \dfrac{1}{x} \\ f'(x) = \dfrac{4 \ln x}{x} - \dfrac{5}{x} \\ \boxed{f'(x) = \frac{4 \ln x - 5}{x} }

2. b) Etude du signe de la dérivée :
f'(x) = 0 \: \Longleftrightarrow \: 4 \ln x - 5 = 0 \: \Longleftrightarrow \: \ln x = 1,25 \: \Longleftrightarrow \: x = e^{1,25} \\ 4 \ln x - 5 > 0 \: \Longleftrightarrow \: \ln x > 1,25 \: \Longleftrightarrow \: x > e^{1,25}

bac STI Génies Mécanique Matériaux Métropole 2006 - terminale : image 2

f(e^{1,25}) = 2(\ln (e^{1,25}))^2 - 5 \ln (e^{1,25}) + 2 = 2 \times (1,25)^2 - 5 \times 1,25 + 2 = -1,125

2. c) Etude du signe de f :
f(\sqrt{e}) = f(e^{0,5}) = 2(\ln (e^{0,5}))^2 - 5 \ln (e^{0,5}) + 2 = 2 \times (0,5)^2 - 5 \times 0,5 + 2 = 0 \\ f(e^2) = 2(\ln (e^2))^2 - 5 \ln (e^2) + 2 = 2 \times 2^2 - 5 \times 2 + 2 = 0
De plus, comme e^{0,5} \, < \, e^{1,25} \, < \, e^2, on en déduit le signe de f(x) :
bac STI Génies Mécanique Matériaux Métropole 2006 - terminale : image 3


3. Equation de la droite tangente :
L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donné par : y = f'(a)(x-a) + f(a) avec a = \sqrt{e} = e^{0,5}
On a : f(\sqrt{e})=0 (voir question précédente)
f'(\sqrt{e}) = \dfrac{4 \ln (e^{0,5}) - 5}{\sqrt{e}} = \dfrac{4 \times 0,5 - 5}{\sqrt{e}} = -\dfrac{3}{\sqrt{e}}
Donc l'équation de la droite tangente est :
y = -\dfrac{3}{\sqrt{e}} (x-\sqrt{e}) + 0 \\ \boxed{y = -\frac{3}{\sqrt{e}}x + 3}
La droite tangente passe donc par les points de coordonnées (0 \, ; \, 3) et (\sqrt{e} \, ; \, 0).

4.
bac STI Génies Mécanique Matériaux Métropole 2006 - terminale : image 4


5. a) Voir courbe.

5. b) Dérivation de la fonction F :
On a vu, dans la question 2a, que : \left( (\ln x)^2 \right)' = \dfrac{2 \ln x}{x}
La fonction F est sous forme de produit :
On pose : u = x \ \ \ v=2( \ln x)^2 - 9 \ln x + 11
Donc :  u' = 1 \hspace{15pt} v' = \dfrac{4 \ln x}{x} - \dfrac{9}{x}
F'(x) = u'v + uv' \\ F'(x) = 1 \times \left( 2( \ln x)^2 - 9 \ln x + 11) \right) + x \times \left( \dfrac{4 \ln x}{x} - \dfrac{9}{x} \right) \\ F'(x) = 2( \ln x)^2 - 9 \ln x + 11 + 4 \ln x - 9 \\ F'(x) = 2( \ln x)^2 - 5 \ln x + 2 \\ \boxed{F'(x) = f(x) }
Donc F est une primitive de f.

5. c) La fonction f est négative sur l'intervalle \left[\sqrt{e} \, ; \, e^2 \right] , et l'unité d'aire associé au repère est égale à 1 cm2, donc l'aire du domaine \scr{A} est donnée par :
\text{I} = - \displaystyle \int_{\sqrt{e}}^{e^2} f(x) dx \\ \text{I} = - \left[ F(x) \right]_{\sqrt{e}}^{e^2} \\ \text{I} = F(\sqrt{e}) - F(e^2) \\ \text{I} = e^{0,5}(2(\ln (e^{0,5}))^2 - 9 \ln (e^{0,5}) +11) - e^2(2(\ln (e^2))^2 - 9 \ln (e^2) +11) \\ \text{I} = e^{0,5}(2(0,5)^2 - 9 \times 0,5 +11) - e^2(2(2)^2 - 9 \times 2 +11) \\ \text{I} = e^{0,5}(0,5-4,5+11) - e^2(8-18+11) \\ \boxed{\text{I} = 7\sqrt{e} - e^2 \approx 4,15 \, \text{cm}^2 }
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