Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies Industrielles
Spécialité : Arts appliqués
Métropole - Session Septembre 2006

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité 1 cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $9x^2 + 25y^2 = 225$

1. Vérifier que les points $M$ dont les coordonnées vérifient cette équation, sont solutions de l'équation : $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$ .
Quelle est la nature de la courbe $\mathcal{C}$ ?

2. Calculer les coordonnées des sommets A, A', B et B'.

3. Calculer les coordonnées des foyers F et F'.

4. a) Placer sur un graphique les points A, A', B, B', F et F'.
b) Montrer que $\mathcal{C}$ est la réunion de deux courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ d'équations respectives $y = 3\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{25}}$ et (1) $y = - 3\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{25}}$ .
c) En utilisant l'équation (1) de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ , compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, ci-dessous.

$x$	0	1	2	3	4	5
$y$

d) Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$ sur l'intervalle [0 ; 5] ; puis en utilisant les éléments de symétrie de la courbe $\mathcal{C}$ , tracer $\mathcal{C}$ .

5. Soit D le point de coordonnées $(-3 ; - 2,4)$ . Déterminer FD, F'D et FD + F'D.
Que peut-on en conclure ?

12 points

exercice 2

Soit $f$ la fonction numérique définie sur ]- 1 ; $+\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{2x^2 + 4x - 1}{(x + 1)^2}$ . On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représetative de $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ (unité : 2 cm).

1. Vérifier que $f(x)$ peut s'écrire sous la forme $f(x) = 2 - \dfrac{3}{(x + 1)^2}$ .

2. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to -1 \atop x > -1} f(x)$ . En déduire l'existence d'une asymptote dont on déterminera une équation.

3. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$ . En déduire l'existence d'une asymptote dont on déterminera une équation.

4. Vérifier que la dérivée de $f$ est définie par $f'(x) = \dfrac{6}{(x+1)^3}$ .
Trouver le signe de $f'(x)$ sur $]- 1 ; + \infty[$ . En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.

5. Déterminer une équation de la tangente T à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1.

6. Calculer les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des ordonnées puis du point d'intersection de $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.

7. a) Compléter le tableau de valeurs, arrondies au dixième, suivant :

$x$	-0,5	0	1	2	3	5
$f(x)$

b) Construire sur un même graphique les asymptotes, T, puis $\mathcal{C}_{f}$ .

8. a) Montrer que la fonction $F$ définie sur ]- 1 ; $+\infty$ [ par $F(x) = 2x + \dfrac{3}{x+1}$ est une primitive de la fonction $f$ sur ]- 1 ; $+\infty$ [.
b) On considère la partie $\mathcal{A}$ du plan comprise entre les droites d'équation $x = 1$ , $x = 5$ , la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et l'axe des abscisses.
Déterminer l'aire de $\mathcal{A}$ en unités d'aire et ensuite en cm².

Voir la correction

exercice 1

1. On a : $9x^2 + 25y^2 = 225 \Longleftrightarrow \dfrac{9x^2}{225}+\dfrac{25y^2}{225}=1\Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1}$
$\mathcal{C}$ est une ellipse de centre l'origine, et d'axe focal l'axe des abscisses (car }25 > 9).

2. Pour $y=0$ : $\dfrac{x^2}{25}=1\Longleftrightarrow x^2=25\Longleftrightarrow x=5\text{ ou } x=-5$
On en déduit les sommets principaux : $\boxed{A(5,0) \text{ et } A'(-5,0)}$
Pour $x=0$ : $\dfrac{y^2}{9}=1\Longleftrightarrow y^2=9\Longleftrightarrow y=3\text{ ou } y=-3$
On en déduit les sommets secondaires : $\boxed{B(0,3) \text{ et } B'(0,-3)}$

3. Si $c$ est la demi-distance focale, on a : $c^2=25-9=16 \text{ soit }c=4$
On en déduit les foyers : $\boxed{F(4,0) \text{ et }F'(-4,0)}$

4. a) Voir figure

4. b) $M(x\,;\,y)\in\mathcal{C}\Longleftrightarrow\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\Longleftrightarrow y^2=9\left(1-\dfrac{x^2}{25}\right)\Longleftrightarrow \begin{cases}y=-3 \sqrt{1-\dfrac{x^2}{25}}\\ou\\y=3 \sqrt{1-\dfrac{x^2}{25}}\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{ M\in\mathcal{C}_1\cup\mathcal{C}_2}$

4. c)

$x$	0	1	2	3	4	5
$f(x)$	3	2,9	2,7	2,4	1,8	0

4. d) Pour tracer $\mathcal{C}_1$ , on remarque que la fonction $f$ est une fonction paire, donc $\mathcal{C}_1$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Ensuite, on peut remarquer que $\mathcal{C}_2$ est la symétrique de $\mathcal{C}_1$ par rapport à l'axe des abscisses.
Enfin, on utilise le fait que $\mathcal{C}=\mathcal{C}_1\cup \mathcal{C}_2$ , d'où la figure ci-après.

bac STI arts appliqués Métropole Septembre 2006 - terminale : image 1

5. On a :
$FD=\sqrt{(x_D-x_F)^2+(y_D-y_F)^2}=\sqrt{(-7)^2+(-2.4)^2}=\boxed{7.4}$
$F'D=\sqrt{(x_D-x_{F'})^2+(y_D-y_{F'})^2}=\sqrt{1^2+(-2.4)^2}=\boxed{2.6}$
$FD+F'D=10$ , or $AA'=10$ donc $FD+F'D=AA'$ et $\boxed{D\in\mathcal{C}}$
Remarque : D'après le tableau de valeurs précédent, on pouvait remarquer que le point de coordonnées (3 ; 2,4) est un point de $\mathcal{C}_1$ , et par symétrie on pouvait en déduire immédiatement que le point $D$ est un point de $\mathcal{C}$

exercice 2

1. Pour tout $x$ appartenant à $]-1,+\infty[$ : $2 - \dfrac{3}{(x + 1)^2}=\dfrac{2(x+1)^2-3}{(x+1)^2}=\dfrac{2(x^2+2x+1)-3}{(x+1)^2}=\dfrac{2x^2+4x-1}{(x+1)^2}=\boxed{f(x)}$

2. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to -1 \atop x > -1} (x+1)^2=0^{+}$ et $\displaystyle\lim_{x \to -1 \atop x > -1} 2x^2+4x-1=-3$
Donc $\displaystyle\lim_{x \to -1 \atop x > -1} f(x)= \boxed{-\infty}$
Interprétation géométrique : $\boxed{\text{ La droite d'équation }x=-1 \text{ est asymptote à } \mathcal{C}_f}$

3. On a : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x+1)^2=+\infty$ donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{(x+1)^2}=0$
Et en utilisant la forme démontrée en 1. : $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)= \boxed{2}$
Interprétation géométrique :

$\boxed{\text{ La droite d'équation }y=2 \text{ est asymptote à } \mathcal{C}_f \text{ en }+\infty}$

4. Pour tout $x$ de $]-1,+\infty[\,\text{, }f(x)=2-3(x+1)^{-2}$ $f\text{ est dérivable et }f'(x)=-3\times (-2)(1)(x+1) ^{-3}=\boxed{\dfrac{6}{(x+1)^3}}$
Signe de la dérivée :
Pour tout $x$ de $]-1 ; +\infty[$ on a $x+1>0$ donc $(x+1)^3 > 0 \text{ et } f'(x) > 0$ partout où elle est définie.
On en déduit que $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCC|} \hline x & -1 & & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre &-\infty & \croit & 2 \\ \hline \end{tabvar}$

5. Une équation de $(T)$ est : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
On a $f'(1)=\dfrac{6}{(1+1)^3}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} \text{ et } f(1)=2-\dfrac{3}{(1+1)^2}=2-\dfrac{3}{4}=\dfrac{8-3}{4}=\dfrac{5}{4}$
Donc une équation de $(T)\text{ est : } y=\dfrac{3}{4}(x-1)+\dfrac{5}{4}\text{ ou encore } \boxed{(T):y=\dfrac{3}{4}x+\dfrac{1}{2}}$

6. Intersection avec l'axe des ordonnées :
Le point d'intersection a pour coordonnées $(0 ; f(0))$ , or $f(0)=2-\dfrac{3}{1}=-1$ , alors en notant $A$ ce point d'intersection, on obtient : $\boxed{A(0 ; -1)}$
Intersection avec l'axe des abscisses :
Ce point a pour ordonnée 0 ; on cherche donc à déterminer $x$ solution de l'équation $f(x)=0$
$f(x)=0 \text{ pour }2x^2+4x-1=0 \text{ avec } x \text{ dans } ]-1\,;\;+\infty[$
$\Delta=24=(2\sqrt{6})^2$ et les solutions de cette équation sont: $x=\dfrac{-4-2\sqrt{6}}{4}=-1-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ et $x=\dfrac{-4+2\sqrt{6}}{4}=-1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}$
On ne retient que $-1+\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ qui seul appartient à l'intervalle $]-1,+\infty[$ ; en notant $B$ ce point d'intersection, on a: $\boxed{B(-1+\dfrac{\sqrt{6}}{2},0)}$

7. a)

$x$	-0,5	0	1	2	3	5
$f(x)$	-10	-1	1,3	1,7	1,8	1,9

7. b)

bac STI arts appliqués Métropole Septembre 2006 - terminale : image 2

8. a) Pour tout $x$ de $]-1 ; +\infty[$ : $F'(x)= 2-\dfrac{3}{(x+1)^2}=f(x)$
On en déduit : $\boxed{\text{La fonction }F \text{ est une primitive de la fonction }f \text{ sur } ]- 1 ; +\infty[ }$

8. b) Puisque sur [1 ; 5], la courbe $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses, l'aire du domaine délimité par les droites d'équation $x = 1$ , $x = 5$ , la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et l'axe des abscisses en unité d'aire (u.a) est :
$\mathcal{A}=\displaystyle \int_{1}^{5} f(x) dx= \left[F(x)\right]_{1}^{5}=F(5)-F(1)= 10 + \dfrac{3}{5+1}-\left(2 + \dfrac{3}{1+1}\right)=10+0.5-2-1.5=\boxed{ 7 \text{ u.a}}$
Or, l'unité graphique est 2 cm , donc 1 u.a = 4 cm². On en déduit que : $\mathcal{A} = 7 \times 4 = \boxed{28 \text{ cm}^2}$

Publié par TP/dandave le 01-05-2014

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