Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Métropole - Session Septembre 2006

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

10 points

exercice 1

Les deux parties sont indépendantes

Une population de bactéries diminue en fonction du temps sous l'effet d'un antiseptique. On va chercher à modéliser l'évolution de cette population à l'aide de résultats expérimentaux obtenus ci-dessous. Le temps $t$ est donné en minutes, $N(t)$ est le nombre de bactéries à l'instant $t$ et $N'(t)$ est la vitesse de variation de cette population à la date $t$ , c'est en fait la dérivée de $N(t)$ .

$t$	0	2	4	6	8	10
$N(t)$	12 000	8 000	5 400	3 600	2 500	1 650
$N'(t)$	- 2 400	- 1 600	- 1 070	- 730	- 480	-340

Partie A

1. Calculer à chaque date $t$ le rapport $\dfrac{N'(t)}{N(t)}$ à 0,001 près. Calculer la moyenne arithmétique des résultats obtenus.

2. Résoudre l'équation différentielle $N'(t) = - 0,2N(t)$ sachant que $N(0) = 12 000$ .

3. Estimer la population au bout de 15 minutes, en utilisant ce modèle.

Partie B

1. En utilisant le tableau initial, reproduire et compléter ce tableau dans lequel ln représente la fonction logarithme népérien (on donnera les valeurs arrondies à 0,01) :

$t_{i}$	0	2	4	6	8	10
$y_{i} = \ln \left(N\left(t_{i}\right)\right)$	9,39					7,41

2. Représenter graphiquement le nuage de points correspondant $M_{i}\left(t_{i} ; y_{i}\right)}$ (unités : 1 cm pour 1 minute en abscisse et 1 cm pour 1 unité en ordonnée).

3. a) On appelle G le point moyen des trois premiers points et G' le point moyen des trois derniers. Calculer à 0,01 près les coordonnées de G et G'.
    b) Placer G et G' sur le graphique et tracer la droite (GG').
    c) Trouver par le calcul, l'équation de la droite (GG'), en arrondissant à 0,01 près les résultats.

4. a) En déduire, en utilisant le modèle d'estimation donné dans le 3. c), que $N(t) = \text{e}^{-0,2t}\text{e}^{9,39}$ .
    b) Estimer la population au bout de 15 minutes.

10 points

exercice 2

Vers 1840, Verhulst propose un modèle d'évolution d'une population de bactéries en culture. Il suppose que la population ne peut dépasser une certaine valeur maximale.
On note $f(t)$ le pourcentage de cette valeur maximale à l'instant $t$ . On suppose que $f(0) = 1$ et, pour une certaine population, on obtient que $f(t) = \dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6t}},$ où $t$ est exprimé en heures.
La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f$ .

bac STL biochimie et génie biologique Métropole Septembre 2006 - terminale : image 1

Partie A :

Les questions sont résolues par lecture graphique.

1. Donner le pourcentage du maximum de la population à la date $t = 10$ .

2. Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ?

3. À quel instant $t$ , à 0,1 près, la population atteint-elle 50% de son maximum ?

4. Quel est le signe de $f'(t)$ ?

5. À quelle date la croissance de la population, est-elle la plus rapide, à la date $t= 2$ ou à la date $t=10$ ? Expliquer.

Partie B :

Les questions sont résolues par le calcul.

1. Calculer à 0,1% près le pourcentage de la population à la date $t = 10$ .

2. Quelle est la limite de $f$ en $+\infty$ ? Que peut-on en déduire ?

3. À quel instant $t$ la population atteint-elle 50% de son maximum (à 0,01 près) ?

4. Prouver que la dérivée de $f$ est $f'(t) = \dfrac{5940\text{e}^{-0,6t}}{\left(1 +99\text{e}^{-0,6t}\right)^2}$ . En déduire le signe de $f'(t)$ .

5. Trouver l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 10 (le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine étant donnés à 0,1 près).

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1. On présente les résultats dans le tableau suivant :

$t$	0	2	4	6	8	10
$\dfrac{N'(t)}{N(t)}$	-0,200	-0,200	-0,198	-0,203	-0,192	-0,206

Et la moyenne arithmétique notée $m$ est :

$m=\dfrac{-0,200-0,200-0,198-0,203-0,192-0,206}{6}\approx \boxed{-0,2 \text{ (à 0,001 près)}}$

2. Les solutions de l'équation différentielle $N'(t) = - 0,2N(t)$ sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $N(t)=Ke^{-0.2t} \text{ , } K\in\mathbb{R}$
Or, on a : $N(0)=12000\Longrightarrow Ke^{0}=12000\Longrightarrow K=12000$
Donc, la solution cherchée est : $\boxed{N(t)=12000\,e^{-0,2t}}$

3. Il s'agit de calculer l'image de 15 par la fonction $N$ :
$N(15)=12000\,e^{-0.2\times 15}\approx 597,445$
La population au bout de 15 minutes, en utilisant ce modèle, peut être estimée à 597 bactéries.

Partie B

$t_i$	0	2	4	6	8	10
$y_i=\ln[N(t_i)]$	9,39	8,99	8,59	8,19	7,82	7,41

2. Voir 3. b)

3. a)
Le point G : $t_G=\dfrac{0+2+4}{3}=2 \text{ et } y_G=\dfrac{9,39+8,98+8,59}{3}\approx 8,99$
Le point G': $t_{G'}=\dfrac{6+8+10}{3}=8 \text{ et } y_{G'}=\dfrac{8,19+7,82+7,41}{3}\approx 7,81$
Conclusion : G(2 ; 8,99) et G'(8 ; 7,81)

3. b)

bac STL biochimie et génie biologique Métropole Septembre 2006 - terminale : image 2

3. c) Soit $y=mt+p \text{ avec } m\text{ et } p$ réels, une équation de (GG'):
Calcul du coefficient directeur $m \text{ } :~ m=\dfrac{8,99-7,81}{2-8}=-\dfrac{1,18}{6}\approx-0,2$
On calcule $p$ en utilisant le fait que le point G (ou encore G') appartient à la droite, ce qui donne : $p=y_G-mt_G=8,99-(-0,2\times 2)=8,99+0,4=9,39$
Conclusion : $\boxed{(GG') : y=-0,2t+9,39}$

4. a) $y=-0,2t+9,39 \Longleftrightarrow \ln(N(t))=-0,2t+9,39 \Longleftrightarrow N(t)=e^{-0,2t+9,39}\Longleftrightarrow \boxed{N(t)=e^{-0,2t}e^{9,39}}$

4. b) On calcule l'image de 15 par $N$ : $N(15)=e^{-0,2\times 15}e^{9,39}\approx 595,85$
En utilisant ce modèle, la population estimée est de 596 bactéries.

exercice 2

Partie A

1. Graphiquement $\boxed{f(10)=80\text{ (exprimé en }\%)}$

2. D'après le tracé, la fonction $f$ tend vers 100 en $+\infty$ .

3. La population atteint 50 % de son maximum à $t=7,6 \text{ (exprimé en heure)}$ .

4. Puisque $f$ est croissante dans l'intervalle dans lequel elle est représentée, sa dérivée est donc positive.

5. Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 10 est plus grand que le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}$ en son point d' abscisse 2.
Donc :
La croissance de la population est plus rapide à la date $t=10$ qu'à la date $t=2$

Partie B

1. $f(10)=\dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6\times 10}}=\boxed{\dfrac{100}{1+99\text{e}^{-6}}}$

Soit à 0,1 près $\boxed{f(10)=80,3\text{ (exprimé en }\%)}$

2. Puisque $\displaystyle \lim_{t\to+\infty}e^{-t}=0$ alors :
$\displaystyle \lim_{t\to+\infty} f(t)=\lim_{t\to+\infty} \dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6t}}=\dfrac{100}{1+99\times 0}=\boxed{100}$
On en déduit que : La droite d'équation $y=10$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en $+\infty$

3. La population atteint 50 % de son maximum pour $t$ solution de l'équation $f(t)=50$ .
$\begin{matrix}f(t)=50&\Longleftrightarrow& \dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6t}}=50& \Longleftrightarrow &50\left(1+99\text{e}^{-0,6t}\right)=100&\Longleftrightarrow& 1+99e^{-0,6 t}=\dfrac{100}{50}\\ &\Longleftrightarrow& 99e^{-0,6 t}=1&\Longleftrightarrow& e^{-0,6 t}=\dfrac{1}{99}&\Longleftrightarrow& -0,6 t=\ln \left(\dfrac{1}{99}\right)\\ &\Longleftrightarrow& t=\dfrac{1}{0,6}\ln(99)\end{matrix}$
Soit : $\boxed{t \approx 7,66\text{ h}}$

4. Calcul de la dérivée :
$f'(t)=-100\dfrac{-0,6\times 99\text{e}^{-0,6t}}{\left(1+99\text{e}^{-0,6t}\right)^2}=\dfrac{100\times 0,6\times 99\text{e}^{-0,6t}}{\left(1+99\text{e}^{-0,6t}\right)^2}$
$\boxed{f'(t)=\dfrac{5940\text{e}^{-0,6t}}{\left(1 +99\text{e}^{-0,6t}\right)^2}}$
Une exponentielle étant toujours strictement positive, $f'(t)$ est strictement positive.

5. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 10 s'écrit : $y=f'(10)(t-10)+f(10)$
On a : $f'(10)=\dfrac{5940\text{e}^{-0,6\times 10}}{\left(1 +99\text{e}^{-0,6\times 10}\right)^2}\approx 9,4930$

$f(10)=\dfrac{100}{1+99\text{e}^{-0,6\times 10}}\approx 80,296$
L'équation devient : $y=9,493(t-10)+80,296$
Soit en arrondissant les coefficients à 0,1 près :
$\boxed{y=9,5t-14,6}$

Publié par TP/dandave le 03-01-2014

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