Fiche de mathématiques
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Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Tertiaires
Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion

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L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4     Durée : 3 heures
5 points

exercice 1

Un traiteur prépare des gâteaux pour une réception de 300 personnes. Il propose des tartelettes, des charlottes et des macarons, chacun pouvant être au chocolat ou à la framboise.

Sur les 300 gâteaux :
  • 100 sont des charlottes, dont le quart au chocolat,
  • 40 % sont des tartelettes, dont les deux cinquièmes sont au chocolat,
  • trois huitièmes des macarons sont à la framboise.


1. Compléter le tableau suivant :

  Chocolat Framboise Total
Tartelettes      
Charlottes      
Macarons      
Total     300


2. Un invité choisit un gâteau au hasard.
L'événement " le gâteau est à la framboise " est noté A.
L'événement " le gâteau est un macaron " est noté B.

On donnera les résultats demandés sous forme décimale, arrondie au centième.

   a) Calculer p(A) et p(B).

   b) Exprimer par une phrase les événements A \cap B et A \cup B, puis calculer leurs probabilités.
Les événements A et B sont-ils incompatibles ?

   c) L'invité en question n'aime pas le chocolat.
Sachant qu'il va choisir un gâteau à la framboise, quelle est la probabilité que ce soit une tartelette ? 5 points

exercice 2

Le tableau suivant donne l'évolution en fonction de l'année du budget publicitaire d'une entreprise, en dizaine de milliers d'euros.

Années 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Rang x_i 1 2 3 4 5 6 7 8
Budget yi 2 2,3 2,5 3 3,2 3,5 3,7 4,2


1. Dans un repère d'unité 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on prendra la feuille verticalement et l'axe des ordonnées sera placé sur le bord gauche du quadrillage).

2. Soit G1 le point moyen associé aux quatre premiers points du nuage.
Soit G2 le point moyen associé aux quatre derniers points du nuage.
Calculer les coordonnées de G1 et de G2.

3. a) Placer G1 et G2 sur le dessin et tracer la droite (G1G2).
   b) Déterminer une équation de la droite (G1G2).

4. On considère que cette droite permet un ajustement de cette série statistique.
   a) Estimer à l'aide du graphique, le budget à prévoir pour l'année 2007 (faire apparaître les pointillés sur le graphique).
   b) Calculer à partir de quelle année le budget devrait dépasser 60 000 euros.



 Problème (10 points)

Soit f une fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = ax + b + e^{-x}, a et b étant deux réels. On note \mathscr{C} la courbe représentative de f dans un repère (O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}).

1. Calculer la dérivée f'(x) pour tout réel x.

2. Sachant que la courbe \mathscr{C} passe par le point A(-1 ; e - 5) et que f'(0) = 2, vérifier que :
f(x) = 3x - 2 + e^{-x}, pour tout réel x


Dans la suite du problème, on utilisera cette expression de f(x).

3. Etudier la limite de f en +\infty.

4. Montrer que la droite \Delta d'équation y = 3x - 2 est asymptote à \mathscr{C} en +\infty.

5. On note f' la dérivée de f. Montre que f'(x) = 3 - e^{-x} et étudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation de f.

7. a) Compléter le tableau suivant, les valeurs étant arrondies au dixième.

x -3 -2 -1 -0,5 0 1 2 3
f(x)                


   b) Tracer \mathscr{C} et \Delta dans le repère (0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}), en prenant comme unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. On indiquera la tangente horizontale à la courbe \mathscr{C}.

8. a) Déterminer une primitive F de f sur \mathbb{R}.
   b) Calculer I = \displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x. Donner la valeur exacte puis l'arrondi au centième.



exercice 1

1. Complétons le tableau :

  Chocolat Framboise Total
Tartelettes 48 72 120
Charlottes 25 75 100
Macarons 50 30 80
Total 123 177 300


100 gâteaux sont des charlottes.
Le quart des charlottes, soit \frac14 \times 100 = 25 sont au chocolat.
100 - 25 = 75 charlottes sont à la framboise.

40 % des gâteaux sont des tartelettes, c'est-à-dire \frac{40}{100} \times 300 = 120.
Les deux cinquièmes des tartelettes sont au chocolat, soit \frac25 \times 120 = 48.
120 - 48 = 72 tartelettes sont à la framboise.

300 - (120 + 100) = 80 gâteaux sont des macarons.
Les trois huitièmes des macarons sont à la framboise, soit \frac38 \times 80 = 30.
80 - 30 = 50 macarons sont au chocolat.

2. a) Calculons p(A) :
La probabilité que l'invité choisisse un gâteau à la framboise est : p(A) = \frac{177}{300} = 0,59

    Calculons p(B) :
La probabilité que l'invité choisisse un macaron est : p(B) = \frac{80}{300} = 0,27

2. b) Exprimons par une phrase les événements A \cap B et A \cup B :
A \cap B : " le gâteau est un macaron à la framboise "
A \cup B : " le gâteau est un macaron ou il est à la framboise "

   Calculons les probabilités des événements A \cap B et A \cup B :
D'après le tableau de la question 1., on sait qu'il y a 30 macarons à la framboise, d'où : p(A \cap B ) = \frac{30}{300} = 0,1

On sait que : p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B), d'où :
p(A \cup B) = 0,59 + 0,27 - 0,1 = 0,76

   Les événements A et B sont-ils incompatibles ?
On a : p(A \cup B) = 0,76 et p(A) + p(B) = 0,59 + 0,27 = 0,86
Comme p(A \cup B) \neq p(A) + p(B), alors les événements A et B ne sont pas incompatibles.

2. c) A l'aide du tableau de la question 1., on sait qu'il y a 72 tartelettes à la framboises et 177 gâteaux à la framboise.
Sachant que l'invité choisit un gâteau à la framboise, la probabilité pour que ce soit une tartelette est \frac{72}{177} = 0,41.

exercice 2

1. Représentons le nuage de points associé à la série statistique :

sujet du bac STT CG IG 2006 : image 1


2. Calculons les coordonnées de G1 :
G1 est le point moyen associé aux quatre premiers points du nuage, donc :
x_{\text{G}_1} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2,5     et     y_{\text{G}_1} = \frac{2+2,3+2,5+3}{4} = 2,45
D'où : G1(2,5 ; 2,45)

   Calculons les coordonnées de G2 :
G2 est le point moyen associé aux quatre derniers points du nuage, donc :
x_{\text{G}_2} = \frac{5+6+7+8}{4} = 6,5     et     y_{\text{G}_2} = \frac{3,2+3,5+3,7+4,2}{4} = 3,65
D'où : G2(6,5 ; 3,65)

3. a) Plaçons G1 et G2 sur le dessin et traçons la droite (G1G2) :
Cf grapphique de la question 1.

3. b) Déterminons une équation de la droite (G1G2) :
Les abscisses des points G1 et G2 ne sont pas égales, donc la droite (G1G2) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation du type y = ax + b.
Déterminons le coefficient directeur a :
a = \frac{y_{\text{G}_2} - y_{\text{G}_1}}{x_{\text{G}_2} - x_{\text{G}_1}} = \frac{3,65 - 2,45}{6,5 - 2,5} = \frac{1,2}{4} = 0,3
Donc y = 0,3x + b
Déterminons l'ordonnée à l'origine b : G2 appartient à la droite (G1G2), donc on a :
yG2 = 0,3 x_{\text{G}_2} + b
\Longleftrightarrow 3,65 = 0,3 × 6,5 + b
\Longleftrightarrow 3,65 = 1,95 + b
\Longleftrightarrow b = 1,7
D'où : une équation de la droite (G1G2) est y = 0,3x + 1,7.

4. a) Estimons à l'aide du graphique, le budget à prévoir pour l'année 2007 :
L'année 2007 correspond au rang 10 (pointillés rouges sur le graphique).
Graphiquement, le budget à prévoir pour l'année 2007 est de 4,7 dizaines de milliers d'euros, soit 47 000 €.

4. b) Calculons à partir de quelle année le budget devrait dépasser 60 000 euros :
Nous devons donc déterminer l'année à partir de laquelle le budjet devrait dépasser 6 dizaines de milliers d'euros. Résolvons l'inéquation suivante :
0,3 x + 1,7 > 6 \\ \Longleftrightarrow 0,3 x > 6 - 1,7 \\ \Longleftrightarrow 0,3 x > 4,3 \\ \Longleftrightarrow x > \frac{4,3}{0,3} \\ \Longleftrightarrow x > \frac{43}{3}
Or, \frac{43}{3} \approx 14,3, donc le rang correspondant à l'année à partir de laquelle le budget devrait dépasser 60 000 euros est 15. Le rang 15 correspond à l'année 2013.
D'où : le budget devrait dépasser les 60 000 € en 2013.



 Problème

1. Calculons la dérivée f'(x) pour tout réel x :
f est une fonction dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
f'(x) = a - e^{-x}

2. Vérifions que f(x) = 3x - 2 + e^{-x}, pour tout réel x :
On sait que f'(0) = 2, donc a - e0 = 2, soit a - 1 = 2,
donc a = 3.

De plus, on sait que la courbe \mathscr{C} passe par le point A(-1 ; e - 5), donc f(-1) = e - 5, c'est-à-dire -a + b + e = e - 5,
soit -a + b = -5
Or, a = 3, donc b = -5 + a = -5 + 3 = -2
D'où : pour tout réel x, f(x) = 3x - 2 + e^{-x}.

3. Etudions la limite de f en +\infty :
On a \displaystyle \lim_{x\to+\infty} (3x - 2) = +\infty \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0
Donc : \displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty

4. Montrons que la droite \Delta d'équation y = 3x - 2 est asymptote à \mathscr{C} en +\infty :
Etudions la limite de f(x) - (3x - 2) quand x tend vers +\infty :
f(x) - (3x - 2) = 3x - 2 + e^{-x} - 3x + 2 = e^{-x}
Comme \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0, alors \displaystyle \lim_{x\to+\infty} [f(x) - (3x - 2)] = 0
D'où : La droite \Delta est asymptote à à \mathscr{C} en +\infty.

5. Montrons que f'(x) = 3 - e^{-x} et étudions son signe :
f est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a :
(3x)' = 3 \hspace{20pt} (-2)' = 0 \hspace{20pt} (e^{-x}) ' = -e^{-x}, donc :
pour tout réel x, f'(x) = 3 - e^{-x}

3 - e^{-x} = 0\\ \Longleftrightarrow -e^{-x} = -3\\ \Longleftrightarrow e^{-x} = 3\\ \Longleftrightarrow \ln e^{-x} = \ln 3 \text{ car la fonction ln est strictement croissante et continue sur } \mathbb{R}\\ \Longleftrightarrow -x = \ln 3\\ \Longleftrightarrow x = -\ln 3
Et :
3 - e^{-x} > 0 \Longleftrightarrow -e^{-x} > -3 \\ \Longleftrightarrow e^{-x} < 3\\ \Longleftrightarrow \ln e^{-x} < \ln 3 \text{ car ln est croissante sur } \mathbb{R}\\ \Longleftrightarrow -x < \ln 3 \\ \Longleftrightarrow x > -\ln 3
D'où :
f'(x) > 0 \Longleftrightarrow x > - \ln 3\\ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x = - \ln 3\\ f'(x) < 0 \Longleftrightarrow x < - \ln 3

6. Dressons le tableau de variation de f :
De la question précédente, on en déduit que :
f est décroissante sur ]-\infty ; -ln3] et croissante sur [-ln 3 ; +\infty[.
f(-\ln 3) = 3 \times (-\ln 3) - 2 + e^{\ln 3} = -3\ln 3 - 2 + 3 = -3\ln 3 + 1

\begin{array}{|c|lcccr|} \hline  x&-\infty&&-\ln3&&+\infty \\ \hline  f'(x)&&-&0&+&\\ \hline  \hspace{1pt}&&&&&+\infty\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&&&-3\ln 3 + 1&&\\ \hline  \end{array}

7. a) Complétons le tableau :

x -3 -2 -1 -0,5 0 1 2 3
f(x) 9,1 -0,6 -2,3 -1,9 -1 1,4 4,1 7,0


7. b) Traçons \mathscr{C} et \Delta dans le repère (0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) :

sujet du bac STT CG IG 2006 : image 2


8. a) Déterminons une primitive F de f sur \mathbb{R} :
F(x) =\frac32 x^2 - 2x - e^{-x} est une primitive de f sur \mathbb{R} car pour tout réel x, F'(x) = 3x - 2 + e^{-x} = f(x).

8. b) Calculons I = \displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x :
\text{I} = \displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x = \left[F(x)\right]_1^2 = F(2) - F(1)\\ \text{I} = \frac32 \times 2^2 - e^{-2} - \left(\frac32 \times 1^2 - 2 \times 1 - e^{-1}\right)\\ \text{I} = 6 - 4 - e^{-2} - \frac32 + 2 + e^{-1}\\ \text{I} = \frac52 - e^{-2} + e^{-1}\\ \text{I} \approx 2,73
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