Fiche de mathématiques
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Bac Technologique 2006 - Sciences et Techniques de Laboratoire
Biochimie, Génie Biologique
Polynésie Française

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La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
9 points

exercice 1

Le thème de l'exercice est l'évolution de l'épidémie de SRAS de 2003.
Le tableau suivant donne les nombres de cas déclarés (Ni), relevés aux dates suivantes : 4, 8, 11, 15, 18, 23 et 28 avril 2003 :

x_i 4 8 11 15 18 23 28
Ni 2322 2671 2890 3235 3461 4288 5050


On pose yi = ln Ni (ln désigne le logarithme népérien).

1. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les résultats arrondis à 0,01 près.

x_i 4 8 11 15 18 23 28
yi 7,75           8,53


2. Représenter le nuage de points de coordonnées (x_i ; yi) dans un repère orthogonal d'unités graphiques : 0,5 cm pour 1 jour sur l'axe des abscisses et 10 cm pour 1 sur l'axe des ordonnées.
On graduera l'axe des ordonnées à partir de 7.

3. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage obtenu (résultats arrondis à 0,01 près).

4. Soit d la droite passant par le premier et le dernier point du nuage.
Une équation de d est y = 0,0325x + 7,62.
Le point G appartient-il à d ?
Placer G et d sur le dessin précédent.

5. On admet que d constitue un ajustement convenable du nuage de points.
    a) En utilisant l'équation d, déterminer la valeur de y correspondant à x = 38.
En déduire une estimaton du nombre de cas prévisibles le 8 mai.
    b) A l'aide de l'ajustement affine y = 0,0325x + 7,62 et de la relation y = ln N, exprimer N en fonction de x.
Déterminer, en utilisant ce modèle, à partir de quelle valeur entière de x, N est supérieur ou égal à 10 000.

6. Le nombre de cas répertoriés a été, en réalité, de 7053 le 8 mai.
Le modèle étudié dans cet exercice est-il adapté pour décrire la situation le 8 mai (on considère que le modèle est adapté si l'écart entre la valeur réelle et la valeur donnée par le modèle est inférieur à 50 unités) ? 11 points

exercice 2

Partie A

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 3] par f(x) = 6 - 5xe^{-2x + 2}.
On désigne par \mathscr{C} sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}) d'unités graphiques : 4 cm sur l'axe des abscises et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. a) Montrer que, pour tout x de l'intervalle [0 ; 3], f'(x) = 5(2x - 1)e^{-2x + 2}.
    b) Etudier le signe de f'(x) sur l'intervalle [0 ; 3].
    c) Déterminer les valeurs exactes de f(0), \hspace{2pt} f(0,5),  \hspace{2pt} f(3) et dresser le tableau de variation de f.

2. a) Donner les valeurs arrondies au dixième de f(x) pour les valeurs suivantes de x :
0,25 ; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2 ; 2,5 ; 3.
    b) Calculer le coefficient directeur de la tangente à \mathscr{C} aux points d'abscisses : x_1 = 0,75, \hspace{2pt} x_2 = 1 \hspace{2pt} \text{ et } \hspace{2pt} x_3 = 1,25. (On donnera des valeurs approchées à 10-2 près).
Pour laquelle de ces abscisses, le coefficient directeur est-il le plus grand ?

3. a) Tracer les tangentes à la courbe \mathscr{C} aux points d'abscisses x_1,   \hspace{2pt} x_2 \hspace{2pt} \text{ et } \hspace{2pt} x_3.
    b) Tracer la courbe \mathscr{C}.

Partie B

On considère que la courbe \mathscr{C} donne un modèle de la variation de la température de l'eau en fonction de la profondeur près de l'estuaire d'un grand fleuve un jour d'hiver.
La température est exprimée en degrés Celsius et la profondeur en centaines de mètres.

1. A quelle profondeur la température de l'eau est-elle minimale ?

2. Déterminer graphiquement pour quelles profondeurs la température est comprise entre 0°C et 4°C. Faire figurer les constructions utiles.

3. En utilisant la question A. 2., indiquer au voisinage de quelle profondeur, entre 50 m et 300 m, la température de l'eau augmente le plus rapidement.



exercice 1

1. Complétons le tableau :
x_i 4 8 11 15 18 23 28
yi 7,75 7,89 7,97 8,08 8,15 8,36 8,53


2. Représentons le nuage de points de coordonnées (x_i ; yi) :
sujet du bac STL biochimie et génie biologique Polynésie Française 2006 : image 1


3. Calculons les coordonnées du point moyen :
x_G = \frac{\bigsum_{i=1}^n x_i}{n} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_7}{7} = \frac{4 + 8 + ... + 28}{7} = \frac{107}{7} \approx 15,29
y_G = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n y_i}{n} = \frac{y_1 + y_2 + ... + y_7}{7} = \frac{7,75 + 7,89 + ... + 8,53}{7} = \frac{56,73}{7} \approx 8,10
Donc le point G a pour coordonnées G( 15,29 ; 8,10).

4. Vérifions si le point G appartient à la droite d :
y = 0,0325 \times 15,29 + 7,62 = 8,12 \neq 8,10
Les coordonnées du point G ne vérifient pas l'équation de la droite d, donc G n'appartient pas à la droite d.

5. a) Pour x = 38, on a :
y = 0,0325 \times 38 + 7,62 = 8,855
Donc N = e^y = e^{8,855} \approx 7009
Donc le nombre de cas prévisibles le 8 mai est estimé à 7 009.

5. b) Exprimons N en fonction de x :
N = e^y \\ \boxed{N = e^{0,0325x+7,62}}
N \ge 10000 \\ \Longleftrightarrow \, e^{0,0325x+7,62} \ge 10000 \\ \Longleftrightarrow \, 0,0325x+7,62 \ge \ln (10000) \\ \Longleftrightarrow \, 0,0325x \ge \ln (10000) - 7,62 \\ \Longleftrightarrow \, x \ge \frac{\ln (10000) - 7,62}{0,0325} \\ \Longleftrightarrow \, \boxed{x \ge 48,93}
Donc il faut 49 jours pour que N dépasse 10 000.

6. 7 053 - 7 009 = 44 < 50
Donc le modèle étudié est adapté pour décrire la situation le 8 mai.

exercice 2

Partie A

1. La fonction f est dérivable sur [0 ; 3] comme somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
En utilisant la formule de dérivation d'un produit ((uv)' = u'v + uv'), on obtient :
f'(x) = 0 - 5\left(e^{-2x+2} - 2x e^{-2x+2}\right) \\ f'(x) = - 5(1 - 2x)e^{-2x+2} \\ \\boxed{f'(x) = 5(2x -1)e^{-2x+2}}

1. b) Etude du signe de la dérivée :
Pour tout x de l'intervalle [0 ; 3], on a e^{-2x+2} > 0 donc f'(x) est du signe de 2x-1 :
sujet du bac STL biochimie et génie biologique Polynésie Française 2006 : image 2


1. c)
f(0) = 6 - 5 \times 0 \times e^{-2 \times 0 +2} = 6 - 0 = \boxed{6}
f(0,5) = 6 - 5 \times 0,5 \times e^{-2 \times 0,5 +2} = 6 - 2,5 e^{1} = \boxed{6 - 2,5 e}
f(3) = 6 - 5 \times 3 \times e^{-2 \times 3 +2} = \boxed{6 - 15 e^{-4}}

Tableau de variation :
sujet du bac STL biochimie et génie biologique Polynésie Française 2006 : image 3

2. a) Tableau de valeurs :
x 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f(x) 0,4 -0,8 1,0 3,2 4,6 5,4 5,7


2. b) Calcul des coefficients directeurs des droites tangentes :
Rappel : Le coefficient directeur de la droite tangente de la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse a est égal à f'(a)
Coefficient directeur au point d'abscisse 0,75 = f'(0,75) = 5 (2 \times 0,75 - 1) e^{-2 \times 0,75 + 2} = 2,5 e^{0,5} \approx \boxed{4,12}
Coefficient directeur au point d'abscisse 1 = f'(1) = 5 (2 \times 1 - 1) e^{-2 \times 1 + 2} = 5 e^0 = \boxed{5}
Coefficient directeur au point d'abscisse 1,25 = f'(1,25) = 5 (2 \times 1,25 - 1) e^{-2 \times 1,25 + 2} = 7,5 e^{-0,5} \approx \boxed{4,55}
Donc le coefficient directeur est le plus grand pour x_2 = 1.

3. a) Calcul des ordonnées des points d'absisses 0,75 et 1,25 :
f(0,75) = 6 - 5 \times 0,75 e^{-2 \times 0,75 + 2} = 6 - 3,75 e^{0,5} \approx -0,18
f(1,25) = 6 - 5 \times 1,25 e^{-2 \times 1,25 + 2} = 6 - 6,25 e^{-0,5} \approx 2,21

3. b)
sujet du bac STL biochimie et génie biologique Polynésie Française 2006 : image 4


Partie B

1. D'après la partie A, f atteint son minimum pour x = 0,5 donc on en déduit que la température de l'eau minimale est de -0,8°C pour une profondeur de 50 m.

2. Graphiquement, on trouve que la température est comprise entre 0 et 4°C si la profondeur se situe entre 5 m et 30 m ou si la profondeur est entre 80 m et 170 m (voir les traits de constructions en bleu).

3. Dans la question 2. b), on a trouvé que le coefficient directeur est maximal pour x = 1. Donc la température de l'eau évolue le plus rapidement pour une profondeur proche de 100 m.
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