Fiche de mathématiques

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Bac Technologique
Sciences et Techniques de Laboratoire
Biochimie, Génie Biologique
La Réunion - Session 2006

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures 8 points

exercice 1

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du prix semestriel moyen du baril de pétrole, en dollars, depuis le début de l’année 2002 (cours du Brent).

	Janvier 2002	Juin 2002	Janvier 2003	Juin 2003	Janvier 2004	Juin 2004	Janvier 2005	Juin 2005
Rang $x_i$ du semestre	1	2	3	4	5	6	7	8
Prix y_i du baril en dollars	20	24	29	27	30	38	44	53

On pose z_i = ln(y_i), où ln désigne la fonction logarithme népérien.

1. Recopier et compléter le tableau suivant, avec des valeurs arrondies à 10^-2 près.

$x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8
z_i = ln(y_i)

2. Construire le nuage de points ( $x_i$ ; z_i), dans un repère d’unités graphiques :
1 cm abscisse
5 cm en ordonnée.

3. On désigne par G₁ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par G₂ le point moyen des quatre derniers.
a) Calculer les coordonnées de G₁ et de G₂ (on arrondira les résultats à 10^-2). Tracer la droite (G₁G₂) sur le graphique.
b) Calculer une équation de la droite (G₁G₂) sous la forme z = a $x$ + b. (On arrondira les résultats à 10^-2).

4. On admet que cette droite réalise un ajustement utilisable du nuage.
Si la tendance se confirme, prévoir, à partir de cet ajustement, le prix en dollars du baril de pétrole en janvier 2008. 12 points

exercice 2

On étudie l'hydrolyse d'un ester en fonction du temps.

Partie A

La concentration y d'un ester, exprimée en moles par litre, en fonction du temps t, exprimé en heures, est solution de l'équation différentielle : y' = -0,61 y avec y(0) = 1,5 Résoudre cette équation différentielle.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; + $\infty$ [ par $f$ (t) = 1,5e^-0,61t.
$\mathscr{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal d’unités graphiques : 2 cm pour 1 heure en abscisse, 10 cm pour 1 unité en ordonnée.

1. Calculer la limite de $f$ lorsque t tend vers + $\infty$ .
En déduire l'existence d'une asymptote à $\mathscr{C}$ , dont on donnera une équation.

2. a) Calculer $f'(t)$ , où $f'$ désigne la dérivée de $f$ , et étudier son signe sur [0 ; + $\infty$ [.
b) Établir le tableau de variation de $f$ .

3. Tracer la courbe $\mathscr{C}$ .
(On placera les points d’abscisses 0 ; 0,5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5).

Partie C

On admet que $f(t)$ représente la concentration de l'ester, en moles par litre, en fonction du temps t, exprimé en heures.

1. En faisant apparaître les constructions utiles, déterminer graphiquement :
a) la concentration de l'ester au bout de 1 h 30 ;
b) au bout de combien de temps la concentration de l'ester devient inférieure à 0,3 mole par litre.

2. Retrouver le résultat du 1. b) par le calcul.
(On donnera la valeur approchée par excès du résultat en heures et minutes).

Voir la correction

exercice 1

1. Tableau de valeurs :

$x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8
z_i = ln(y_i)	3,00	3,18	3,37	3,30	3,40	3,64	3,78	3,97

2. Nuage de points :

sujet du bac STL biochimie et génie biologique La Réunion 2006 - terminale : image 1

3. a) Calcul des coordonnées des points G₁ et G₂ :
$\begin{array}{lll} x_1 = \frac{1+2+3+4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5 & \hspace{75pt} & x_2 = \frac{5+6+7+8}{4} = \frac{26}{4} = 6,5 \\ z_1 = \frac{3,00 + 3,18 + 3,37 + 3,30}{4} = \frac{12,85}{4} \approx 3,21 & & z_2 = \frac{3,40+3,64+3,78+3,97}{4} = \frac{14,79}{4} \approx 3,70 \\ \end{array}$
Donc les points G₁ et G₂ ont pour coordonnées : $\boxed{\text{G}_1(2,5 \, ; \, 3,21) \ \ \text{G}_2(6,5 \, ; \, 3,70)}$

3. b) Détermination de l'équation de la droite (G₁G₂) :
Coefficient directeur : $a = \frac{z_2 - z_1}{x_2 - x_1} = \frac{3,70 - 3,21}{6,5 - 2,5} = \frac{0,49}{4} \approx 0,12$
Le point G₁ appartient à la droite, donc :
$z_1 = a \times x_1 + b \\ \Longleftrightarrow \ 3,21 = 0,12 \times 2,5 + b \\ \Longleftrightarrow \ b = 3,21 - 0,12 \times 2,5 \\ \Longleftrightarrow \ b = 2,91$
Donc l'équation de la droite (G₁G₂) est : $\boxed{z = 0,12 x + 2,91}$

4. Janvier 2008 correspond à $x = 13$ :
$z = 0,12 \times 13 + 2,91 = 4,47$
Or : $z = \ln y$ donc $y = e^z = e^{4,47} \approx 87,4$
si la tendance se confirme, le prix du baril de pétrole sera d'environ 87 dollars en janvier 2008.

exercice 2

Partie A

Rappel : L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ est donné par $f(t)=k e^{at}$ où k est un réel quelconque.
Donc la solution de l'équation différentielle $y'= -0,61 y$ est donné par : $\boxed{f(t) = k e^{-0,61t}}$ où k est un réel quelconque.
Pour déterminer la valeur du réel k, on utilise la condition initiale $f(0) = 1,5$ :
$f(0) = 1,5 \ \Longleftrightarrow \ k e^{-0,61 \times 0} = 1,5 \ \Longleftrightarrow \ \boxed{k = 1,5}$
Donc la solution cherchée est : $\boxed{f(t) = 1,5 e^{-0,61t}}$

Partie B

1. Limite en + $\infty$ :
On a : $\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \, e^{-0,61t} = 0$ donc $\boxed{\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \, f(t) = 0}$
On en déduit que la courbe $\scrC$ admet l'axe des abscisses, d'équation $y = 0$ , pour asymptote horizontale en + $\infty$ .

2. a) Calcul de la dérivée :
$f'(t) = 1,5 \times (-0,61) \times e^{-0,61t} \\ \boxed{f'(t) = -0,915 e^{-0,61t} }$
Pour tout réel t appartenant à l'intervalle $[0 \, ; \, +\infty[$ , on a : $e^{-0,61t} >0$
Donc $f'(t)$ est strictement négatif sur $[0 \, ; \, +\infty[$ .

2. b) Tableau de variation de la fonction $f$ :
La dérivée étant strictement négative, on en déduit que la fonction est strictement décroissante sur $[0 \, ; \, +\infty[$ .

sujet du bac STL biochimie et génie biologique La Réunion 2006 - terminale : image 2

3. Tableau de valeurs et courbe représentative :

t	0	0,5	1	2	3	4	5
$f(t)$	1,5	1,11	0,82	0,44	0,24	0,13	0,07

sujet du bac STL biochimie et génie biologique La Réunion 2006 - terminale : image 3

Partie C

1. a) Graphiquement, on trouve qu'au bout de 1h30, la concentration est de 0,6 mol/l.

1. b) Graphiquement, on trouve que la concentration est inférieure à 0,3 mol/l lorsque t est supérieur à 2,6h.
Conversion de 2,6h en heures et minutes : $0,6 \times 60 = 36$ donc 2,6h = 2h 36min.

2. Résolution de l'inéquation $f(t) \le 0,3$
$f(t) \le 0,3 \\ \Longleftrightarrow \ 1,5 e^{-0,61t} \le 0,3 \\ \Longleftrightarrow \ e^{-0,61t} \le \frac{0,3}{1,5} \\ \Longleftrightarrow \ e^{-0,61t} \le 0,2 \\\Longleftrightarrow \ -0,61t \le \ln 0,2 \\ \Longleftrightarrow \ \boxed{t \ge -\frac{\ln 0,2}{0,61}} \\ -\frac{\ln 0,2}{0,61} \approx 2,638$
Conversion de 2,638 h en heures et minutes : $0,638 \times 60 \approx 38,28$
Donc la concentration est inférieure à 0,3 mol/l à partir de 2 h 39 min (par excès).

Publié par Cel/jamo le 10-08-2007

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