Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2006

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

4 points

exercice 1

Soit (E) l'équation différentielle $y''+ 4y = 0$ , où $y$ est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle $x$ .

1. Résoudre l'équation différentielle (E).

2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E), dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées $\left(\dfrac{\pi}{2} ; - \sqrt{3}\right)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 2.

3. Vérifier que, pour tout nombre réel $x, f(x) = 2 \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$ .

4. Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]$ .

5 points

exercice 2

1. a) Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation $\dfrac{1}{2}z^2 + z + 1 = 0$ .
    b) On note $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ et $z_{4}$ les nombres complexes définis par : $z_{1} = -1+ \text{i}$ ,    $z_{2}= \overline{z_{1}}$ ,    $z_{3} = -2$ et    $z_{4}= - 2z_{1}$ . Écrire $z_{2}$ et $z_{4}$ sous forme algébrique.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ (unité graphique : 1 cm).
On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ et $z_{4}$ .
    a) Placer les points A, B, C, D dans le repère $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
    b) On note I le milieu du segment [CD]. Déterminer l'affixe du point I.
    c) Montrer que le triangle ACD est rectangle.
    d) Préciser le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD.

11 points

probleme

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \left(3 - x^2\right) \text{e}^x$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthononnal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
Une partie de la courbe $\mathcal{C}$ est représentée sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2006 : image 1

Partie I : étude de la fonction $f$

1. a) Étudier la limite de $f$ en $+\infty$ .
    b) Étudier la limite de $f$ en $-\infty$ . On pourra utiliser le résultat suivant :
$\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0 ; n \in \mathbb{N}$ .

2. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
    a) Calculer $f'(x)$ .
    b) Étudier le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$ .
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. Déterminer les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.

Partie II: Tracé d'une parabole

1. Soit $\mathcal{P}$ la parabole d'équation $y = 6 - 2x^2$ .
Vérifier que les points A et B, définies à la question 3. de la partie I, appartiennent à la parabole $\mathcal{P}$ .

2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ , $\left(6- 2x^2\right) - f(x) = \left(3 - x^2\right)\left(2 - \text{e}^x\right)$ .
b) Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $\left[- \sqrt{3} ; \ln 2\right]$ , $\left(3- x^2\right)\left(2- \text{e}^x\right) \ge 0$ .
c) En déduire que, sur l'intervalle $\left[- \sqrt{3} ; \ln 2\right]$ , la parabole $\mathcal{P}$ est au-dessus de la courbe $\mathcal{C}$ .

3. Tracer la parabole $\mathcal{P}$ sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.

Partie III : Calcul d'aires

1. On considère la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x) = \left(x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^x$ .
    a) On note $G'$ la fonction dérivée de la fonction $G$ . Calculer $G'(x)$ .
    b) En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. On considère le domaine du plan limité par les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$ , les droites d'équations respectives $x=-\sqrt{3}$ et $x=0$ .
    a) Hachurer le domaine sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
    b) On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$ . Calculer l'aire $\mathcal{A}$ , exprimée en unités d'aire.
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10^-2.

Voir la correction

exercice 1

1. $(E):y''+4y=0$
$(E)$ est une équation différentielle de la forme $y''+\omega^2y=0$ avec $\omega =2$
Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :
$\boxed{x\mapsto A\,\cos\,2x+B\,\sin\,2x\text{ où }A \text{ et }B\text{ sont des constantes réelles}}$

2. $f(x) = A\,\cos\,2x+B\,\sin\,2x$
Les conditions de l'énoncé se traduisent par : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2$
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ : $f'(x)=-2A\,\sin\,2x+2B\,\cos\,2x$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3} \Longrightarrow A\,\cos\,\pi+B\,\sin\,\pi=-\sqrt{3}\Longrightarrow \boxed{ A=\sqrt{3}}$

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\Longrightarrow -2A\,\sin\,\pi+2B\,\cos\,\pi=2\Longrightarrow \boxed{B=-1}$
La solution $f$ de $(E)$ vérifiant les conditions $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
$\boxed{ f(x)=\sqrt{3}\,\cos\,2x-\sin\,2x}$

3. $2 \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)=2\left[ \cos\,2x\,\cos\,\dfrac{\pi}{6}-\sin\,2x\,\sin\,\dfrac{\pi}{6}\right]=2\left[\dfrac{\sqrt{3}}{2\,}\cos\,2x-\dfrac{1}{2}\,\sin\,2x\right]=\sqrt{3}\,\cos\,2x-\sin\,2x$ donc :

$\boxed{f(x)=2\,\cos\,\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)}$

4. Soit $m$ la valeur moyenne de $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ :
$\begin{matrix}m&=&\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}-0}\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)\text{d}x&=&\dfrac{2}{\pi}\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(2x+\dfrac{\pi}{6})\text{d}x&=&\dfrac{2}{\pi}\left[\sin(2x+\dfrac{\pi}{6})\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\&=&\dfrac{2}{\pi}\left[\sin(\dfrac{7\pi}{6})-\sin(\dfrac{\pi}{6})\right]&=&\dfrac{2}{\pi}\left[-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right]\end{matrix}$

$\boxed{m=-\dfrac{2}{\pi}}$

exercice 2

1. a) $\dfrac{1}{2}z^2 + z + 1 = 0$
Calcul du discriminant : $\Delta=1^2-4\times \dfrac{1}{2}\times 1=1-2=-1$
$\Delta<0$ donc l'équation admet deux racines complexes : $\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ soit :

$\boxed{z'=-1+i\text{ et } z''=-1-i}$

1. b) $z_2=\overline{z_1}=\overline{-1+i}$
$\boxed{z_2=-1-i}$
$z_4=-2z_1=-2(-1+i)$
$\boxed{z_4=2-2i}$

2. a)

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2006 : image 2

2. b) $z_I=\dfrac{z_C+z_D}{2}=\dfrac{z_3+z_4}{2}=\dfrac{-2+2-2i}{2}$
$\boxed{z_I=-i}$

2. c) $AC^2=|z_3-z_1|^2=|-2-(-1+i)|^2=|-1-i|^2=(-1)^2+(-1)^2=2$
$AD^2=|z_4-z_1|^2=|2-2i-(-1+i)|^2=|3-3i|^2=3^2+(-3)^2=18$
$CD^2=|z_4-z_3|^2=|2-2i-(-2)|^2=|4-2i|^2=4^2+(-2)^2=20$
On constate que $AC^2+AD^2=CD^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit :

Le triangle ACD est rectangle en A

2. d) Le centre du cercle circonscrit au triangle ACD rectangle en A est le milieu de son hypoténuse [CD] soit I.
Le rayon $r$ de ce cercle vaut la moitié de l'hypoténuse : $r=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{\sqrt{20}}{2}=\sqrt{5}$

Le cercle circonscrit au triangle ACD est le cercle de centre I et de rayon $\sqrt{5}$

probleme

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(3 - x^2\right)e^x$

Partie I

1. a) $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} 3-x^2=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ donc :
$\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}$

1. b) $f(x) = \left(3 - x^2\right)e^x=3\,e^x-x^2\,e^x$
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x^2\,e^x = 0$ , donc :
$\boxed{\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x)=0}$

2. a) $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=-2x e^x+ \left(3 - x^2\right)e^x=\left(-2x+3-x^2\right)e^x$
$\boxed{f'(x)=(-x^2-2x+3)\,e^x}$

2. b) Pour tout réel $x$ , $e^x>0$ , donc $f'(x)$ est du signe de $-x^2-2x+3$
On résout l'équation du second degré $-x^2-2x+3=0$
$\Delta=2^2-4\times (-1)\times 3=16$ donc l'équation admet deux racines réelles :
$x_1=\dfrac{2+4}{-2}=-3$ et $x_2=\dfrac{2-4}{-2}=1$
Signe du trinôme $P(x)=-x^2-2x+3$ : $P(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$ sauf entre ses solutions, soit
sur $]-\infty;-3]\cup[1;+\infty[,\quad P(x)\leq 0$ et sur $[-3;1],\quad P(x)\geq 0$ donc :
$\boxed{f'(x)\leq 0 \text{ sur } ]-\infty,-3]\cup[1,+\infty[\text{ et }f'(x)\geq 0 \text{ sur } [-3,1]}$

2. c) Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|} \hline x & -\infty & &-3 & & 1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & - &\barre{0} & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & 0 & \decroit & -6e^{-3} & \croit & 2e & \decroit & -\infty \\ \hline \end{tabvar}$
Avec $f(-3)=-6e^{-3}$ et $f(1)=2e$

3. Les abscisses des points d' intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $f(x)=0$
$f(x)=0\Longleftrightarrow \left(3 - x^2\right) \text{e}^x=0 \Longleftrightarrow 3-x^2=0\Longleftrightarrow (\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}+x)=0\Longleftrightarrow x=\sqrt{3} \text{ ou } x=-\sqrt{3}$
On prend par exemple $x_A=-\sqrt{3} \text{ et } x_B=\sqrt{3}$ :
$\boxed{\text{ Les deux points d'intersection de }\mathcal{C} \text{ avec l'axe des abscisses sont } A(-\sqrt{3},0) \text{ et } B(\sqrt{3},0)}$

Partie II

1.
Le point A : $6 - 2x_A^2=6-2(-\sqrt{3})^2=6-6=0=y_A\Longrightarrow \boxed{A\in \mathcal{P}}$
Le point B : $6 - 2x_B^2=6-2\sqrt{3}^2=6-6=0=y_B\Longrightarrow \boxed{B\in \mathcal{P}}$

2. a) $6-2x^2-f(x)=2(3-x^2)-(3-x^2)\,e^x$
$\boxed{6-2x^2-f(x)=(3-x^2)(2-e^x)}$

2. b) Sur $[-\sqrt{3};+\sqrt{3}]$ , $3-x^2\geq 0$
Or $-\sqrt{3}<\ln\,2<\sqrt{3}$ donc sur $[-\sqrt{3};\ln\,2]$ , $3-x^2\geq 0$
Sur $[-\sqrt{3};\ln\,2]$ , $x\leq \ln\,2$ donc $e^x\leq 2$ par croissance de la fonction exponentielle et $2-e^x\geq 0$
On en déduit :
$\boxed{\text{Sur }[-\sqrt{3};\ln\,2],\quad (3-x^2)(2-e^x)\geq 0}$

2. c) D'après la question précédente, pour tout $x$ de $[-\sqrt{3},\ln 2] \text{ : } 6-2x^2\geq f(x)$
Ce qui signifie que :
$\boxed{ \text{Sur } [-\sqrt{3},\ln 2] \text{ , }\mathcal{P} \text{ est au-dessus de } \mathcal{C} }$

3.

bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels Métropole Septembre 2006 : image 3

Partie III

1. a) $G(x)=(x^2-2x+2)e^x$
$G'(x)=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x=(2x-2+x^2-2x+2)e^x$
$\boxed{G'(x)=x^2\,e^x}$

1. b) $f(x)=3\,e^x-x^2\,e^x=3\,e^x-G'(x)$ .
$F(x)=3\,e^x-G(x)=3\,e^x-(x^2-2x+2)\,e^x$
$\boxed{F(x)=(-x^2+2x+1)\,e^x}$

2. a) Voir le tracé ci-dessus.

2. b) D'après 2. c), sur $[-\sqrt{3};0]$ , la parabole $\mathcal{P}$ est au dessus de $\mathcal{C}$
Donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine en unités d'aire est donnée par :
$\begin{matrix}\displaystyle\mathcal{A} &=&\displaystyle\int_{-\sqrt{3}}^0 \left[6-2x^2-f(x)\right]\text{ d}x&=&\left[6x-\dfrac{2}{3}x^3-F(x)\right]_{-\sqrt{3}}^{0}\\&=&\left[6x-\dfrac{2}{3}x^3+(x^2-2x-1)\,e^x\right]_{-\sqrt{3}}^{0}&=&-1-\left[-6\sqrt{3}+2\sqrt{3}+(3+2\sqrt{3}-1)e^{-\sqrt{3}}\right]\end{pmatrix}$
$\boxed{\mathcal{A}=4\sqrt{3}-1-2(\sqrt{3}+1)e^{-\sqrt{3}}\approx 4.96 \text{ en unités d'aire }}$

Publié par TP/dandave le 17-12-2013

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