Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2006
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures
5 points exercice 1
Partie A
Pour tout nombre complexe z, on note P(z) = z
3 - 4z² + 8z - 8.
1. Calculer P(2).
Vérifier que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut s'écrire sous la forme P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4).
2. Résoudre, dans l'ensemble

des nombres complexes, l'équation z² - 2z + 4 = 0.
En déduire les solutions, dans l'ensemble

des nombres complexes, de l'équation P(z) = 0.
Partie B
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal
)
(unité graphique : 2 cm).
On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
a = 2 b = 1 + i
c = 1 - i
1. a) Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
b) Démontrer que les points A, B et C sont sur un même cercle

de centre O.
c) Construire le cercle

.
2. Déterminer un argument du nombre complexe b. En déduire une mesure de l'angle
)
.
Quelle est la nature du triangle OAB ?
5 points exercice 2
Au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est 1013 hectopascal.
Dans cet exercice, on admet que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m.
Pour tout entier naturel n, on note P
n la pression, exprimée en hectopascal, à l'altitude 100n, exprimée en mètres.
Soit (P
n) la suite numérique des valeurs prises par cette pression atmosphérique.
On a alors P
0 = 1013.
1. Calculer les pressions P
1 et P
2, arrondies à l'unité, aux altitudes 100 et 200.
2. a) Exprimer P
n+1 en fonction de P
n.
b) En déduire la nature de la suite (P
n). Préciser sa raison et son premier terme.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n, P
n = 1013 × 0,9875
n.
3. Calculer la pression atmosphérique, arrondie à l'unité, à l'altitude 3200.
4. Calculer à partir de quelle altitude, à 100 m près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal.
10 points probleme
Partie A
On considère la fonction

définie sur l'intervalle ]0 ; +

[ par
 = \dfrac{1 - \ln x}{x})
.
On note

la courbe représentative de

dans un repère orthogonal
)
.
1. Déterminer la limite de

en 0. Interpréter graphiquement le résultat.
2. En remarquant que, pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle ]0 ; +

[,
)
est égal à

, déterminer la limite de la fonction

en +

.
Interpréter graphiquement le résultat.
3. a) On note

la fonction dérivée de la fonction

sur l'intervalle ]0 ; +

[.
Montrer que, pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle ]0 ; +

[,
 = \dfrac{-2 + \ln x}{x^2})
.
b) Etudier le signe de

sur l'intervalle ]0 ; +

[.
En déduire le signe de

sur l'intervalle ]0 ; +

[.
c) Dresser le tableau de variation de la fonction

.
4. On note I le point d'intersection de la courbe

et de l'axe
)
.
Déterminer les coordonnées du point I.
5. On note

la tangente à la courbe

au point A d'abscisse 1.
Déterminer une équation de la droite

.
6. Sur la feuille de papier millimétré, tracer, dans le repère
)
, la courbe

et la droite

.
On prendra 1 cm pour unité graphique sur l'axe
)
et 5 cm pour unité graphique sur l'axe
)
.
Partie B
1. a) On considère la fonction g définie sur ]0 ; +

[ par
 = (\ln x)^2)
.
On note g ' la fonction dérivée de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +

[.
Calculer
)
.
b) En déduire une primitive de la fonction

sur l'intervalle ]0 ; +

[.
2. a) Calculer J =
 \text{d}x)
, où

est la fonction définie dans la partie A.
b) Interpréter graphiquement l'intégrale J.
exercice 1
Partie A
1. Calculons P(2) :
P(2) = 2³ - 4 × 2² + 8 × 2 - 8 = 8 - 16 + 16 - 8 = 0
On en déduit que 2 est une racine du polynôme P.
Vérifions que, pour tout nombre complexe z, P(z) peut sécrire sous la forme P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4) :
Pour tout nombre complexe z,
(z - 2)(z² - 2z + 4) = s³ - 2z² + 4z - 2z² + 4z - 8 = z³ - 4z² + 8z - 8 = P(z).
D'où : pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4).
Remarque : on aurait pu démontrer ce résultat :
Comme 2 est une racine du polynôme P, alors pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(az² + bz + c), avec a, b et c des constantes réelles.
Ce qui équivaut à : P(z) = az³ + z²(b - 2a) + z(c - 2b) - 2c
Ainsi par identification on a :
D'où : pour tout nombre complexe z, P(z) = (z - 2)(z² - 2z + 4)
2. Résolvons, dans l'ensemble
des nombres complexes, l'équation z² - 2z + 4 = 0 :
z² - 2z + 4 = 0

= 4 - 16 = -12 = 12i²
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées :
Déduisons-en les solutions, dans l'ensemble
des nombres complexes, de l'équation P(z) = 0 :
P(z) = 0

(z - 2)(z² - 2z + 4) = 0

z - 2 = 0 ou z² - 2z + 4 = 0
On en déduit que les solutions de l'équation P(z) = 0 sont 2 ;

.
Partie B
1. a) Plaçons les points A, B et C dans le plan complexe :
1. b) Démontrons que les points A, B et C sont sur un même cercle
de centre O :
OA = |a| =

= 2
OB = |b| =

= 2
OC = |c| =
^2} = \sqrt{1 + 3})
= 2
Comme OA = OB = OC, alors les points A, B et C sont bien sur un même cercle

de centre O et de rayon 2.
1. c) Construisons le cercle
:
cf graphique
2. Déterminons un argument du nombre complexe b :
Soit

un argument du nombre complexe b. Alors on a :
Or, |b| = 2, donc

.
On en déduit alors que

est un argument du nombre complexe b.
Déduisons-en une mesure de l'angle
:
Comme A est sur l'axe des abscisses, alors arg(a) = 0 (2

).
Donc
 = \dfrac{\pi}{3} \left(2\pi\right))
.
D'où :

est une mesure de l'angle
Déterminons la nature du triangle OAB :
On sait que OA = OB et que
 = \dfrac{\pi}{3})
.
On en déduit que le triangle OAB est équilatéral.
exercice 2
1. Calculons les pressions P1 et P2 :
On sait qu'au niveau de la mer (altitude 0), la pression atmosphérique est 1 013 hectopascal. On sait également que la pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m, donc :
P
1 = P
0 - P
0 ×

=
)
P
0 = 0,9875 P
0 = 0,9875 × 1013
Donc : P
1 
1000
La pression atmosphérique à l'altitude 100 m est d'environ 1000 hectopascal.
P
2 =
 \times P_1)
= 0,9875 × P
1 = 0,9875 × 1 000
Donc : P
2 
988
La pression atmosphérique à l'altitude 200 m est d'environ 988 hectopascal.
2. a) Exprimer Pn+1 en fonction de Pn :
La pression atmosphérique diminue de 1,25 % à chaque élévation de 100 m, donc :
P
n+1 =

= (1 - 0,0125)P
n = 0,9875 P
n.
2. b) Déduisons-en la nature de la suite (Pn) :
D'après la question précédente, on en déduit que (P
n) est une suite géométrique de raison q = 0,9875. Son premier terme est P
0 = 1013.
2. c) Déduisons-en que, pour tout entier naturel n, Pn = 1013 × 0,9875n :
(P
n) est une suite géométrique de raison 0,9875 et de premier terme P
0 = 1013, donc pour tout entier naturel n, P
n = P
0 × q
n = 1013 × 0,9875
n
3. Calculons la pression atmosphérique à l'altitude 3200 :
La pression atmosphérique à l'altitude 3 200 = 32 × 100 est donnée pat P
32.
Or, P
32 = 1013 × 0,9875
32 
677
D'où : la pression atmosphérique à l'altitude 3200 est d'environ 677 hectopascal.
4. Calculons à partir de quelle altitude, à 100 m près, la pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal :
La pression atmosphérique devient inférieure à 600 hectopascal à partir de 4 200 mètres (à 100 mètres près).
probleme
Partie A
1. Déterminons la limite de
en 0 :

, donc
Et

, donc
D'où
On peut ainsi dire que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe

.
2. Déterminons la limite de la fonction
en +
:
Pour tout nombre réel

appartenant à l'intervalle ]0 ; +

[,
On sait que

et que
D'où :
On peut ainsi dire que l'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe

.
3. a) Montrons que, pour tout nombre réel
appartenant à l'intervalle ]0 ; +
[,
:
La fonction

est dérivable sur ]0 ; +

[.

est de la forme

avec u et v deux fonctions définies et dérivables sur ]0 ; +

[ :
 = 1 - \ln(x))
et
alors on a
 = - \dfrac{1}{x})
et
D'où :
pour tout réel

strictement positif,
3. b) Etudions le signe de -2 + ln
sur l'intervalle ]0 ; +
[ :
D'où : -2 + ln(

) < 0 si 0 <

< e²,
-2 + ln(

) = 0 si

= e²,
et -2 + ln(

) > 0 si

> e².
Déduisons-en le signe de
sur l'intervalle ]0 ; +
[ :
On en déduit alors que :
3. c) Dressons le tableau de variations de la fonction
:
De la question précédente, on en déduit que

est croissante sur [e² ; +

[ et décroissante sur ]0 ; e²].
On a :
4. Déterminons les coordonnées du point I :
I appartient à l'axe des abscisses, son ordonnée est donc nulle. De plus I appartient à la courbe

. Nous devons donc résoudre l'équation
ce qui équivaut à :
 = 0)
ce qui donne comme unique solution :

= e.
D'où : I a pour coordonnées (e ; 0).
5. Déterminons une équation de la droite
:
Une équation de la tangente

à la courbe

au point d'abscisse 1 est : y =
(x - 1) + f(1))
.
Or,
 = \dfrac{-2 + \ln 1}{1^2} = -2)
et
D'où : une équation de la droite

est y =
 + 1 = -2x + 3)
.
6. Traçons, dans le repère
, la courbe
et la droite
:
Partie B
1. a) Calculons
:
La fonction g est dérivable sur ]0 ; +

[ et poour tout réel

strictement positif,
1. b) Déduisons-en une primitive de la fonction
sur l'intervalle ]0 ; +
[ :
On peut en déduire qu'une primitive de la fonction

est
car :
^2\right)' = \left(\dfrac{1}{2} g(x)\right)' = \dfrac{1}{2} g'(x) = \dfrac12 \times \dfrac{2 \ln x}{x} = \dfrac{ln x}{x})
.
2. a) Calculons J :
2. b) Interprétons graphiquement l'intégrale J :
L'intégrale J correspond à l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise entre la courbe

, l'axe des abscisses et les droites d'équations

= 1 et

= e.
cf graphique (hachures vertes)