Fiche de mathématiques
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Bac Technologique 2006 - Sciences et Techniques de Laboratoire
Biochimie, Génie Biologique

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La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
Coefficient : 2     Durée : 2 heures
9 points

exercice 1

Le danger d'une exposition au bruit dépend de deux facteurs :
      - le niveau sonore (x_i)
      - la durée de l'exposition (yi)

Le niveau sonore est exprimé en décibels, donc l'abréviation est dB.
Par exemple : 50 dB est le niveau habituel de conversation, 85 dB est le seuil de nocivité (pour une exposition de 8 heures par jour).
Des durées limites d'exposition quotidienne à une phase bruyante ont été calculées et intégrées à la réglementation. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

Niveau sonore en dB : x_i Durée maximale d'exposition en heures par jour : yi
x_1 = 85 y1 = 8
88 4
91 2
94 1
97 0,5
100 0,25


Ainsi être exposé 8 heures à 85 dB est exactement aussi dangereux que d'être exposé 1 heures à 94 dB.

1. a) Montrer que les six niveaux sonores donnés dans la première colonne du tableau ci-dessus sont en progression arithmétique.
    b) On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme x_{13}.

2. a) Montrer que les durées maximales d'exposition, exprimées en heures par jour, données dans la deuxième colonne sont en progression géométrique.
    b) On suppose que la progression reste la même. Déterminer le terme y13. Arrondir à la seconde la plus proche.

3. a) On pose zi = ln(yi), où ln désigne la fonction logarithme népérien.
Compléter le tableau ci-dessous dans lequel on fera figurer les valeurs approchées de zi arrondies à 10-3 près.

Niveau sonore x_i 85 88 91 94 97 100
zi = ln(yi) 2,079          


    b) Placer les points de coordonnées (x_i; zi) dans un repère orthogonal tel que l'intersection des axes a pour coordonnées (85 ; 0); 0,5 cm représente 1 dB en abscisse et 1 cm représente 0,5 unité en ordonnées.
    c) Les points du nuage semblent alignés.
Déterminer une équation de la droite \mathscr{D} passant par le point A d'abscisse 85 et le point B d'abscisse 94, sous la forme z = ax + b, où a et b sont calculés à 10-3 près.

4. Un concert de rock atteint les 120 dB.
Déterminer pendant combien de temps, exprimé en secondes, on peut l'écouter pour que les normes en vigueur soient respectées :
    a) en utilisant l'équation de la droite \mathscr{D} ;
    b) en utilisant le graphique (laisser apparents les tracés utiles). 11 points

exercice 2

On injecte à l'instant t = 0 une substance dans le sang d'un animal. La concentration C (en mg/L) de la substance injectée varie en fonction du temps t exprimé en heures suivant la relation : C(t) = 8(e-t - e-2t).
On définit ainsi une fonction C sur l'intervalle [0 ; +\infty[.
On appelle \mathscr{C} la courbe représentative de la fonction C dans un repère orthogonal (O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
Unités graphiques : 2 cm pour une unité sur l'axe des abscisses ; 5 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

1. a) Calculer la limite de la fonction C lorsque t tend vers +\infty.
    b) La courbe \mathscr{C} admet-elle une asymptote ? Si oui, préciser son équation.

2. a) Calculer la dérivée C ' de C. Montrer qu'elle vérifie C '(t) = 8e-2t(2 - et).
    b) Résoudre dans l'intervalle [0 ; +\infty[ l'équation C '(t) = 0. Calculer la valeur exacte de la solution, puis une valeur approchée à 10-2 près.
    c) Etudier le signe de C '(t) sur l'intervalle [0; +\infty[.
    d) En déduire le tableau de variation de la fonction C. Montrer que la valeur maximale de la concentration est 2.

3. Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 0.

4. Recopier puis compléter le tableau de valeurs ci-dessous, en arrondissant les valeurs de C(t) à 10-2 près.

t (en heures) 0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5
C(t)                    


5. a) Construire la tangente T en précisant les coordonnées des deux points qui permettent son tracé.
    b) Construire dans le même repère la courbe \mathscr{C} sur l'intervalle [0 ; 5].

6. Déterminer graphiquement au bout de combien de temps la concentration retombe à la moitié de sa valeur maximale, en faisant figurer les tracés utiles. Donner le résultat en heures et minutes en arrondissant à la minute la plus proche.



exercice 1

1. a) Vérifions que les niveaux sonores sont en progression arithmétique :
x_2 - x_1 = 88-85 = 3 \\ x_3 - x_2 = 91-88 = 3 \\ x_4 - x_3 = 94-91 = 3 \\ x_5 - x_4 = 97-94 = 3 \\ x_6 - x_5 = 100-97 = 3
Donc les niveaux sonores sont en progression arithmétique de raison 3.

1. b) La suite est arithmétique de raison 3 et de premier terme x_1 =85, donc :
x_n = x_1 + (n-1) \times 3 \\ x_n = 85 + 3n - 3 \\ \boxed{x_n = 3n + 82}
Donc : x_{13} = 3 \times 13 + 82 = \boxed{121}

2. a) Vérifions que les durées sont en progression géométrique :
\frac{y_2}{y_1} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \\ \frac{y_3}{y_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{y_4}{y_3} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\ \frac{y_5}{y_4} = \frac{0,5}{1} = \frac{1}{2} \\ \frac{y_6}{y_5} = \frac{0,25}{0,5} = \frac{1}{2}
Donc les durées maximales d'exposition sont en progression géométrique de raison 0,5.

2. b) La suite est géométrique de raison 0,5 et de premier terme y1 = 8, donc :
y_n = y_1 \times 0,5^{n-1} \\ y_n = 8 \times 0,5^n \times 0,5^{-1} \\ y_n = 8 \times 0,5^n \times 2 \\ \boxed{y_n = 16 \times 0,5^n}
Donc : y_{13} = 16 \times 0,5^{13} \approx 0,001953
Cette durée est en heures, on la multiplie par 3600 pour la convertir en secondes :
\boxed{y_{13} \approx 7 \, \text{s} }

3. a) Complétons le tableau :

Niveau sonore x_i 85 88 91 94 97 100
zi = ln(yi) 2,079 1,386 0,693 0 -0,693 -1,386


3. b) Placçons les points de coordonnées (x_i; zi) dans un repère orthogonal :
sujet du bac STL biochimie et génie biologique 2006 : image 1


3. c) Déterminons une équation de la droite sous la forme z = ax+b :
Calcul du coefficient directeur : a = \frac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{x_{\text{B}} - x_{\text{A}}} = \frac{0 - 2,079}{94 - 85} = -\frac{2,079}{9} = -0,231
Donc l'équation de la droite (AB) est de la forme : z = -0,231x + b
La droite passe par le point A(85 ; 2,079), donc :
2,079 = -0,231 \times 85 + b \ \Longleftrightarrow \ b = 2,079 + 0,231 \times 85 = 21,714
Donc l'équation de la droite (AB) est : \boxed{z = -0,231x + 21,714}

4. a) En utilisant l'équation de la droite, en prenant x=120, on trouve :
z = -0,231 \times 120 + 21,714 = -6,006 \approx -6
On a : z = \ln y donc y = e^z, donc :
y = e^{-6} \approx 0,00248
Cette durée est en heures, on la multiplie par 3600 pour la convertir en secondes :
y \approx 8,9 \, \text{s}
Selon les normes en vigueur, on peut donc écouter le concert de rock pendant un peu moins de 9 secondes.

4. b) Graphiquement, on trouve z = -6 pour x=120, d'où le même résultat.

exercice 2

1. a) Limite en +\infty :
\. \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \, e^{-t} = 0 \\ \displaystyle \lim_{t \to +\infty} \, e^{-2t} = 0 \\ \rbrace  \text{donc } \boxed{\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \, C(t) = 0}

1. b) D'aprés le résultat précédent, on en déduit que la courbe \scrC admet l'axe des abscisses, d'équation y = 0, pour asymptote horizontale en +\infty.

2. a) Calcul de la dérivée :
C'(t) = 8(-e^{-t} - (-2)e^{-2t}) \\ \boxed{C'(t) = 8(2e^{-2t} - e^{-t})}
On développe :
8e^{-2t}(2 - e^t) = 8(2e^{-2t} - e^{-2t}e^t) = 8(2e^{-2t} - e^{-t}) = C'(t)
Donc : \boxed{C'(t) = 8e^{-2t}(2 - e^t)}

2. b) Résolution de C'(t) = 0 :
C'(t)=0 \\ \Longleftrightarrow \ 8e^{-2t}(2 - e^t) = 0 \\ \Longleftrightarrow \ e^{-2t} = 0 \ \textrm{ ou } \ 2-e^t = 0
Or, pour toute valeur de t, e^{-2t} ne s'annule jamais, donc :
C'(t)=0 \ \Longleftrightarrow \ 2-e^t = 0 \ \Longleftrightarrow \ e^t = 2 \ \Longleftrightarrow \ \boxed{t = \ln 2 \approx 0,69}

2. c) Etude du signe de C'(t) :
Pour toute valeur de t, e^{-2t}>0.
Donc : C'(t)>0 \ \Longleftrightarrow \ 2-e^t > 0 \ \Longleftrightarrow \ e^t < 2 \ \Longleftrightarrow \ t < \ln 2
sujet du bac STL biochimie et génie biologique 2006 : image 2


2. d) De l'étude du signe de C'(t), on déduit les variation de C :
sujet du bac STL biochimie et génie biologique 2006 : image 3


La valeur maximale est atteinte pour t = \ln 2 :
C( \ln 2) = 8 \times (e^{- \ln 2} - e^{- 2 \ln 2}) = 8 \times (\frac{1}{e^{ \ln 2} } - \frac{1}{e^{2 \ln 2} }) =  8 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 8 \times \frac{1}{4} = \boxed{2}

3. Equation de la droite tangente au point d'abscisse 0 :
On utilise la formule y = f'(a)(x-a) + f(a) avec a = 0.
f(0) = 0 \\ f'(0) = 8e^{-2 \times 0}(2 - e^0) = 8 \times 1 \times (2-1) = 8
Donc l'équation de la droite tangente est : \boxed{y = 8x}

4. Tableau de valeurs :

t (en heures) 0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4 5
C(t) 0 1,38 1,91 1,86 1,39 0,94 0,60 0,38 0,14 0,05


5. a) Construction de la droite tangente d'équation y = 8x :
On prend le point O(0 ; 0) et le point A(0,25 ; 2).

5. b)
sujet du bac STL biochimie et génie biologique 2006 : image 4


6. La concentration maximale étant égale à 2, on trace la droite horizontale d'équation y = 1, et on lit l'abscisse du point correspondante sur la courbe.
On trouve t \approx 1,9 heures.
Conversion de 0,9 heures en minutes : 0,9 \times 60 = 54
Donc la concentration retombe à la moitié de sa valeur maximale au bout de 1 h 54 min.
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