Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Génie Mécanique (options A et F) - Génie Energétique - Génie Civil
Métropole - Session 2006
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L'usage des calculatrices est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 4 Durée : 4 heures
5 points
exercice 1
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
On considère les nombres complexes suivants :
On pose .
1. Ecrire sous forme algébrique.
2. a) Calculer le module et un argument de et de .
b) En déduire le module et un argument de .
c) Ecrire sous forme trigonométrique.
3. Déduire des résultats obtenus aux questions précédentes les valeurs exactes de et de .
4. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
a) Sur papier millimétré, construire les points A et B, images respectives de et .
b) Déterminer la nature du triangle OAB.
4 points
exercice 2
On donne ci-dessous la représentation graphique , dans un repère orthonormal d'unité 2 cm, de la fonction définie sur [0 ; 2] par :
.
1. Vérifier, par le calcul, que :
a) La courbe passe par le point S ( ; 1).
b) La tangente à la courbe au point S est parallèle à l'axe des abscisses.
c) La fonction est solution de l'équation différentielle : 4y'' + y - 2 = 0.
2. On veut calculer la valeur exacte du volume du solide de révolution engendré par la courbe lors de sa rotation autour de l'axe des abscisses.
On rappelle que la valeur V de ce volume, en unités de volume, est donnée par la formule : a) On pose, pour tout nombre réel , appartenant à [0 ; 2], .
Démontrer que l'on a : .
b) Donner la valeur exacte de ce volume en cm3, puis sa valeur arrondie au mm3 près.
11 points
probleme
Soit la fonction définie sur l'intervalle ]-1 ; +[ par : .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie A
1. Calculer la limite de en +.
2. a) En remarquant que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]-1 ; +[ ,
calculer la limite de en -1 (on pourra utiliser sans démonstration ).
b) En déduire une équation d'une droite asymptote à .
3. Déterminer la dérivée de et montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ]-1 ; +[, .
4. a) Etudier le signe de sur l'intervalle]-1 ; +[.
b) Calculer la valeur exacte de (1).
c) Dresser le tableau de variations de sur l'intervalle ]-1 ; [
Partie B
1. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
2. a) Justifier que l'équation = 0 a une seule solution dans l'intervalle [1 ; 5].
Démontrer que .
b) Donner une valeur approchée de à 10-2 près.
3. Déterminer le signe de sur l'intervalle [0 ; ].
4. Tracer, dans le repère , la tangente , la droite puis la courbe .
Partie C
1. Démontrer que, sur l'intervalle]-1 ; +[, la fonction définie par est une primitive de la fonction .
2. Soit la partie du plan délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations = 0 et .
a) Hachurer la partie sur le dessin.
b) Calculer, en unités d'aire et en fonction de , l'aire de la partie et démontrer que cm2.
1.Forme algébrique de z : On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur
2. a)Calcul des modules de zA et zB :
Soit et un argument des nombres complexes zA et zB.
2. b)Module et argument de z : On a , donc :
2. c) Forme trigonométrique :
3. Un nombre complexe Z de module et d'argument s'écrit : Donc le nombre complexe z de module 1 et d'argument s'écrit : .
Par identification avec la forme algébrique trouvée à la question 1, on en déduit :
4. a)
4. b)Nature du triangle OAB : Donc le triangle OAB est isocèle en O.
exercice 2
1. a)Montrons que le point appartient à la courbe : Donc le point S appartient à la courbe .
1. b)Montrons que la courbe admet une tangente horizontale au point S, c'est-à-dire que la dérivée s'annule pour : Donc : Donc la tangente à au point S est horizontale.
1. c)Vérifions que est solution de l'équation différentielle : Donc :
Donc la fonction est bien solution de l'équation différentielle.
2. a) Soit On utilise la formule de trigonométrie : , donc :
2. b) Soit G une primitive de la fonction g.
Calcul du volume, en unités de volume (U.V.) :
Le repère orthonormal a pour unités 2 cm, donc l'unité de volume est égale à 23 = 8 cm3, donc :
probleme
Partie A
1.Limite en + : On a : Donc : De plus : Donc :
2. a) On développe :
On effectue le changement de variable , donc On a :
2. b) On en déduit que la droite d'équation , l'axe des ordonnées, est une asymptote verticale à la courbe .
3.Calcul de la dérivée de la fonction : donc On pose : Donc : Donc (dérivée d'un quotient) :
Finalement, on a :
4. a)Etude du signe de :
4. b)Calcul de :
4. c) On déduit les variations de du signe de sa dérivée .
Partie B
1. L'équation de la droite tangente au point d'abscisse a est donnée par : Pour , on a :
Donc l'équation de la droite tangente à la courbe est donnée par :
2. a)Existence et unicité de la solution de l'équation sur l'intervalle [1 ; 5] : La fonction est dérivable sur l'intervalle [1 ; 5] ;
la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; 5] ;
donc l'équation admet une solution unique dans l'intervalle [1 ; 5].
2. b)Valeur approchée de :
3.Signe de sur l'intervalle : On a : De plus, la fonction est croissante sur [0 ; 1] et décroissante sur .
Donc la fonction est strictement positive sur l'intervalle .
4.
Partie C
1. On dérive la fonction F :
On pose : Donc : Donc F est une primitive de .
2. a) Voir figure.
2. b) La fonction est positive sur donc l'aire , en unités d'aires, est donnée par :
Or, d'après la question 2.a) de la partie B, on a : , donc :
L'unité d'aire associée au repère est égale à : Donc :
Publié par Pascal/jamo
le
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