Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2006

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La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4     Durée : 4 heures
4 points

exercice 1

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.
Sur chacune d'elles est inscrit un nombre comme l'indique le tableau ci-dessous :

Nombre inscrit 1 2 5 10
Nombre de boules 4 3 2 1


Un joueur mise 4 euros, tire une boule au hasard et reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

1. Le joueur effectue un tirage.
On appelle p1 la probabilité pour qu'il perde (c'est-à-dire qu'il reçoive moins de 4 euros) et p2 la probabilité pour qu'il gagne (c'est-à-dire qu'il reçoive plus de 4 euros).
Calculer p1 et p2.

2. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le " gain " du joueur (positif s'il gagne, négatif s'il perd).
    a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire X ?
    b) Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.
    c) Calculer son espérance mathématique E(X).

3. Un jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0.
On décide de changer le nombre inscrit sur une boule portant le nombre 1.
Quel nombre doit-on y inscrire pour que le jeu soit équitable ?


6 points

exercice 2

Le plan \mathscr{P} est rapporté à un repère orthonormal (O ; \vec{u}, \vec{v}). (unité graphique 1 cm).
On considère un polynôme P défini par P(z) = z3 - 2z2 + 16 où z est une variable complexe.

1. a) Déterminer les nombres complexes a, b et c tels que P(z) = (z + 2)(az² + bz + c).
    b) Résoudre dans \mathbb{C} l'équation P(z) = 0.

2. On considère les points A et B d'affixes respectives :
zA = 2 - 2i     et     zB = 2 + 2i

    a) Ecrire sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres zA et zB.
    b) Placer dans le plan \mathscr{P} les points A et B.
    c) Quelle est la nature du triangle OAB ?

3. On considère la transformation T du plan \mathscr{P dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z associe le point M ' d'affixe z ' tel que z ' = e^{i\frac{\pi}{3}}z.
    a) Caractériser géométriquement la transformation T.
    b) Déterminer sous forme trigonométrique et sous forme algébrique l'affixe du point A' image de A par la transformation T.
    c) En déduire les valeurs exactes de \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) et \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right).


10 points

probleme

On considère la courbe \mathscr{C} représentant la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = (x + 1)^2e^{-x} dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; \vec{i}, \vec{j}). (unité graphique 2 cm).

Partie A

1. a) Déterminer la limite de la fonction f en -\infty.
    b) Montrer que si x est différent de zéro on a : f(x) = x^2 e^{-x} \left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)
En déduire la limite de la fonction f en +\infty. Interpréter graphiquement ce résultat.

2. a) Montrer que f'(x) = (1 -x^2)e^{-x}.
    b) Etudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variation de la fonction f sur \mathbb{R}.

3. Déterminer une équation de la tangente \mathscr{T} à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 0.

4. Etude de la position \mathscr{C} par rapport à \mathscr{T}.
    a) Montrer que pour tout réel x on a :
f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-x} . g(x) \hspace{10pt} \text{avec } g(x) = x + 1 - e^x

    b) Calculer g '(x) et étudier son signe.
    c) Dresser le tableau de variations de la fonction g.
    d) En déduire le signe de g(x), puis de f(x) - (x + 1).
    e) En déduire la position de \mathscr{C} par rapport à \mathscr{T}.

5. Après avoir complété le tableau de valeurs ci-dessous, tracer \mathscr{T} et \mathscr{C} dans le repère (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}).
Donner les valeurs de f(x) arrondies à 10-2 près.

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 6
f(x)                    


Partie B

1. Montrer que la fonction F définie par F(x) = (-x^2 - 4x - 5)e^{-x} est une primitive de la fonction f.

2. Calculer l'aire en cm² de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe \mathscr{C} et la droite d'équation x = 3.
Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à 10-2 près.






exercice 1

1. Calculons p1 et p2 :
Le joueur perd s'il reçoit moins de quatre euros : il tire donc soit une boule numéro 1 (avec une probabilité de \dfrac{4}{10} = 0,4), soit une boule numéro 2 (avec une probabilité de \dfrac{3}{10} = 0,3).
On en conclut que la probabilité que le joueur perde est p1 = 0,4 + 0,3 = 0,7.

Le joueur gagne s'il reçoit plus de quatre euros : il tire donc soit une boule numéro 5 (avec une probabilité de \dfrac{2}{10} = 0,2), soit une boule numéro 10 (avec une probabilité de \dfrac{1}{10} = 0,1).
On en conclut que la probabilité que le joueur gagne est p2 = 0,2 + 0,1 = 0,3.

2. a) X est la variable aléatoire qui, à chaque tirage, fait correspondre le gain du joueur.
Le joueur mise 4 euros, s'il tire la boule numéro 1, il perd alors 3 euros. Le gain est alors de -3.
Les valeurs prises par X sont {-3 ; -2 ; 1 ; 6}.

2. b) Présentons la loi de probabilité de X dans un tableau :

x_i -3 -2 1 6
p(X = x_i) 0,4 0,3 0,2 0,1


2. c) Calculons son espérance mathématique E(X) :
E(X) = x_1 \times p(X = x_1) + x_2 \times p(X = x_2) + x_3 \times p(X = x_3) + x_4 \times p(X = x_4)
E(X) = -3 × 0,4 + (-2) × 0,3 + 1 × 0,2 + 6 × 0,1
D'où : E(X) = -1

3. Déterminons le nombre que l'on doit y inscrire pour que le jeu soit équitable :
x_i -3 -2 1 6 x - 4
p(X = x_i) 0,3 0,3 0,2 0,1 0,1


On a alors : E(X) = -3 × 0,3 + (-2) × 0,3 + 1 × 0,2 + 6 × 0,1 + (x - 4) × 0,1
E(X) = -0,9 - 0,6 + 0,2 + 0,6 + 0,1x - 0,4
E(x) = 0,1x - 1,1

Le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0
si et seulement si 0,1x - 1,1 = 0
si et seulement si 0,1x = 1,1
si et seulement si x = \dfrac{1,1}{0,1}
si et seulement si x = 11
On doit donc inscrire la valeur 11 sur la boule pour que le jeu soit équitable.




exercice 2

1. a) Déterminons les nombres complexes a, c et c tels que P(z) = (z + 2)(az² + bz + c) :
Pour tout nombre complexe z, on a :
P(z) = (z + 2)(az² + bz + c) = az3 + bz² + cz + 2az² + 2bz + 2c
P(z) = az3 + (b + 2a)z² + (2b + c)z + 2c
Or, P(z) = z3 - 2z² + 16
Ainsi, par identification, on obtient :
\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {a  &  1\\ b + 2a & -2\\ 2b + c & 0 \\  2c  &  16  \\ \end{array} \right. \\ \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} {a & 1\\ b& -2 - 2a & -4 \\  c & 8 \\ \end{array} \right.
D'où : P(z) = (z + 2)(z² - 4z + 8)

1. b) Résolvons dans \mathbb{C} l'équation P(z) = 0 :
Un produit de facteur est nul si au moins un des facteurs est nul
P(z) = 0 équivaut à z - 2 = 0 ou z² - 4z + 8 = 0
La solution de la première équation est 2.
Pour la deuxième équation, calculons le discriminant :
\Delta = (-4)² - 4 × 1 × 8 = 16 - 32 = -16 = 16i²
L'équation admet donc deux racines complexes conjuguées : z_1 = \dfrac{4 - 4i}{2} = 2 - 2i \hspace{20pt} z_2 = \dfrac{4 + 4i}{2} = 2 + 2i
Les solutions de l'équation sont : \mathscr{S} = {2; 2 - 2i ; 2 + 2i}

2. a) Ecrivons sous forme trigonométrique puis sous forme exponentielle les nombres zA et zB :
|zA| = |2 - 2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}
Un argument de zA est donné par :
\left \lbrace \begin{array}{l} \cos \theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}  \\  \sin \theta  =  \dfrac{-2}{2\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = - \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{array} \right.
Donc un argument de zA est -\dfrac{\pi}{4}
D'où : zA = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}.

|zB| = |2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}
Un argument de zB est donné par :
\left \lbrace \begin{array}{l} \cos \theta' = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin \theta' = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \end{array} \right.
Donc un argument de zA est \dfrac{\pi}{4}.
D'où : zB = 2\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right) = 2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}.

2. b) Plaçons dans le plan \mathscr{P} les points A et B :
sujet national du bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels 2006 : image 1


2. c) Nature du triangle OAB :
On a : OA = |zA| = 2\sqrt{2} et OB = |zB| = 2\sqrt{2}, donc OA = OB.
Le triangle OAB est isocèle en O.

De plus,
(\overrightarrow{\text{OA}}, \overrightarrow{\text{OB}}) = \arg \dfrac{z_B - Z_0}{z_A - z_0} \left(2\pi\right)\\ = \arg \dfrac{e^{i\frac{\pi}{4}}}{e^{-\frac{\pi}{4}}} \left(2\pi\right)\\ = \arg e^{i\frac{\pi}{4} + i\frac{\pi}{4}}\left(2\pi\right) \\ = \arg e^{i\frac{\pi}{2}} \left(2\pi\right)\\ = \dfrac{\pi}{2} \left(2\pi\right)
On en déduit alors que le triangle OAB est rectangle en O.
D'où : OAB est un triangle rectangle et isocèle en O.

3. a) Caractérisons géométriquement la transformation T :
La transformation T est la rotation de centre O et d'angle \dfrac{\pi}{3}.

3. b) Déterminons sous forme trigonométrique l'affixe du point A' :
zA' = e^{i\frac{\pi}{3}} \times z_A = e^{i\frac{\pi}{3}} \times 2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{3} - i\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2} e^{i\left(\frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12}\right)} = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{12}}
D'où : zA' = 2\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{12}}.

   Déterminons sous forme algébrique l'affixe du point A' :
zA' = e^{i\frac{\pi}{3}} \times z_A = \left(\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)\left(2 - 2i\right) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\right)\left(2 - 2i\right) = \sqrt{3} - i\sqrt{3} + 2i - i^2 = 1 + \sqrt{3} + i(1 - \sqrt{3})

3. c) Déduisons en les valeurs de \cos \left(\frac{\pi}{12}\right) et \sin \left(\frac{\pi}{12}\right) :
De la question précédente, on en déduit que :
zA' = 2\sqrt{2}\left(\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right) = \sqrt{3} + 1 + (\sqrt{3} - 1)i
Donc :
\cos(\dfrac{\pi}{12}) = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\left(1 + \sqrt{3}\right) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
et \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\left(1 - \sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}




probleme

Partie A

1. a) Déterminons la limite de la fonction f en -\infty :
\displaystyle \lim_{x\to -\infty} (x + 1)^2 = +\infty \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{-x} = + \infty
Donc : \displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty

1. b) Montrons que si x est différent de zéro, on a : f(x) = x^2e^{-x}\left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) :
Pour tout réel x différent de zéro,
f(x) = (x + 1)^2e^{-x} = (x^2 + 2x + 1)e^{-x} = x^2e^{-x}\left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right).

   Déduisons-en la limite de la fonction f en +\infty :
On a :
\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{2}{x} = 0 \text{ et } \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^2} = 0, donc \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \left(1 + \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right) = 1.
Et : \displaystyle \lim_{x\to +\infty} x^2e^{-x} = \displaystyle \lim_{x \to -\infty} (-x)^2e^{x} = 0
D'où : \displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 0
On en déduit que l'axe des abscisses est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction f au voisinage de +\infty.

2. a) Montrons que f'(x) = (1 - x^2)e^{-x} :
f est dérivable sur \mathbb{R}. Elle est de la forme uv, avec :
u(x) = (x + 1)^2 et v(x) = e^{-x}. u et v sont deux fonctions dérivables sur \mathbb{R} et on a :
u'(x) = 2x + 2 et v'(x) = -e^{-x}
D'où, pour tout réel x,
f'(x) = (2x + 2)e^{-x} - (x + 1)^2e^{-x} = (2 x + 2 - (x + 1)^2)e^{-x}\\ f'(x) = (2x + 2 - x^2 - 2x - 1)e^{-x} = (1 - x^2)e^{-x}

2. b) Etudions le signe de f'(x) :
Pour tout réel x, e^{-x} > 0, donc f'(x) est du signe de (1 - x^2).
Or, (1 - x^2) = (1 - x)(1 + x) s'annule en 1 et -1, est négatif sur ]-\infty ; -1] et sur [1 ; +\infty[ et est positif sur [-1 ; 1].
D'où : f'(x) est négative sur ]-\infty ; -1] et sur [1 ; +\infty[ et est positive sur [-1 ; 1].

Tableau de variation de la fonction f sur \mathbb{R} :
On a f(-1) = (-1 + 1)²e-(-1)) = 0 et f(1) = (1 + 1)²e-1 = 4e-1

\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline  x & -\infty & & -1 & & 1 & & +\infty\\  \hline \text{signe de} f'(x) & & - & 0 & + & 0 & - & \\  \hline \hspace{1pt} & +\infty & & & &4e^{-1} &  & & \\ \text{variation de } f(x) & & \searrow & & \nearrow & & \searrow &  \\ \hspace{1pt}& & & 0& & & & 0 \\ \hline  \end{array}

3. Déterminons une équation de la tangente \mathscr{T} à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 0 :
Une équation de la tangente \mathscr{T} à la courbe \mathscr{C} au point d'abscisse 0 est : y = f'(0)(x - 0) + f(0).
Or, f'(0) = (1 - 0²)e-0 = 1 et f(0) = (0 + 1)e0 = 1.
D'où : y = 1 \times (x - 0) + 1 = x + 1

4. a) Montrons que pour tout réel x on a : f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-x} . g(x) \hspace{10pt} \text{avec } g(x) = x + 1 - e^x :
Pour tout réel x, on a :
f(x) - (x + 1) = (x + 1)^2e^{-x} - (x + 1)\\ f(x) - (x + 1) = (x + 1)[(x + 1)e^{-x} - 1]\\ f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-x}(x + 1 - e^x)
f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-x}g(x) (avec g(x) = x + 1 - e^x

4. b) Calculons g'(x) :
La fonction g est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
g'(x) = 1 - e^x

Etudions le signe de g'(x) :
g'(x) > 0 \Longleftrightarrow 1 - e^x > 0\\ \Longleftrightarrow -e^x > -1\\ \Longleftrightarrow e^x < 1\\ \Longleftrightarrow x < \ln 1 \text{ car la fonction ln est strictement croissante sur } ]0 ; \infty[\\ \Longleftrightarrow x < 0
Donc : g'(x) > 0 sur ]-\infty ; 0[, g'(x) < 0 sur ]0 ; +\infty[ et g(0) = 0.

4. c) Dressons le tableau de variations de la fonction g :
De la question précédente, on en déduit que g est croissante sur ]-\infty ; 0] et décroissante sur [0 ; +\infty[.
g(0) = 0

\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x & -\infty & & & 0 & & & +\infty \\ \hline  \text{signe de g' }&&+&&0&&-\\ \hline  \hspace{1pt}&&&&0&&& \\  \text{ variation de g } && \nearrow & & & & \searrow & &\\ \hspace{1pt}&&&&&&& \\  \hline  \end{array}

4. d) D'après le tableau de variations précédent, la fonction g admet un maximum sur \mathbb{R}. Ce maximum est atteint en 0 et vaut 0.
Donc, pour tout réel x, g(x) \leq  0.

Déduisons-en le signe de f(x) -(x + 1) :
Pour tout réel x, on a : f(x) - (x + 1) = (x + 1)e^{-x} \, g(x)
Or, pour tout réel x, e^{-x} > 0 et g(x) \leq 0.
et x + 1 > 0 \Longleftrightarrow x > -1.
Etudions le signe de f(x) - (x + 1) :
\begin{array}{|l|lcccccr|}  \hline   x&-\infty&&-1&&0&&+\infty\\ \hline   x + 1&&-&0&+&&+& \\ \hline    e^{-x}&&+&&+&&+& \\ \hline  g(x)&&-&&-&0&-& \\ \hline  f(x) - (x + 1) &&+&0&-&0&-& \\ \hline \end{array}

D'où : f(x) - (x + 1) > 0 sur ]-\infty ; -1[,
f(x) - (x + 1) < 0 sur ]-1 ; 0[ ou sur ]0 ; +\infty[
et f(x) - (x + 1) = 0 en -1 et 0.

4. e) Déduisons-en la position de \mathscr{C} par rapport à \mathscr{T} :
f(x) - (x + 1) > 0 sur ]-\infty ; -1[, donc \mathscr{C} est au-dessus de \mathscr{T} sur ]-\infty ; -1[,
f(x) - (x + 1) < 0 sur ]-1 ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[, donc \mathscr{C} est en-dessous de \mathscr{T} sur ]-1 ; 0[ \cup ]0 ; +\infty[,
\mathscr{T} et \mathscr{C} se coupent aux points d'abscisse -1 et 0.

5. Complétons le tableau :
x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2 3 4 6
f(x) 7,39 0 0,41 1 1,36 1,47 1,22 0,80 0,46 0,12


    Traçons \mathscr{C} et \mathscr{T} dans le repère (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) :

sujet national du bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels 2006 : image 2


Partie B

1. Montrons que la fonction F est une primitive de la fonction f :
Pour tout réel x, F(x) est dérivable.
F(x) = (-x^2 - 4x - 5)e^{-x}
On pose :
u(x) = -x^2 - 4x - 5. u est dérivable sur \mathbb{R} et u'(x) = -2x - 4
et v(x) = e^{-x}. v est dérivable sur \mathbb{R} et v'(x) = -e^{-x}
Donc : F'(x) = (x^2 + 4x + 5)e^{-x} + (-2x - 4)e^{-x} \\ F'(x) = e^{-x}(x^2 + 4x + 5 - 2x - 4) = e^{-x}(x^2 + 2x + 1)\\ F'(x) = f(x)
D'où : F est une primitive de f.

2. Calculons l'aire en cm² de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe \mathscr{C} et la droite d'équation x = 3 :
Sur [0 ; 3], f(x) \geq 0, donc l'aire cherchée est donnée par :
\displaystyle \int_0^{3} f(x) dx = [F(x)]_0^3 \\ = [(-x^2 - 4x - 5)e^{-x}]_0^3\\ = (-3^2 - 4 \times 3 - 5)e^{-3} - (-0^2 - 4 \times 0 - 5)e^{-0}\\ = -26e^{-3} + 5
Donc :\displaystyle \int_0^{3} f(x) dx = -26e^{-3} + 5 \text{u.a.}
Or, 1 u.a. = 2 × 2 cm² = 4 cm²,
donc l'aire en cm² de la région du plan comprise entre les axes de coordonnées, la courbe \mathscr{C} et la droite d'équation x = 3 est égale à 4(-26e-3 + 5) = -104e-3 + 20 cm², soit environ 14,82 cm² à 10-2 près.
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