Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Septembre 2006
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L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures
4 points
exercice 1
Soit (E) l'équation différentielle , où est une fonction deux fois dérivable de la variable réelle .
1. Résoudre l'équation différentielle (E).
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal .
Déterminer la fonction solution de l'équation différentielle (E), dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 2.
3. Vérifier que, pour tout nombre réel .
4. Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle .
5 points
exercice 2
1. a) Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation
.
b) On note et les nombres complexes définis par :
, , et .
Écrire et sous forme algébrique.
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique : 1 cm).
On désigne par A, B, C et D les points d'affixes respectives et .
a) Placer les points A, B, C, D dans le repère .
b) On note I le milieu du segment [CD]. Déterminer l'affixe du point I.
c) Montrer que le triangle ACD est rectangle.
d) Préciser le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ACD.
11 points
probleme
On considère la fonction définie sur par
.
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthononnal .
Une partie de la courbe est représentée sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
Partie I : étude de la fonction
1. a) Étudier la limite de en .
b) Étudier la limite de en . On pourra utiliser le résultat suivant :
.
2. On note la fonction dérivée de la fonction sur .
a) Calculer .
b) Étudier le signe de sur .
c) Dresser le tableau de variations de la fonction .
3. Déterminer les coordonnées des points A et B, points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
Partie II: Tracé d'une parabole
1. Soit la parabole d'équation .
Vérifier que les points A et B, définies à la question 3. de la partie I, appartiennent à la parabole .
2. a) Vérifier que, pour tout nombre réel ,
.
b) Montrer que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle ,
.
c) En déduire que, sur l'intervalle , la parabole est au-dessus de la courbe .
3. Tracer la parabole sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
Partie III : Calcul d'aires
1. On considère la fonction définie sur par
.
a) On note la fonction dérivée de la fonction . Calculer .
b) En déduire une primitive de la fonction sur .
2. On considère le domaine du plan limité par les courbes et , les droites d'équations respectives et .
a) Hachurer le domaine sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.
b) On note l'aire du domaine . Calculer l'aire , exprimée en unités d'aire.
Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à 10-2.
1. est une équation différentielle de la forme avec Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions :
2. Les conditions de l'énoncé se traduisent par : et est dérivable sur :
La solution de vérifiant les conditions et est définie sur par :
3. donc :
4. Soit la valeur moyenne de sur :
exercice 2
1. a) Calcul du discriminant : donc l'équation admet deux racines complexes : et soit :
1. b)
2. a)
2. b)
2. c) On constate que ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit :
Le triangle ACD est rectangle en A
2. d) Le centre du cercle circonscrit au triangle ACD rectangle en A est le milieu de son hypoténuse [CD] soit I.
Le rayon de ce cercle vaut la moitié de l'hypoténuse :
Le cercle circonscrit au triangle ACD est le cercle de centre I et de rayon
probleme
est définie sur par :
Partie I
1. a) et donc :
1. b) et , donc :
2. a) est dérivable sur et
2. b) Pour tout réel , , donc est du signe de On résout l'équation du second degré donc l'équation admet deux racines réelles :
et Signe du trinôme : est du signe du coefficient de sauf entre ses solutions, soit
sur et sur donc :
2. c) Tableau de variations :
Avec et
3. Les abscisses des points d' intersection de la courbe et de l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation On prend par exemple :
Partie II
1. Le point A : Le point B :
2. a)
2. b) Sur , Or donc sur , Sur , donc par croissance de la fonction exponentielle et On en déduit :
2. c) D'après la question précédente, pour tout de Ce qui signifie que :
3.
Partie III
1. a)
1. b).
2. a) Voir le tracé ci-dessus.
2. b) D'après 2. c), sur , la parabole est au dessus de Donc l'aire du domaine en unités d'aire est donnée par :
Publié par TP/dandave
le
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