Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (options A et F) - Génie Energétique - Génie Civil
Polynésie Française - Session 2006

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le candidat traitera obligatoirement les 2 exercices.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures

5 points

exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ , unité graphique : 1 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P(z) = z³ - 4z² + 8z - 8.
    a) Démontrer que, pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4)
    b) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation P(z) = 0.

2. On note A, B, C, les points d'affixes respectives : a = 2; b = 1 + i $\sqrt{3}$ ; c = 1 - i $\sqrt{3}$ .
    a) Déterminer le module et un argument de a, b, c.
    b) En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.
    c) Placer les points A, B et C en laissant visibles les traits de construction.
    d) Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.

3. On pose d = a + b et on note D le point d'affixe d.
    a) Construire le point D dans le repère $(O ; \vec{u}, \vec{v})$ .
    b) Démontrer que A est le milieu du segment [CD].
    c) Ecrire d sous forme exponentielle.
    d) Démontrer que OCD est un triangle rectangle.

5 points

exercice 2

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ .

Partie A : Calcul d'une primitive

On note g la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2] par $g(x) = \dfrac{x}{x + 1}$ .

1. Déterminer deux réels a et b tels que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 2], $g(x) = a + \dfrac{b}{x + 1}$

2. En déduire une primitive de g sur l'intervalle [0 ; 2].

Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 2 ] par : $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$
On considère une plaque homogène formée par l'ensemble des points M( $x$ ; y) du plan dont les coordonnées vérifient les relations : $0 \leq x \leq 2 \text{ et } 0 \leq y \leq f(x)$ (voir schéma ci-dessous).

1. Soit S l'aire de la plaque exprimée en unité d'aire. Démontrer que S = ln 3.

2. Soit G le centre de gravité de la plaque. On admettra que les coordonnées (X ; Y) de G sont données par les formules suivantes :
$X = \dfrac{1}{S}\displaystyle \int_0^2 xf(x) \text{d}x$ et $Y = \dfrac{1}{2S}\displaystyle \int_0^2\left(f(x)\right)^2 \text{d}x$
a) Calculer la valeur exacte de X, puis une valeur approchée arrondie au centième.
b) Calculer la valeur exacte de Y, puis une valeur approchée arrondie au centième.

10 points

probleme

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle (1) : y ' + y = 2 $e^{-x}$ , dans laquelle y déigne une fonction inconnue de la variable $x$ , dérivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.

1. Résoudre l'équation différentielle (2) : y' + y = 0.

2. Soit la fonction h définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = 2xe^{-x}$ . vérifier que h est solution de l'équation (1).

3. On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme g + h, où g désigne une solution de l'équation (2).
a) Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
b) Déterminer la solution $f$ de l'équation (1) vérifiant la condition initiale $f(0) = -1$ .

Partie B : Etude d'une fonction exponentielle

On note $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$ . On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ . Unités graphiques : 1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

1. Etude des limites
    a) Déterminer la limite de $f$ en - $\infty$ .
    b) En écrivant, pour tout réel $x$ , $f(x) = 2xe^{-x} - e^{-x}$ , déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ .
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe $\mathscr{C}$ ?

2. Etude des variations de f
    a) Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ , puis démontrer que, pour tout réel $x$ $f'(x)$ est du signe de (-2 $x$ + 3).
    b) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

3. Représentations graphiques
    a) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ avec l'axe des abscisses.
    b) Déterminer une équation de chacune des tangentes (T) et (T ') à la courbe $\mathscr{C}$ aux points d'abscisses $\dfrac32$ et $\dfrac12$ .
    c) Tracer (T), (T ') et la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ .

Partie C : Détermination d'une primitive

1. Vérifier que, pour tout réel $x$ , $f(x) = -f'(x) + 2e^{-x}$ .

2. En déduire une primitive de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

exercice 1

1. a) On développe
$(z - 2)(z^2 - 2z + 4) = z^3-2z^2+4z-2z^2+4z-8 \\ (z - 2)(z^2 - 2z + 4) = z^3 - 4z^2 + 8z - 8$
Donc : $\boxed{P(z) = (z-2)(z^2-2z+4)}$

1. b) Résolution de l'équation P(z) = 0 :
$P(z) = 0 \\ \Longleftrightarrow \: (z - 2)(z^2 - 2z + 4)=0 \\ \Longleftrightarrow \: z - 2 = 0 \hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt} z^2 - 2z + 4 = 0 \\ \Longleftrightarrow \: z = 2 \hspace{25pt} \text{ou} \hspace{25pt} z^2 - 2z + 4 = 0$

Résolution de $z^2 - 2z + 4 = 0$ :
$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 4-16 = -12 = (2i\sqrt{3})^2 \, < \, 0$ donc l'équation admet 2 solutions complexes conjuguées.
$z_1 = \dfrac{-(-2)-2i\sqrt{3}}{2 \times 1} = 1-i\sqrt{3} \hspace{25pt} z_2 = 1+i\sqrt{3}$
Donc : $\boxed{P(z)=0 \ \Longleftrightarrow \ z \in \lbrace 2 \, ; \, 1 - i\sqrt{3} \, ; \, 1 + i\sqrt{3} \rbrace }$

2. a) Calcul des modules des nombres complexes a, b et c :
$|a| = |2| \\ \boxed{|a| = 2}$

$|b| = |1+i\sqrt{3}| \\ |b| = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\\ \boxed{|b| = 2}$

$|c| = |1-i\sqrt{3}| \\ |c| = \sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2} \\ |c| = \sqrt{1+3} \\ \boxed{|c| = 2}$
On appelle $\theta_a$ , $\theta_b$ et $\theta_c$ un des arguments des nombres complexes a, b et c
$\left. \begin{array}{l} \cos \theta_a = \dfrac{Re(a)}{|a|} = \dfrac{2}{2} = 1 \\ \sin \theta_a = \dfrac{Im(a)}{|a|} = \dfrac{0}{2} = 0 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{Arg(a) = \theta_a = 0}$
$\left. \begin{array}{l} \cos \theta_b = \dfrac{Re(b)}{|b|} = \dfrac{1}{2} \\ \sin \theta_b = \dfrac{Im(b)}{|b|} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{Arg(b) = \theta_b = \frac{\pi}{3}}$
$\left. \begin{array}{l} \cos \theta_c = \dfrac{Re(c)}{|c|} = \dfrac{1}{2} \\ \sin \theta_c = \dfrac{Im(c)}{|c|} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{Arg(c) = \theta_c = -\frac{\pi}{3}}$

2. b) Cercle circonscrit au triangle ABC :
On a : $\text{OA} = |a| = 2 \hspace{10pt} \text{OB} = |b| = 2 \hspace{10pt} \text{OC} = |c| = 2$
Donc : les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.

2. c) On commence par tracer le cercle de centre O et de rayon 2.
On place les points B et C sur ce cercle à partir de leurs abcisses égales à 1.

2. d) Montrons que le quadrilatère OBAC est un losange :
$\text{AB} = |b - a| = |1+i\sqrt{3} - 2| = |-1+i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2+(sqrt{3})^2} = 2 \\ \text{AC} = |c - a| = |1-i\sqrt{3} - 2| = |-1-i\sqrt{3}| = \sqrt{(-1)^2+(-sqrt{3})^2} = 2$
On a : OB = BA = AC = CO = 2
Or : un quadrilatère qui a ses 4 côtés de mêmes longueurs est un losange.
Donc : OBAC est un losange.

3. a) Calcul de l'affixe du point D :
$d = a + b \\ d= 2 + 1 + i\sqrt{3} \\ \boxed{d= 3 + i\sqrt{3} }$

3. b) Soit z l'affixe du milieu du segment [CD] :
$z = \frac{c+d}{2} \\ z = \frac{1 - i\sqrt{3} + 3 + i\sqrt{3}}{2} \\ z = \frac{4}{2} \\ \boxed{z = 2 = a}$
Donc : A est le milieu du segment [CD].

3. c) Forme exponentielle de d :
$|d| = |3+i\sqrt{3}| \\ |d| = \sqrt{3^2+(sqrt{3})^2} \\ |d| = \sqrt{9+3} \\ \boxed{|d| = 2\sqrt{3}}$
Soit $\theta_d$ un argument de d.
$\left. \begin{array}{l} \cos \theta_d = \dfrac{Re(d)}{|d|} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \theta_d = \dfrac{Im(d)}{|d|} = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2} \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{Arg(d) = \theta_d = \frac{\pi}{6} }$
La forme exponentielle de d est donc : $\boxed{d = 2\sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{6}}}$

3. d) Démontrons que le triangle OCD est rectangle en O :
$\widehat{\text{COD}} = \widehat{\text{COA}} + \widehat{\text{AOD}} \\ \widehat{\text{COD}} = |Arg(c)| + |Arg(d)| \\ \widehat{\text{COD}} = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} \\ \boxed{\widehat{\text{COD}} = \frac{\pi}{2} }$
Donc : le triangle OCD est rectangle en O.
Remarque : on peut utiliser d'autres méthodes pour cette démonstration :
- en calculant les longueurs OC, OD et CD et en utilisant le théorème de Pythagore
- en montrant que AC = AO = AD, puis en utilisant la propriété du cercle circoncscrit au triangle rectangle

exercice 2

Partie A : Calcul d'une primitive

1. Détermination des coefficients a et b :
$a + \dfrac{b}{x+1} = \dfrac{a(x+1)}{x+1} +\frac{b}{x+1} = \dfrac{ax+a+b}{x+1}$
Par identification avec les coefficients de g :
$\left \lbrace \begin{array}{l} a = 1 \\ a + b = 0 \end{array} \right. \: \Longleftrightarrow \: \boxed{\left\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a & 1 \\ b & -1 \\ \end{array} \right. }$
Donc : $\boxed{ g(x)= 1 - \frac{1}{x+1} }$

2. Détermination d'une primitive G de la fonction g :
Sachant que : $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , on en déduit :
$\boxed{G(x) = x - \ln (x+1) }$

Partie B : Détermination du centre de gravité d'une plaque homogène

1. Calcul de l'aire de la plaque :
Soit F une primitive de la fonction f : $F(x) = \ln (x+1)$
$S = \displaystyle \int_0^2 f(x)dx \\ S = [F(x)]_0^2 \\ S = F(2) - F(0) \\ S = \ln(2+1) - \ln (0+1) \\ \boxed{S=\ln 3}$

2. a) Calcul de X :
On a : $xf(x) = g(x)$ dont une primitive est (voir partie A) : $G(x) = x - \ln (x+1)$
$X = \frac{1}{S} \displaystyle \int_0^2 xf(x)dx \\ X = \dfrac{1}{\ln 3} [G(x)]_0^2 \\ X = \dfrac{1}{\ln 3} [G(2) - G(0)] \\ X = \dfrac{1}{\ln 3} [2 - \ln (2+1) - (0 - \ln (0+1) )] \\ X = \dfrac{1}{\ln 3} (2 - \ln 3 ) \\ \boxed{ X = \frac{2 - \ln 3}{\ln 3} \, \approx \, 0,82}$

2. b) Calcul de Y :
On a : $\left(\dfrac{1}{u}\right)' = \dfrac{-u'}{u^2}$
Donc, une primitive de $[f(x)]^2 = \dfrac{1}{(x+1)^2}$ est : $H(x) = \dfrac{-1}{x+1}$
$Y = \frac{1}{2S} \displaystyle \int_0^2 [f(x)]^2 dx \\ Y = \dfrac{1}{2 \ln 3} [H(x)]_0^2 \\ Y = \dfrac{1}{2 \ln 3} [H(2)- H(0)] \\ Y = \dfrac{1}{2 \ln 3} \left[\dfrac{-1}{2+1} - \left(\dfrac{-1}{0+1}\right) \right] \\ Y = \dfrac{1}{2 \ln 3} \left(\dfrac{-1}{3} + 1\right) \\ Y = \dfrac{1}{2 \ln 3} \times \dfrac{2}{3} \\ \boxed{Y = \frac{1}{3 \ln 3} \, \approx \, 0,30}$

probleme

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

1. Résolution de l'équation différentielle (2) :
Rappel : Les solutions de l'équation $y' = ay$ sont données par : $g(x) = ke^{ax}$ où k est un réel quelconque.
$y' + y=0 \: \Longleftrightarrow \: y' = -y$
Donc les solutions sont les fonctions de la forme : $\boxed{g(x)=ke^{-x} }$ où k est un réel quelconque.

2. Vérifions que la fonction h est une solution de l'équation différentielle (1) :
On pose : $u=2x \hspace{15pt} v=e^{-x}$
Donc : $u' = 2 \hspace{34pt} v'=-e^{-x}$
Donc (dérivée d'un produit) :
$h'(x) = u'v + uv' \\ h'(x) = 2e^{-x} - 2xe^{-x}$
Ainsi :
$h'(x) + h(x) = 2e^{-x} - 2xe^{-x} + 2xe^{-x} \\ \boxed{h'(x)+h(x) = 2e^{-x} }$
Donc la fonction h est bien une solution de l'équation différentielle (1).

3. a) Détermination de l'ensemble des solutions de l'équation (1) :
$f(x) = g(x) + h(x) \\ f(x) = ke^{-x} + 2e^{-x} + 2xe^{-x} \\ \boxed{f(x) = (2+k+2x)e^{-x} }$

3. b) Détermination de la solution vérifiant la condition initiale $f(0) = -1$ :
$f(0) = -1 \\ \Longleftrightarrow \, (2 + k + 2 \times 0)e^{-0} = -1 \\ \Longleftrightarrow \, 2 + k = -1 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{k = -3}$
Donc la solution de l'équation différentielle (1) vérifiant $f(0) = -1$ est : $\boxed{f(x) = (2x - 1)e^{-x} }$

Partie B : Etude d'une fonction exponentielle

1. a) Limite en - $\infty$ :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, 2x-1 = -\infty \\ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, e^{-x} = +\infty \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \, f(x) = -\infty }$

1. b) Limite en + $\infty$ :
$\left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, xe^{-x} = 0 \\ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, e^{-x} = 0 \end{array} \right \rbrace \text{ donc } \boxed{ \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \, f(x) = 0 }$
On en déduit que la courbe $\scr{C}$ admet l'axe des abscisses, d'équation $y = 0$ , pour asymptote horizontale en + $\infty$ .

2. a) Calcul de la dérivée de $f$ :
On pose : $u = 2x-1 \hspace{15pt} v = e^{-x}$
Donc : $u' = 2 \hspace{55pt} v' = -e^{-x}$
Donc (dérivée d'un produit) :
$f'(x) = u'v + uv' \\ f'(x) = 2e^{-x} - (2x-1)e^{-x} \\ \boxed{ f'(x) = (-2x+3)e^{-x} }$
Pour tout réel $x$ , on a $e^{-x} > 0$ , donc $f'(x)$ est du signe de $(-2x + 3)$ .

2. b) Variations de la fonction $f$ :

$f(1,5) = (2\times 1,5 - 1)e^{-1,5} \\ f(1,5) = 2e^{-1,5} \approx 0,45$

3. a) Intersection de la courbe $\scr{C}$ avec l'axe des abscisses :
$f(x) = 0 \\ \Longleftrightarrow \, (2x - 1)e^{-x} = 0 \\ \Longleftrightarrow \, 2x - 1 = 0 \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x = \frac{1}{2} }$
Donc le point d'intersection de $\scr{C}$ avec l'axe des abscisses a pour absisse $\dfrac{1}{2}$ .

3. b) L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par : $y = f'(a)(x-a)+f(a)$
Pour $a = \dfrac{1}{2}$
$f(0,5) = 0 \\ f'(0,5) = (-2 \times 0,5 + 3)e^{-0,5} = 2e^{-0,5}$
Donc (T) a pour équation : $\boxed{y = 2e^{-0,5}(x-0,5) }$

Pour $a = \dfrac{3}{2}$
$f(1,5) = 2e^{-1,5} \\ f'(1,5) = 0$
Donc (T') a pour équation : $\boxed{y = 2e^{-1,5} }$ (droite tangente horizontale)

3. c)

Partie C : Détermination d'une primitive

1. Il y a 2 méthodes pour répondre à cette question :
1ère méthode : si on a trouvé dans la partie A que la fonction $f$ de la partie B est la solution de l'équation différentielle (1), alors on a :
$f'(x) + f(x) = 2e^{-x} \: \Longleftrightarrow \: \boxed{f(x) = - f'(x) + 2e^{-x}}$

2ème méthode : on vérifie que $f(x)$ est bien égal à $-f'(x) + 2e^{-x}$ :
$-f'(x) + 2e^{-x} = -(-2x+3)e^{-x} + 2e{-x}\\ -f'(x) + 2e^{-x} = (2x-3+2)e^{-x} \\ -f'(x) + 2e^{-x} = (2x-1)e^{-x}$
Donc on a bien $\boxed{f(x) = - f'(x) + 2e^{-x}}$

2. En utilisant la relation précédente, on en déduit que la primitive F de $f(x)$ est égale à la primitive de $-f'(x) + 2e^{-x}$ :
$F(x) = -f(x) - 2e^{-x} \\ F(x) = -(2x-1)e^{-x} - 2e^{-x} \\ F(x) = (-2x+1-2)e^{-x} \\ \boxed{ F(x) = (-2x-1)e^{-x} }$

Publié par Cel/jamo le 30-07-2007

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