Fiche de mathématiques

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Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Tertiaires - Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion - Pondichéry

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Le tableau suivant donne l'évolution du SMIC mensuel brut pour 169 heures de travail.
Les montants sont donnés en euros pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004, en francs pour les autres années.

Année	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année : $x$	0	1	2	3	4	5	6	7
Montant du SMIC en francs	6663,67	6797,18	6881,68	7101,38
Montant du SMIC en euros : y	....	....	....	....	1127	1154	1215	1286

(Données INSEE)

(Données INSEE)
Rappel : 1 euro = 6,55957 francs

1. A l'aide de la calculatrice, déterminer les montants du SMIC mensuel en euros arrondis à l'unité pour les années 1997, 1998, 1999 et 2000 et compléter le tableau.

2. Sur la feuille de papier millimétré fournie, représenter dans un repère orthogonal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ du plan, le nuage des points de coordonnées $(x; y)$ . On prendra comme unités graphiques :
    2 cm pour une année en abscisse en commençant au rang 0 ;
    1 cm pour 20 euros en ordonnées en commençant la graduation à 900.

3. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique précédent.

4. On considère la droite $\mathscr{D}$ passant par G et de coefficient directeur 37,5 et réalisant un ajustement affine du nuage précédent.
    a) Déterminer l'équation réduite de la droite $\mathscr{D}$ .
    b) Tracer cette droite sur le graphique.
    c) Déterminer graphiquement une estimation du SMIC mensuel pour l'année 2006.
On fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture.
    d) Retrouver, par le calcul, le résultat précédent. 4 points

exercice 2

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte. On ne demande aucune justification.
Chaque bonne réponse rapporte 1 point. Chaque réponse fausse retire 0,5 point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

1. Soit a et b deux réels ; e^{a + b} est égal à :

A	B	C	D
e^a + e^b	e^a × e^b	ae^b	(e^a)^b

2. Soit $(u_n)_{n \in \math{N}$ la suite géométrique de premier terme u₀ = -2 et de raison $\frac12$ ; u_n est égal à :

A	B	C	D
$-\left(\frac12\right)^{n-1}$	$\left(-2 \times \frac12\right)^n$	$-2 + \frac{n}{2}$	$\left(-\frac12\right)^{n-1}$

3. Soit h la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (2x + 1)e^{-2x}$ ; sa fonction dérivée est définie par h' ou h' $(x)$ est égal à :

A	B	C	D
$(4 - 4x)e^{-2x}$	$-4xe^{-2x}$	$-4e^{-2x}$	$2\left(e^{-x}\right)^2$

4. Soit E et F deux événements d'une même expérience aléatoire. On donne les probabilités suivantes : p(E) = 0,2 ; p(F) = 0,4 et p(E $\cap$ F) = 0,15. On en déduit que p(E $\cup$ F) est égal à :

A	B	C	D
0,75	0,6	0,45	0,15

Problème (11 points)

L'objet du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur ]0; + $\infty$ [ par $f(x) = x - \frac{1}{x} + 2\frac{\ln x}{x}$ et le calcul d'une intégrale.
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ du plan, d'unité graphique 2 cm.

Partie A

Soit la fonction g définie sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [ par :
$\hspace{200pt} g(x) = x^2 + 3 - 2\ln x$

1. Soit g' la fonction dérivée de g.
Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [, $g'(x) = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$ .

2. Etudier le signe de $g'(x)$ et dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [ (les limites aux bornes de cet intervalle ne sont pas demandées).

3. En déduire le signe de g sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [.

Partie B

Etude de la fonction $f$ défiinie sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [ par :
$\hspace{200pt} f(x) = x - \frac{1}{x} + 2\frac{\ln x}{x}$

1. On admet que la limite en 0 de $f$ est - $\infty$ . Que peut-on en déduire graphiquement ?

2. Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ .

3. Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur ]0; + $\small \infty$ [.
a) Montrer que, $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$ où g est la fonction étudiée dans la partie A.
b) En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [.

4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [.

5. Démontrer que la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de + $\small \infty$ .

6. Compléter le tableau de valeurs suivant. On arrondira les valeurs à 0,1 près.

$x$	0,75	1	2	3	4	5	6	7
$f(x)$

7. Tracer $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$ dans le repère $(0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .

Partie C

1. Montrer que la fonction F, définie sur l'intervalle ]0; + $\small \infty$ [ par $F(x) = \frac12 x^2 - \ln x + (\ln x)^2$ , est une primitive de $f$ .

2. En déduire la valeur exacte de l'intégrale I = $\displaystyle \int_1^4 f(x) dx$ .

3. Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

Correction

exercice 1

1. Montants du SMIC mensuel :
pour l'année 1997 :
$\frac{6\,663,67}{6,55957} \approx 1\,016$
pour l'année 1998 :
$\frac{6\,797,18}{6,55957} \approx 1\,036$
pour l'année 1999 :
$\frac{6\,881,68}{6,55957} \approx 1\,049$
pour l'année 2000 :
$\frac{7\,101,38}{6,55957} \approx 1\,083$

Année	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année : $x$	0	1	2	3	4	5	6	7
Montant du SMIC en francs	6663,67	6797,18	6881,68	7101,38
Montant du SMIC en euros : y	1016	1036	1049	1083	1127	1154	1215	1286

sujet du bac STT CG IG Pondichéry 2006 : image 1

3. Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage :
$x_G = \frac{x_0 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7}{8}\\ x_G = \frac{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7}{8}\\ x_G = 3,5\\ \text{ et }\\ y_G = \frac{y_0 + y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 + y_7}{8}\\ y_G = \frac{1\,016 + 1\,036 + 1\,049 + 1\,083 + 1\,127 + 1\,154 + 1\,215 + 1\,286}{8}\\ y_G = \frac{8\,966}{8}\\ y_G = 1\,120,75$
D'où : G(3,5; 1 120,75)

4. a) Déterminons l'équation réduite de la droite $\mathscr{D}$ :
L'équation de la droite est de la forme y = a $x$ + b.
On sait que son coefficient directeur est égal à 37,5, donc y = 37,5 $x$ + b.
De plus, la droite $\mathscr{D}$ passe par le point G de coordonnées (3,5; 1120,75).
Donc : y_G = 37,5 $x_{\text{G}}$ + b, c'est-à-dire :
1120,75 = 37,5 × 3,5 + b
b = 1120,75 - 131,25 = 989,5
D'où : l'équation réduite de la droite $\mathscr{D}$ est y = 37,5 $x$ + 989,5.

4. b) cf graphique

4. c) Estimation graphique du SMIC mensuel pour l'année 2006 :
cf graphique (pointillés rouges)
En 2006, on estime que le SMIC sera de 1327 €.

4. d) Estimation par le calcul du SMIC mensuel pour l'année 2006 :
Le rang de l'année 2006 est $x$ = 9.
On a alors : y = 37,5 × 9 + 989,5 = 1327.
En 2006, on estime que le SMIC mensuel sera de 1327 € (on a retrouvé le résultat de la question précédente).

exercice 2

1. Pour tous réels a et b, on a : e^{a + b} = e^a e^b
Réponse B

2. u_n = u₀qⁿ = $-2 \times \left(\frac12\right)^n = -\frac{2}{2^n} = -\frac{1}{2^{n-1}} = -\left(\frac12\right)^{n-1}$
Réponse A

3. h(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 2x + 1 et v(x) = e^-2x
On a : u'(x) = 2 et v'(x) = -2e^-2x
Rappel : (uv)' = u'v + uv'
Donc : h'(x) = 2e^-2x + (2x + 1)(-2e^-2x) = 2(1 - 2x - 1)e^-2x = -4xe^-2x
Réponse B

4. On a :
p(E $\cup$ F) = p(E) + p(F) - p(E $\cap F$ ) = 0,2 + 0,4 - 0,15 = 0,45
Réponse C

Problème

Partie A

1. Dérivons la fonction g :
g est dérivable sur ]0; $+\infty$ [, et pour tout $x$ de l'intervalle ]0; $+\infty$ [, on a :
$\text{g}'(x) = 2x - 2 \times \frac{1}{x} = \frac{2x^2 - 2}{x} = \frac{2(x^2 - 1)}{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$

2. Etudions le signe de g'( $x$ ) :
Pour tout $x$ de ]0; $+\infty$ [, $\text{g}'(x) = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x}$
Pour tout $x$ de ]0; $+\infty$ [, $2(x + 1) > 0 \text{ et } x > 0$
Donc g'( $x$ ) est du signe de ( $x$ - 1) sur ]0; $+\infty$ [.
D'où : g'( $x$ ) < 0 si $x \in ]0; 1[$ ,
g'( $x$ ) = 0 si $x$ = 1,
g'( $x$ ) > 0 si $x \in ]1; +\infty[$ .

Tableau de variations de g'( $x$ ) :
De ce qui précède, on en déduit que g est décroissante sur ]0; 1] et croissante sur [1; + $\small \infty$ [.

$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&0&&1&&+\infty \\ \hline g'(x)&||&-&0&+&\\ \hline \hspace{1pt} &||&&&& \\ g&||&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt} &||&&4&& \\ \hline \end{array}$
g(1) = 1² + 3 - 2 ln 1 = 4

3. Signe de g sur ]0; $+\infty$ [ :
g est continue sur ]0; $+\infty$ [ et admet un minimumu en 1 qui vaut 4.
Donc : pour tout $x$ , g $(x) \geq$ 4.
D'où : g est strictement positive sur ]0; $+\infty$ [.

Partie B

1. On admet que $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$
On en déduit que la droite d'équation $x$ = 0 est asymptote verticale à la courbe $\mathscr{C}$ .

2. Déterminons la limite de f en $+\infty$ :
$\.\array{rcl$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0 \\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(2\frac{\ln x}{x}\right) = 0}\rbrace \hspace{15pt} \text{donc } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

3. a) Dérivons la fonction f :
f est dérivable sur ]0; $+\infty$ [ et on a :
$f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} + 2\frac{\frac{1}{x}\times x - 1 \times \ln x}{x^2}\\ \hspace{20pt} = 1 + \frac{1}{x^2} + 2\frac{1 - \ln x}{x^2}\\ \hspace{20pt} = \frac{x^2 + 1 + 2 - 2\ln x}{x^2}\\ \hspace{20pt} = \frac{x^2 + 3 - 2\ln x}{x^2}\\ \hspace{20pt} = \frac{g(x)}{x^2}$
D'où : pour tout < $x$ de ]0; $+\infty$ [, $f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}$

3. b) Signe de f'( $x$ ) :
Pour tout $x$ de ]0; $+\infty$ [, $x^2 > 0$ , donc sur ]0; $+\infty$ [, $f'(x)$ est du signe de g( $x$ ).
Or, on a montré (Partie A. 3.) que pour tout $x$ de ]0; $+\infty$ [, g( $x$ ) > 0.
D'où : pour tout $x$ de ]0; $+\infty[, f'(x) > 0$ .
On en déduit que $f$ est strictement croissante sur ]0; $+\infty$ [.

4. Tableau de variations de f :
$\begin{array}{|c|lccr|} \hline x&0&&&+\infty\\ \hline f'&||&&+&\\ \hline \hspace{1pt}&||&&&+\infty\\ f&||&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&||&-\infty&& \\ \hline \end{array}$

5. Démontrons que la droite $\mathscr{D}$ d'équation y = $x$ est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$ :
Pour tout $x$ de ]0; + $\infty$ [,
$f(x) - x = x - \frac{1}{x} + 2\frac{\ln x}{x} - x = -\frac{1}{x} + 2\frac{\ln x}{x}$
Or, $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0 \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \left(2 \frac{\ln x}{x}\right) = 0$
Donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} [f(x) - x] = 0$
D'où : la droite $\mathscr{D}$ est asymptote à $\mathscr{C}$ au voisinage de + $\infty$ .

6.

$x$	0,75	1	2	3	4	5	6	7
$f(x)$	-1,4	0	2,2	3,4	4,4	5,4	6,4	7,4

sujet du bac STT CG IG Pondichéry 2006 : image 2

Partie C

1. Montrons que la fonction F définie sur ]0; $+\infty$ [ est une primitive de la fonction f :
Pour tout $x$ de l'intervalle ]0; + $\infty$ [, on a :
$F'(x) = \frac12 \times 2x - \frac{1}{x} + 2 \times \frac{1}{x} \times \ln x\\ \hspace{20pt} = x - \frac{1}{x} + \frac{2 \ln x}{x}\\ \hspace{20pt} = f(x)$
D'où : F est une primitive de f sur ]0; $+\infty$ [.

2. Valeur exacte de l'intégrale I :
$\text{I} = \displaystyle \int_1^4 f(x) dx = [F(x)]_1^4\\ = F(4) - F(1)\\ = \frac12 \times 4^2 - \ln 4 + (\ln 4)^2 - \left(\frac12 \times 1^2 - \ln 1 + (\ln 1)^2\right)\\ = \frac{16}{2} - \ln 4 + (ln 4)^2 - \frac12\\ = \frac{15}{2} - \ln 4 + (\ln 4)^2$

3. Interprétation graphique de I :
$\displaystyle \int_1^4 f(x) dx$ représente l'aire de la surface comprise entre lesdroites d'équation $x = 1 \text{ et } x = 4$ , l'axe des abscisses et la courbe d'équation y = $f(x)$ .

Publié par Tom_Pascal le 30-11--0001

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