Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Tertiaires
Spécialités : Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion
Polynésie - Session 2006

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans k'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples constitué de cinq questions : chacune comporte trois réponses, une réponse et une seule étant exacte.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur l'annexe en cochant pour chaque question la case correspondant à la réponse proposée. Aucune justification n'est demandée.
La réponse exacte à une question rapporte 1 point ; une réponse fausse à une question (ou une réponse multiple) coûte 0,5 point, l'absence de réponse ne rapporte rien. Si le total de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

Une grande boulangerie propose 500 pains dont la répartition est donnée dans le tableau suivant.

	Nature	Sans sel	Complet	Total
Pain maison	100	40	70	210
Pain de campagne	80	30	50	160
Pain au levain	60	40	30	130
Total	240	110	150	500

1. Le pourcentage de pains maison parmi l'ensemble des pains à vendre est :
a) 20 % b) 42 % c) 35 %

2. Le pourcentage des pains au levain parmi les pains nature est :
a) 36 % b) 12 % c) 25 %

3. Le premier client achète au hasard l'un des pains de la boulangerie, la probabilité pour que ce soit un pain de campagne ou un pain complet est :
a) 0,10 b) 0,52 c) 0,3

4. Un client achète au hasard un pain sans sel, la probabilité que ce soit un pain au levain est :
a) $\frac{13}{50}$ b) $\frac{4}{11}$ c) $\frac{11}{50}$

5. Le prix d'un pain de campagne en 2000 était p₀ euros. Le prix du même pain de campagne en 2006 est p₆ = 1,5 €. Sachant que le prix de ce pain de campagne a augmenté de 4 % par an de 2000 à 2006, p₀ était :
a) 1,17 € b) 1,09 € c) 1,19 €

	a)	b)	c)
1.
2.
3.
4.
5.

Annexe de l'exercice 2 6 points

exercice 2

Un artisan ferronnier doit fabriquer des tables et fauteuils métalliques en volutes pour un grand magasin.

Chaque table nécessite 10 kg de fer, 2 litres de peinture anti-corrosion et demande 3 heures de travail.
Chaque fauteuil nécessite 5 kg de fer, 4 litres de peinture anti-corrosion et demande 4 heures de travail.

Pour cet ouvrage, l'artisan reçoit 100 kg de fer et 36 litres de peinture anti-corrosion.
Les délais imposés font qu'il ne dispose que de 40 heures de travail.

On note $x$ le nombre de tables et y le nombre de fauteuils que l'artisan va réaliser.

1. Montrer que les contraintes de cette situation peuvent être traduites par le système d'inéquations
$(S) \lbrace 2x + y \leq 20 \\ x + 2y \leq 18\\ 3x + 4y \leq 40$ où $x$ et y sont des entiers naturels.

2. Dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , avec 1 cm pour 1 unité sur les deux axes, mettre en évidence l'ensemble des points M( $x$ ; y) du plan, solution du système (S), en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.

3. L'artisan recevra 60 € pour chaque table produite et 40 € pour chaque fauteuil produit.
Soit S le salaire que l'artisan recevra pour la confection de $x$ tables et y fauteuils.
    a) Exprimer S en fonction de $x$ et y.
    b) Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un salaire de 440 € et compléter le graphique précédent en traçant la droite (d).
    c) En justifiant la démarche, déterminer graphiquement le couple d'entiers ( $x$ ; y) qui permettra à l'artisan d'obtenir le meilleur salaire.
Préciser le montant de ce salaire maximum.
A combien s'élève alors son salaire horaire ?

Problème (9 points)

PARTIE A

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
La courbe $(\mathscr{C})$ , donnée en annexe, est la représentation graphique de la fonction $f$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = -x^2 + 10x - 9 - 8\ln x$ .

1. Déterminer la limite de $f$ en 0. Que peut-on en déduire concernant la courbe ?

2. En écrivant $f(x)$ sous la forme $f(x) = x^2 \left(-1 + \frac{10}{x} - \frac{9}{x^2} - \frac{8 \ln x}{x^2}\right)$ , déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ .

3. Démontrer que, pour tout réel $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \frac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ .

4. Etudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

5. Dresser le tableau de variation de $f$ .

6. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs ci-dessous (les résultats seront arrondis à 10^-4).

$x$	6,18	6,19	6,20	6,21
$f(x)$

b) L'équation $f(x)$ = 0 admet deux solutions, 1 et $\alpha$ dans ]0 ; + $\infty$ [. A l'aide de la question précédente, donner sans justification un encadrement à 10^-2 près de $\alpha$ .
c) Placer $\alpha$ sur le graphique de l'annexe.

7. Soit F la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $F(x) = -\frac{x^3}{3} + 5x^2 - x - 8x\ln x$ .
Démontrer que F est une primitive de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

8. Hachurer la partie (P) du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathscr{C})$ et les droites d'équation $x$ = 3 et $x$ = 6, puis donner la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de (P).

PARTIE B - Application économique

Une entreprise doit produire entre 10 et 70 pièces par jour.
On admet que si $x$ est la production journalière en dizaine de pièces alors le bénéfice réalisé en milliers d'euros est $f(x)$ , où $f$ est la fonction étudiée dans les deux premières parties avec $x \in$ [1 ; 7].

1. Déterminer à l'aide de la courbe $(\mathscr{C})$ de l'annexe, la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l'entreprise commence à travailler à perte.
Donner une valeur approchée de cette valeur à 1 près.

2. Par lecture graphique, indiquer la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal.

3. On admet que lorsque l'entreprise produit entre 30 et 60 pièces par jour sur une certaine période, le bénéfice journalier moyen en milliers d'euros est donné par $\frac13 \displaystyle \int_3^6 f(x) \text{d}x$ .
A l'aide de la partie A, déterminer à 1 € près le bénéfice journalier moyen.

sujet du bac STT CG IG Polynésie Française 2006 : image 1

Annexe de l'exercice 2

Voir la correction

exercice 1

1. Il y a 210 pains maison parmi 500 pains à vendre. Cela représente $\frac{210}{500} \times 100 \%$ , c'est-à-dire 42%.
Réponse b)

2. Il y a 60 pains au levain nature parmi 240 pains nature, cela représente $\frac{60}{240} \times 100 \%$ , c'est-à-dire 25%.
Réponse c)

3. On note A l'événement " le pain est de campagne " et B l'événement " le pain est complet ".
La probabilité pour que ce client achète un pain de campagne ou un pain complet est donnée par p(A $\cup$ B).
Or, p(A $\cup$ B) = p(A) + p(B) - p(A $\cap$ B).
Déterminons p(A) : il y a 160 pains de campagne parmi 500 pains, donc p(A) = $\frac{160}{500}$ .
Déterminons p(B) : il y a 150 pains complets parmi 500 pains, donc p(B) = $\frac{150}{500}$ .
Déterminons p(A $\cap$ B) : 50 pains sont de campagne et complet parmi 500 pains, donc p(A $\cap$ B) = $\frac{50}{500}$ .
D'où : p(A $\cup$ B) = $\frac{160}{500} + \frac{150}{500} - \frac{50}{500} = \frac{260}{500} = 0,52$ .
Réponse b)

4. Il y a 40 pains au levain parmi 110 pains sans sel, donc la probabilité pour que ce client achète un pain au levain est $\frac{40}{110} = \frac{4}{11}$ .
Réponse b)

5. Déterminons le prix p₀ d'un pain de campagne en 2000 :
En 2000, le prix du pain de campagne est de p₀ euros.
En 2001, sachant que le prix de ce pain de campagne a augmenté de 4%, il est alors de p₀ + $\frac{4}{100}$ p₀ = 1,04 p₀ euros.
En 2002, le prix de ce pain de campagne augmente de nouveau de 4%, il est alors de : 1,04 × 1,04p₀ = (1,04)²p₀.
On obtient ainsi une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme p₀.
Le prix du pain de campagne en 2006 est alors p₆ = (1,04)⁶p₀.
Or, p₆ = 1,5 euros, donc : (1,04)⁶p₀ = 1,5, soit : p₀ = $\frac{1,5}{(1,04)^6} \approx 1,19$
Le prix p₀ du pain de campagne en 2000 est d'environ 1,19 euros.
Réponse c)

Récapitulatif :

	a)	b)	c)
1.		X
2.			X
3.		X
4.		X
5.			X

exercice 2

1. Montrons que les contraintes de cette situation peuvent être traduites par le système d'inéquations proposé :
Soit $x$ le nombre de tables fabriquées par l'artisan et soit y le nombre de fauteuils fabriqués par l'artisan. Les nombres $x$ et y sont donc des entiers naturels.
L'artisan dispose de 100 kg de fer. Pour fabriquer une table, il a besoin de 10 kg de fer, pour un fauteuil, 5 kg de fer.
On obtient alors l'inéquation suivante : $10x + 5y \leq 100$ , soit $2x + y \leq 20$ (en divisant les deux membres de l'inéquation par 5).
L'artisan dispose de 36 L de peinture anti-corrosion. Pour fabriquer une table, il a besoin de 2 L de cette peinture, pour un fauteuil, de 4 L.
On obtient alors l'inéquation suivante : $2x + 4y \leq 36$ , soit, en divisant les deux membres de l'inéquation par 2 $x + 2y \leq 18$ .
Il dispose de 40 heures de travail. Pour fabriquer une table, il a besoin de 3h, pour un fauteuil, 4 h. On obtient alors l'inéquation suivante : $3x + 4y \leq 40$ .
D'où le système d'inéquations proposé :
$(S) \lbrace 2x + y \leq 20 \\ x + 2y \leq 18\\ 3x + 4y \leq 40$ où $x$ et y sont des entiers naturels.

2. Mettons en évidence l'ensemble des points M( $x$ ; y) du plan, solution du système (S), en hachurant la partie du plan qui ne convient pas :
On va tracer les droites d’équations :
(d₁) : y = -2 $x$ + 20
(d₂) : y = $-\frac12 x + 9$
(d₃) : y = $-\frac34 x + 10$

$2x + y \leq 20$ équivaut à $y \leq -2x + 20$ , donc correspond au demi-plan situé en dessous de la droite (d₁).
$x + 2y \leq 18$ équivaut à $y \leq -\frac12 + 9$ , donc correspond au demi-plan situé en dessous de la droite (d₂).
$3x + 4y \leq 40$ équivaut à $y \leq -\frac34 x + 10$ , donc correspond au demi-plan situé en dessous de la droite (d₃).
On en déduit la région du plan qui correspond au système (en rose sur le graphique ci-dessous).

sujet du bac STT CG IG Polynésie Française 2006 : image 2

3. a) Exprimons S en fonction de $x$ et y :
L'artisan reçoit 60 € pour chaque table produite et 40 € pour chaque fauteuil produit.
S'il produit $x$ tables et y fauteuils, il recevra le salaire S = $60x + 40y$ .

3. b) Déterminons une équation de la droite (d) correspondant à un salaire de 440 € :
S = 440 équivaut à $60x + 40y = 440$
$60x + 40y = 440 \Longleftrightarrow 40y = -60x + 440\\ \hspace{98pt} \Longleftrightarrow y = -\frac{60}{40}x + \frac{440}{40}\\ \hspace{98pt} \Longleftrightarrow y = -\frac32 x + 11$
La droite (d) apparaît en bleu sur le graphique précédent.

3. c) Déterminons graphiquement le couple d'entiers ( $x$ ; y) qui permettra à l'artisan d'obtenir le meilleur salaire :
Pour un salaire S donné, S = $60x + 40y$ . L'équation est de la forme : y = $-\frac{60}{40}x + \frac{\text{S}}{40}$ , soit y = $-\frac{3}{2}x + \frac{\text{S}}{40}$ .
$\frac{\text{S}}{40}$ est donc l'ordonnée à l'origine de cette droite.
Pour que le salaire soit maximum, il faut que cette ordonnée à l'origine soit la plus grande possible et que la droite passe par au moins un point à coordonnées entières de la partie rose sur le graphique. Toutes les droites d'équation y = $-\frac{3}{2}x + \frac{\text{S}}{40}$ sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur. Il suffit donc de trouver une parallèle à la droite (d) qui coupe l'axe des ordonnées le plus haut possible et qui passe par un point à coordonnées entières de la partie rose du graphique. Cette parallèle est tracée en rouge sur le graphique précédent. Par lecture graphique, on détermine que ce point a pour coordonnées (8 ; 4).
Le meilleur salaire sera donc obtenu pour 8 tables et 4 fauteuils, ce qui donne un salaire de S = 60 × 8 + 40 × 4 = 480 + 160 = 640 €.
Le nombre d'heures passées pour la fabrication de ces 8 tables et 4 fauteuils est : 3 × 8 + 4 × 4 = 24 + 16 = 40 heures.
Le salaire horaire de l'artisan s'élève alors à : $\frac{640}{40} = 16$ € (de l'heure).

Problème

PARTIE A

1. Déterminons la limite de $f$ en 0 :
$\. \array{l$\displaystyle \lim_{x \to 0} (-x^2 + 10x - 9) = -9\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} (-8 \ln(x)) = +\infty}\rbrace \text{ Donc : } \displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$
On en déduit que la droite d'équation $x = 0$ est asymptote verticale à la croube représentative de la fonction $f$ .

2. Déterminons la limite de $f$ en + $\infty$ :
Factorisons $f(x)$ par $x^2$ . Pour tout $x$ non nul, on a : $f(x) = x^2\left(-1 + \frac{10}{x} - \frac{9}{x^2} - \frac{8\ln(x)}{x^2}\right)$
On sait que :
$\.\array{l$ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} (-1) = -1\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{10}{x} = 0\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{-9}{x^2} = 0\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0 \text{, donc } \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{-8\ln(x)}{x^2} = 0} \rbrace \text{ Donc : } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left(-1 + \frac{10}{x} - \frac{9}{x^2} - \frac{8\ln(x)}{x^2}\right) = -1$
Et $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} x^2 = +\infty$
D'où : $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$

3. Démontrons que, pour tout réel $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \frac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$ :
$f$ est dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [ et pour tout réel $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, on a :
$f'(x) = -2x + 10 - 8 \times \frac{1}{x}$
On réduit au même dénominateur : $f'(x) = \frac{-2x \times x + 10x - 8}{x}$
D'où : pour tout réel $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $f'(x) = \frac{-2x^2 + 10x - 8}{x}$

4. Etudions le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ :
Pour tout réel $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, $x > 0$
Donc, $f'(x)$ est du signe de $-2x^2 + 10x - 8$ .
Déterminons le discriminant de $-2x^2 + 10x - 8$ : $\Delta$ = 10² - 4 × (-2) × (-8) = 36 = 6².
Le polynôme $-2x^2 + 10x - 8$ admet donc deux racines $\frac{-10 - \sqrt{6^2}}{2 \times (-2)} = 4$ et $\frac{-10 + \sqrt{6^2}}{2 \times (-2)} = 1$ .
Donc $-2x^2 + 10x - 8$ > 0 à l'intérieur des racines et $-2x^2 + 10x - 8$ < 0 à l'extérieur des racines.
D'où : $f'(x) \leq 0 \text{pour tout } x \in ]0; 1]\\ f'(x) \geq 0 \text{pour tout } x \in [1; 4]\\ f'(x) \leq 0 \text{pour tout } x \in [4 ; +\infty[$

5. Dressons le tableau de variations de $f$ :
De la question précédente, on en déduit que $f$ est décroisante sur ]0 ; 1], croissante sur [1 ; 4] et décroissante sur [4 ; + $\infty$ [.
$\begin{array}{|l|lcccccr|} \hline x & 0 &&1&&4&&+\infty \\ \hline f'(x)&&-&0&+&0&-& \\ \hline \hspace{1pt}&+\infty &&&&15 - 16\ln 2&& \\ f(x) & & \searrow &&\nearrow && \searrow \\ \hspace{1pt} &&&0&&&& -\infty \\ \hline \end{array}$

$f(1) = -1^2 + 10 \times 1 - 9 - 8 \times \ln 1 = -1 + 1 - 8 \ln 1 = 0\\ f(4) = -4^2 + 10 \times 4 - 9 - 8\ln 4 = -16 + 31 - 8 \ln 4 = 15 - 8 \ln(2^2) = 15 - 16\ln(2)$

6. a) Complétons le tableau de valeurs ci-dessous :

$x$	6,18	6,19	6,20	6,21
$f(x)$	0,0371	0,0004	-0,0364	-0,0734

6. b) A l'aide de la question précédente, on constate que 6,19 < $\alpha$ < 6,20.
Explication : Pour tout $x$ de ]0 ; 4], $f$ admet un minimum pour $x = 1$ . Et $f(1) = 0$
1 est donc solution de l'équation $f(x) = 0$ .
Pour tout $x$ de [4 ; + $\infty$ [, $f$ est continue et strictement décroissante. De plus, f(4) > 0 et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} = +\infty$ . Donc l'équation $f(x) = 0$ admet donc une solution sur l'intervalle [4 ; + $\infty$ [. A l'aide du tableau, on constate que $f(6,19) > 0 \ext{ et } f(6,20) < 0$ . D'où l'encadrement de la solution $\alpha$ .

6. c) Plaçons $\alpha$ sur le graphique :

sujet du bac STT CG IG Polynésie Française 2006 : image 3

7. Démontrons que F est une primitive de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [ :
F est dérivable sur ]0 ; + $\infty$ [ et pour tout réel $x$ de ]0 ; + $\infty$ [, on a :
$F'(x) = -3 \times \frac{x^2}{3} + 5 \times 2x - 1 - \left(8 \times 1 \times \ln x + 8x \times \frac{1}{x}\right)\\ F'(x) = -x^2 + 10x - 1 - 8 \ln x - 8\\ F'(x) = -x^2 + 10x - 9 - 8 \ln x = f(x)$
D'où : F est une primitive de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.

8. Hachurons (en bleu sur le graphique) la partie (P) du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $(\mathscr{C})$ et les droites d'équation $x$ = 3 et $x$ = 6 : cf graphique

Donnons la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d'aire, de l'aire de (P) :
Sur [3 ; 6], $f$ est positive, donc l'aire de (P) est donnée par :
$\displaystyle \int_3^6 f(x) \text{d}x = \left[F(x)\right]_3^6 = \left[-\frac{x^3}{3} + 5x^2 - x - 8x \ln x\right]_3^6\\ = (-\frac{6^3}{3} + 5 \times 6^2 - 6 - 8 \times 6 \ln 6) - (-\frac{3^3}{3} + 5 \times 3^2 - 3 - 8 \times 3 \ln 3)\\ = (-72 + 180 - 6 - 48\ln 6) - (-9 + 45 - 3 - 24 \ln3)\\ = 102 - 48\ln 6 - 33 + 24\ln 3 = 69 - 48\ln 6 + 24\ln3$
D'où : l'aire de (P) est égale à (69 - 48 ln(6) + 24 ln(3)) unités d'aire.

PARTIE B - Application économique

1. Déterminons à l'aide de la courbe $(\mathscr{C})$ , la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l'entreprise commence à travailler à perte :
A l'aide de la courbe, on constate que $f(x) < 0 \text{ pour } x > \alpha$ . Or, on a vu que $6,19 < \alpha < 6,20$ , donc l'entreprise enregistre une perte à partir de 62 pièces par jour.

2. Par lecture graphique, indiquons la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal :
Sur [1 ; 7], la fonction $f$ atteint son maximum en $x = 4$ , et graphiquement $f(4) \approx 3,9$ .
Le bénéfice est donc maximum pour 40 pièces et dans ce cas le bénéfice est de 3 900 € / jour.

3. Déterminons à 1 € près le bénéfice journalier moyen :
A l'aide de la partie précédente :
$\frac{1}{3} \displaystyle \int_3^{6} f(x) \text{d}x = \frac{69 - 48 \ln 6 + 24 \ln 3}{3} = 23- 16 \ln 6 + 8 \ln 3 \approx 3,121$
Le bénéfice journalier moyen est donc d'environ 3,121 milliers d’euros, soit environ 3 121 €.

Publié par Cel/cva le 19-02-2007

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