Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2006
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.
10 points
exercice 1
Les deux parties sont indépendantes
Une population de bactéries diminue en fonction du temps sous l'effet d'un antiseptique. On va chercher à modéliser l'évolution de cette population à l'aide de résultats expérimentaux obtenus ci-dessous. Le temps est donné en minutes, est le nombre de bactéries à l'instant et est la vitesse de variation de cette population à la date , c'est en fait la dérivée de .
0
2
4
6
8
10
12 000
8 000
5 400
3 600
2 500
1 650
- 2 400
- 1 600
- 1 070
- 730
- 480
-340
Partie A
1. Calculer à chaque date le rapport à 0,001 près. Calculer la moyenne arithmétique des résultats obtenus.
2. Résoudre l'équation différentielle sachant que .
3. Estimer la population au bout de 15 minutes, en utilisant ce modèle.
Partie B
1. En utilisant le tableau initial, reproduire et compléter ce tableau dans lequel ln représente la fonction logarithme népérien (on donnera les valeurs arrondies à 0,01) :
0
2
4
6
8
10
9,39
7,41
2. Représenter graphiquement le nuage de points correspondant (unités : 1 cm pour 1 minute en abscisse et 1 cm pour 1 unité en ordonnée).
3. a) On appelle G le point moyen des trois premiers points et G' le point moyen des trois derniers. Calculer à 0,01 près les coordonnées de G et G'.
b) Placer G et G' sur le graphique et tracer la droite (GG').
c) Trouver par le calcul, l'équation de la droite (GG'), en arrondissant à 0,01 près les résultats.
4. a) En déduire, en utilisant le modèle d'estimation donné dans le 3. c), que .
b) Estimer la population au bout de 15 minutes.
10 points
exercice 2
Vers 1840, Verhulst propose un modèle d'évolution d'une population de bactéries en culture. Il suppose que la population ne peut dépasser une certaine valeur maximale.
On note le pourcentage de cette valeur maximale à l'instant . On suppose que et, pour une certaine population, on obtient que
où est exprimé en heures.
La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction .
Partie A :
Les questions sont résolues par lecture graphique.
1. Donner le pourcentage du maximum de la population à la date .
2. Quelle est la limite de en ?
3. À quel instant , à 0,1 près, la population atteint-elle 50% de son maximum ?
4. Quel est le signe de ?
5. À quelle date la croissance de la population, est-elle la plus rapide, à la date ou à la date ? Expliquer.
Partie B :
Les questions sont résolues par le calcul.
1. Calculer à 0,1% près le pourcentage de la population à la date .
2. Quelle est la limite de en ? Que peut-on en déduire ?
3. À quel instant la population atteint-elle 50% de son maximum (à 0,01 près) ?
4. Prouver que la dérivée de est
.
En déduire le signe de .
5. Trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 10 (le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine étant donnés à 0,1 près).
1. On présente les résultats dans le tableau suivant :
0
2
4
6
8
10
-0,200
-0,200
-0,198
-0,203
-0,192
-0,206
Et la moyenne arithmétique notée est :
2. Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur par :
Or, on a : Donc, la solution cherchée est :
3. Il s'agit de calculer l'image de 15 par la fonction :
La population au bout de 15 minutes, en utilisant ce modèle, peut être estimée à 597 bactéries.
Partie B
1.
0
2
4
6
8
10
9,39
8,99
8,59
8,19
7,82
7,41
2. Voir 3. b)
3. a) Le point G : Le point G': Conclusion :
G(2 ; 8,99) et G'(8 ; 7,81)
3. b)
3. c) Soit réels, une équation de (GG'):
Calcul du coefficient directeur On calcule en utilisant le fait que le point G (ou encore G') appartient à la droite, ce qui donne : Conclusion :
4. a)
4. b) On calcule l'image de 15 par : En utilisant ce modèle, la population estimée est de 596 bactéries.
exercice 2
Partie A
1. Graphiquement
2. D'après le tracé, la fonction tend vers 100 en .
3. La population atteint 50 % de son maximum à .
4. Puisque est croissante dans l'intervalle dans lequel elle est représentée, sa dérivée est donc positive.
5. Le coefficient directeur de la tangente à en son point d'abscisse 10 est plus grand que le coefficient directeur de la tangente à en son point d' abscisse 2.
Donc :
La croissance de la population est plus rapide à la date qu'à la date
Partie B
1.
Soit à 0,1 près
2. Puisque alors :
On en déduit que :
La droite d'équation est asymptote à en
3.La population atteint 50 % de son maximum pour solution de l'équation . Soit :
4. Calcul de la dérivée :
Une exponentielle étant toujours strictement positive, est strictement positive.
5. Une équation de la tangente à au point d'abscisse 10 s'écrit : On a :
L'équation devient : Soit en arrondissant les coefficients à 0,1 près :
Publié par TP/dandave
le
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