Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2006

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Partie A

Pour tout nombre complexe z, on note P(z) = z³ - 4z² + 8z - 8.

1. Calculer P(2).
Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s'écrire sous la forme P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4).

2. Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation z² - 2z + 4 = 0.
En déduire les solutions, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, de l'équation P(z) = 0.

Partie B

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{u} , \vec{v})$ (unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives : a = 2 b = 1 + i $\sqrt{3}$ c = 1 - i $\sqrt{3}$

1. a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O.
c) Construire le cercle $\Gamma$ .

2. Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}})$ .
Quelle est la nature du triangle OAB ?

5 points

exercice 2

Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est 1013 hectopascal.
Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m.

Pour tout entier naturel n, on note P_n la pression, exprimée en hectopascal, à l'altitude 100n, exprimée en mètres.
Soit (P_n) la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique.
On a alors P₀ = 1013.

1. Calculer les pressions P₁ et P₂, arrondies à l'unité, aux altitudes 100 et 200.

2. a) Exprimer P_n+1 en fonction de P_n.
b) En déduire la nature de la suite (P_n). Préciser sa raison et son premier terme.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, P_n = 1013 × 0,9875ⁿ.

3. Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l'unité, à l'altitude 3200.

4. Calculer à partir de quelle altitude, à 100 m près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal.

10 points

probleme

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x}$ .
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en 0. Interpréter graphiquement le résultat.

2. En remarquant que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f(x)$ est égal à $\dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}$ , déterminer la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ .
Interpréter graphiquement le résultat.

3. a) On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \dfrac{-2 + \ln x}{x^2}$ .
b) Etudier le signe de $-2 + \ln x$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. On note I le point d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de l'axe $(O ; \vec{i})$ .
Déterminer les coordonnées du point I.

5. On note $\mathscr{T}$ la tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point A d'abscisse 1.
Déterminer une équation de la droite $\mathscr{T}$ .

6. Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ , la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\mathscr{T}$ .
On prendra 1 cm pour unité graphique sur l'axe $(O ; \vec{i})$ et 5 cm pour unité graphique sur l'axe $(O ; \vec{j})$ .

Partie B

1. a) On considère la fonction g définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = (\ln x)^2$ .
On note g ' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
Calculer $g'(x)$ .
b) En déduire une primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

2. a) Calculer J = $\displaystyle \int_1^e f(x) \text{d}x$ , où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
b) Interpréter graphiquement l'intégrale J.

Voir la correction

exercice 1

Partie A

1. Calculons P(2) :
P(2) = 2³ - 4 × 2² + 8 × 2 - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0
On en déduit que 2 est une racine du polynôme P.

Vérifions que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut sécrire sous la forme P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4) :
Pour tout nombre complexe z,
(z - 2)(z² - 2z + 4) = s³ - 2z² + 4z - 2z² + 4z - 8 = z³ - 4z² + 8z - 8 = P(z).
D'où : pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4).

Remarque : on aurait pu démontrer ce résultat :
Comme 2 est une racine du polynôme P, alors pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(az² + bz + c), avec a, b et c des constantes réelles.
Ce qui équivaut à : P(z) = az³ + z²(b - 2a) + z(c - 2b) - 2c
Ainsi par identification on a :
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} a & 1\\ b - 2a & -4\\ c - 2b & 8 \\ -2c & -8 \\ \end{array} \right. \hspace{15pt} \Longleftrightarrow \hspace{15pt} \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {a & 1\\ b & -2 \\ c & 4}\ \\ \end{array} \right.$
D'où : pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4)

2. Résolvons, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation z² - 2z + 4 = 0 :
z² - 2z + 4 = 0
$\Delta$ = 4 - 16 = -12 = 12i²
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
$z_1 = \dfrac{2 + i\sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 + i\sqrt{4 \times 3}}{2} = \dfrac{2 + 2i\sqrt{3}}{2} = 1 + i\sqrt{3}\\ \text{et } z_2 = \dfrac{2 - i\sqrt{12}}{2} = 1 - i\sqrt{3}$

Déduisons-en les solutions, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, de l'équation P(z) = 0 :
P(z) = 0 $\Longleftrightarrow$ (z - 2)(z² - 2z + 4) = 0
$\Longleftrightarrow$ z - 2 = 0 ou z² - 2z + 4 = 0
On en déduit que les solutions de l'équation P(z) = 0 sont 2 ; $2 + \sqrt{3}i \text{ et } 2 - \sqrt{3}i$ .

Partie B

1. a) Plaçons les points A, B et C dans le plan complexe :

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2006 : image 1

1. b) Démontrons que les points A, B et C sont sur un même cercle $\Gamma$ de centre O :
OA = |a| = $\sqrt{2^2}$ = 2
OB = |b| = $\sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4}$ = 2
OC = |c| = $\sqrt{1^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 3}$ = 2
Comme OA = OB = OC, alors les points A, B et C sont bien sur un même cercle $\Gamma$ de centre O et de rayon 2.

1. c) Construisons le cercle $\Gamma$ :
cf graphique

2. Déterminons un argument du nombre complexe b :
Soit $\theta$ un argument du nombre complexe b. Alors on a :
$\cos \theta = \dfrac{1}{|b|} \text{ et } \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{|b|}$
Or, |b| = 2, donc $\cos \theta = \dfrac{1}{2} \text{ et } \sin \theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .
On en déduit alors que $\dfrac{\pi}{3}$ est un argument du nombre complexe b.

Déduisons-en une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}})$ :
Comme A est sur l'axe des abscisses, alors arg(a) = 0 (2 $\pi$ ).
Donc $(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}) = \dfrac{\pi}{3} \left(2\pi\right)$ .
D'où : $\dfrac{\pi}{3}$ est une mesure de l'angle $(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}})$

Déterminons la nature du triangle OAB :
On sait que OA = OB et que $(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}) = \dfrac{\pi}{3}$ .
On en déduit que le triangle OAB est équilatéral.

exercice 2

1. Calculons les pressions P₁ et P₂ :
On sait qu'au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est 1 013 hectopascal. On sait également que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m, donc :
P₁ = P₀ - P₀ × $\dfrac{1,25}{100}$ = $\left(1 - \dfrac{1,25}{100}\right)$ P₀ = 0,9875 P₀ = 0,9875 × 1013
Donc : P₁ $\approx$ 1000
La pression atmosphérique à l'altitude 100 m est d'environ 1000 hectopascal.

P₂ = $P_1 - P_1 \times \dfrac{1,25}{100} = \left(1 - \dfrac{1,25}{100}\right) \times P_1$ = 0,9875 × P₁ = 0,9875 × 1 000
Donc : P₂ $\approx$ 988
La pression atmosphérique à l'altitude 200 m est d'environ 988 hectopascal.

2. a) Exprimer P_n+1 en fonction de P_n :
La pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m, donc :
P_n+1 = $P_n - P_n \times \dfrac{1,25}{100}$ = (1 - 0,0125)P_n = 0,9875 P_n.

2. b) Déduisons-en la nature de la suite (P_n) :
D'après la question précédente, on en déduit que (P_n) est une suite géométrique de raison q = 0,9875. Son premier terme est P₀ = 1013.

2. c) Déduisons-en que, pour tout entier naturel n, P_n = 1013 × 0,9875ⁿ :
(P_n) est une suite géométrique de raison 0,9875 et de premier terme P₀ = 1013, donc pour tout entier naturel n, P_n = P₀ × qⁿ = 1013 × 0,9875ⁿ

3. Calculons la pression atmosphérique à l'altitude 3200 :
La pression atmosphérique à l'altitude 3 200 = 32 × 100 est donnée pat P₃₂.
Or, P₃₂ = 1013 × 0,9875³² $\approx$ 677
D'où : la pression atmosphérique à l'altitude 3200 est d'environ 677 hectopascal.

4. Calculons à partir de quelle altitude, à 100 m près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal :
$P_n \leq 600\\ \Longleftrightarrow 1013 \times 0,9875^n \le 600 \\ \Longleftrightarrow 0,9875^n \le \dfrac{600}{1013}\\ \Longleftrightarrow \ln\left(0,9875^n\right) \le \ln\left(\dfrac{600}{1013}\right) \hspace{15pt} \text{ car la fonction ln est croissante sur } ]0 ; +\infty[ \\ \Longleftrightarrow n \times \ln(0,9875) \le \ln\left(\dfrac{600}{1013}\right) \\ \Longleftrightarrow n \ge \dfrac{\ln\left(\frac{600}{1013}\right)}{\ln(0,9875)} \hspace{15pt} \text{ car } \ln(0,9875) < 0\\ \Longleftrightarrow n \ge 41,64$
La pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal à partir de 4 200 mètres (à 100 mètres près).

probleme

Partie A

1. Déterminons la limite de $f$ en 0 :
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1 - \ln x) = +\infty$
Et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x = 0^+$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = +\infty$
D'où $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$
On peut ainsi dire que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\scr{C}$ .

2. Déterminons la limite de la fonction $f$ en + $\infty$ :
Pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{\ln x}{x}$
On sait que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$
On peut ainsi dire que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe $scr{C}$ .

3. a) Montrons que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \dfrac{-2 + \ln x}{x^2}$ :
La fonction $f$ est dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [.
$f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec u et v deux fonctions définies et dérivables sur ]0 ; + $\infty$ [ :
$u(x) = 1 - \ln(x)$ et $v(x) = x$
alors on a $u'(x) = - \dfrac{1}{x}$ et $v'(x) = 1$
D'où : $\left(f' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\right)$
pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = \dfrac{-\frac1x \times x - (1 - \ln(x))}{x^2} = \dfrac{-1 - 1 + \ln x}{x^2} = \dfrac{-2 + \ln(x)}{x^2}$

3. b) Etudions le signe de -2 + ln $x$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ :
$-2 + \ln x \geq 0 \Longleftrightarrow \ln x \geq 2 \Longleftrightarrow x \geq e^2$
D'où : -2 + ln( $x$ ) < 0 si 0 < $x$ < e²,
-2 + ln( $x$ ) = 0 si $x$ = e²,
et -2 + ln( $x$ ) > 0 si $x$ > e².

Déduisons-en le signe de $f'$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ :
On en déduit alors que :
$f'(x) < 0 \text{ si } x \in ]0 ; e^2[\\ f'(x) = 0 \text{ si } x = e^2\\ f'(x) > 0 \text{ si } x \in ]e^2 ; +\infty[$

3. c) Dressons le tableau de variations de la fonction $f$ :
De la question précédente, on en déduit que $f$ est croissante sur [e² ; + $\infty$ [ et décroissante sur ]0 ; e²].
On a : $f(e^2) = \dfrac{1 - \ln(e^2)}{e^2} = \dfrac{1 - 2}{e^2} = \dfrac{-1}{e^2} = -e^{-2}$

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & 0 & & & e^2 & & & +\infty\\ \hline \text{signe de } f'(x) &|| & - & & 0 & & + \\ \hline \; &|| & +\infty & & & & & 0\\ \text{variations de } f &|| & & \searrow & & & \nearrow & & \\ \; &|| & & & -e^{-2} & & & \\ \hline \end{array}$

4. Déterminons les coordonnées du point I :
I appartient à l'axe des abscisses, son ordonnée est donc nulle. De plus I appartient à la courbe $\scrC$ . Nous devons donc résoudre l'équation $f(x) = 0$
ce qui équivaut à : $1 - \ln(x) = 0$ ce qui donne comme unique solution : $x$ = e.
D'où : I a pour coordonnées (e ; 0).

5. Déterminons une équation de la droite $\mathscr{T}$ :
Une équation de la tangente $\scrT$ à la courbe $scr{C}$ au point d'abscisse 1 est : y = $f'(1)(x - 1) + f(1)$ .
Or, $f'(1) = \dfrac{-2 + \ln 1}{1^2} = -2$ et $f(1) = \dfrac{1 - \ln 1}{1} = 1$
D'où : une équation de la droite $\scr{T}$ est y = $-2(x - 1) + 1 = -2x + 3$ .

6. Traçons, dans le repère $(O ; \vec{i}, \vec{j})$ , la courbe $\mathscr{C}$ et la droite $\mathscr{T}$ :

sujet national du bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2006 : image 2

Partie B

1. a) Calculons $g'(x)$ :
La fonction g est dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [ et poour tout réel $x$ strictement positif,
$g'(x) = 2\left(\ln x\right) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{2 \times ln(x)}{x}$

1. b) Déduisons-en une primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ :
On peut en déduire qu'une primitive de la fonction $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ est $\dfrac12 \left(\ln(x)\right)^2$
car : $\left(\dfrac{1}{2} \left(\ln x\right)^2\right)' = \left(\dfrac{1}{2} g(x)\right)' = \dfrac{1}{2} g'(x) = \dfrac12 \times \dfrac{2 \ln x}{x} = \dfrac{ln x}{x}$ .

2. a) Calculons J :
$\text{J} = \displaystyle \int_1^e f(x) \text{d}x\\ \text{J} = \displaystyle \int_1^{e} \dfrac{1 - \ln(x)}{x} \text{d}x\\ \text{J} = \displaystyle \int_1^{e} \dfrac{1}{x} \text{d}x - \int_1^{e}\dfrac{\ln(x)}{x}\right) \text{d}x \\ \text{J} = \left[\ln(x)\right]_1^e - \left[\dfrac{1}{2} ln(x)\right]^2]_1^e \\ \text{J} = \ln e - \ln 1 - \left(\dfrac12(\ln e\right)^2 - \dfrac12 \left(\ln 1\right)^2\right) \\ \text{J} = 1 - 0 - \left(\dfrac{1}{2} - 0\right)\\ \text{J} = \dfrac{1}{2}$

2. b) Interprétons graphiquement l'intégrale J :
L'intégrale J correspond à l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe $scr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x$ = 1 et $x$ = e.
cf graphique (hachures vertes)

Publié par Cel/Puisea le 09-08-2006

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