Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Biochimie Génie Biologique
Antilles Guyane - Session Juin 2006

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel, distribué par le centre d'examen, est autorisé.

12 points

exercice 1

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; 4] par : $f(x) = \dfrac{3 + 2 \ln (x)}{x}$
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unités graphiques :
    4 cm pour une unité sur l'axe des abscisses et
    2 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

1. Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0. On pourra écrire $f(x)$ sous la forme : $f(x) = \left[3 + 2\ln (x)\right] \times\dfrac{1}{x}$ . Donner une interprétation graphique du résultat.

2. Justifier que la dérivée $f'$ est donnée par $f'(x) = \dfrac{-1 - 2\ln (x)}{x^2}$ pour $x$ appartenant à ]0 ; 4].

3. a) Résoudre l'équation : $- 1 -2 \ln (x) = 0$ .
Donner la valeur exacte de la solution puis une valeur arrondie au centième.
    b) Résoudre l'inéquation : $-1 -2 \ln (x) > 0$ .
    c) En déduire le signe de la dérivée $f'$ puis le tableau de variations de la fonction $f$ sur ]0 ; 4].

4. a) Recopier et compléter le tableau suivant avec des valeurs arrondies au centième :

$x$	0,2	0,3	0,4	0,6	0,8	1	1,5	2	3	4
$f(x)$		1,97

    b) Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.
    c) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ .
    d) Estimer, à l'aide du graphique, les solutions de l'équation $f(x) = 2$ . On laissera apparents les traits de constructions.

8 points

exercice 2

Dans cet exercice, les valeurs calculées seront arrondies au millième.

On étudie l'évolution d'une population de bactéries en fonction du temps.
$N$ désigne le nombre de bactéries en milliers par millilitre à un instant donné $t$ exprimé en heures.
On a observé et relevé $N$ toutes les demi-heures et on a obtenu le tableau ci-dessous :

$t$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
$N$	9	10,5	11	12,5	15	16	18	20	22	24	26

Pour étudier l'évolution de cette population, on effectue un changement de variable : $y = \ln (N)$ .

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

$t$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
$y=\ln (N)$

2. Représenter le nuage de points de coordonnées $\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal, en prenant comme unités
    sur l'axe des abscisses : 3 cm pour une heure
    sur l'axe des ordonnées : 10 cm pour une unité, en commençant les graduations à partir de 2.

3. a) Calculer les coordonnées de G, point moyen du nuage.
    b) Déterminer une équation de la droite $D$ passant par G et ayant pour coefficient directeur 0,215.
    c) Tracer cette droite $D$ sur le graphique précédent.

4. On considère que cette droite permet un ajustement de la série $\left(t_{i} ; y_{i}\right)$ . Estimer le nombre de bactéries (en milliers par millilitre) au bout de 6 heures, à l'aide du graphique puis par un calcul.

Correction

exercice 1

1. $f(x) = \left[3 + 2\ln (x)\right] \times\dfrac{1}{x}$
$\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}3+2\,\ln\,x=-\infty$ et $\lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}\dfrac{1}{x}= +\infty$
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{\substack{x\to 0\\x>0}}f(x)=-\infty}$
Interprétation graphique : La droite d'équation $x=0$ est asymptote à $\mathcal{C}$

2. $f$ est dérivable sur ]0 ; 4] et :
$f'(x) =\dfrac{\dfrac{2}{x}\times x-(3+2\,\ln\,x)}{x^2}=\dfrac{2-3-2\ln(x)}{x^2}$
$\boxed{f'(x)=\dfrac{-1-2\ln x}{x^2}}$
3. a) $- 1 -2 \ln (x) = 0\Longleftrightarrow -2\ln x=1\Longleftrightarrow \ln x=-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow x=e^{-\frac{1}{2}}\Longleftrightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{\sqrt{e}}}$
Valeur arrondie : $\dfrac{1}{\sqrt{e}} = \boxed{0,61}$

3. b) $- 1 -2 \ln (x) > 0\Longleftrightarrow -2\ln x>1\Longleftrightarrow \ln x<-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \boxed{ x<\dfrac{1}{\sqrt{e}}}$

3. c) Puisque le signe de $f'(x)$ est celui de $-1-2\ln(x)$ , alors :
$\boxed{ f'(x)\text{ est positif ou nul sur }\left]0,\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right] \text{ et négatif ou nul sur } \left[\dfrac{1}{\sqrt{e}},4\right] }$
Tableau de variation :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \dfrac{1}{\sqrt{e}} & & 4 \\ \hline f'(x) & \dbarre \text{\white aahh} & + &\barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre -\infty & \croit & 2\sqrt{e} & \decroit & \dfrac{3+4\ln 2}{4} \\ \hline \end{tabvar}$
$f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)=\dfrac{3 + 2 \ln \left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)}{\frac{1}{\sqrt{e}}}=\sqrt{e}\left(3 - 2 \ln \left(\sqrt{e}\right)\right)=\sqrt{e}\left(3 - \ln \left(e\right)\right)=\boxed{2\sqrt{e}}$
Une autre manière de mener ce calcul est de remarquer que : $\dfrac{1}{\sqrt{e}}=e^{-\frac{1}{2}}$
ce qui donnait alors pour le calcul : $f\left(\dfrac{1}{\sqrt{e}}\right)= \dfrac{3 + 2 \ln e^{-\frac{1}{2}}}{e^{-\frac{1}{2}}}=\dfrac{3 + 2\times \frac{-1}{2} }{e^{-\frac{1}{2}}}=2\,e^{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{e}$
$f(4)=\dfrac{3 + 2 \ln (4)}{4}=\dfrac{3 + 2 \ln (2^2)}{4}=\boxed{\dfrac{3 + 4 \ln (2)}{4}}$

4. a)

$x$	0,2	0,3	0,4	0,6	0,8	1	1,5	2	3	4
$f(x)$	-1,09	1,97	2,92	3,30	3,19	3,00	2,54	2,19	1,73	1,44

4. b) Une équation de la tangente demandée est : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
$f'(1)=-1$ et $f(1)=3$
Donc une équation de $T$ est : $y=-(x-1)+3$
Soit encore : $\boxed{T:\;y=-x+4}$

4. c)

bac STL biochimie et génie biologique Antilles Guyane juin 2006 - terminale : image 2

4. d) D'après le graphique, les deux solutions de l'équation $f(x)=2$ peuvent être estimées à :
$\boxed{ t_1\approx 0.3 \text{ et } t_2\approx 2.35 }$

exercice 2

$t$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
$y=\ln (N)$	2,197	2,351	2,398	2,526	2,708	2,773	2,890	2,996	3,091	3,178	3,258

2. Voir figure.

3. a) On a $t_G=\dfrac{0,5+1+1,5+2+2,5+3+3,5+4+4,5+5}{11}=2,5$
et $y_G=\dfrac{2,197+2,351+2,398+2,526+2,708+2,773+2,890+2,996+3,091+3,178+3,258}{11} \approx 2,761$
D' où : G(2,5 ; 2,761)

3. b) La droite $D$ a pour coefficient directeur 0,215 donc une équation de celle-ci peut s'écrire : $y=0,125\,t+p$ où $p$ est un réel à déterminer.
G appartient à cette droite pour : $y_G=0,215\,t_G+p\Longrightarrow p=y_G-0,215\,t_G\Longrightarrow p=2,761-(0,215\times 2,5)=\boxed{2,224}$

$\boxed{D:\, y=0,215 \, t + 2,224}$

3. c)

bac STL biochimie et génie biologique Antilles Guyane juin 2006 - terminale : image 1

4. Graphiquement on trouve $y\approx 3,51$ . Or $y=\ln(N)$ , donc $N=e^{y}$
On en déduit : $N(6)\approx e^{3.51}$ soit environ 33,448.
ou encore 33 448 bactéries par millilitre

Publié par TP/dandave le 30-12-2013

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