Fiche de mathématiques

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Bac Technologique 2006 - Sciences et Technologies Tertiaires
Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion

L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Un traiteur prépare des gâteaux pour une réception de 300 personnes. Il propose des tartelettes, des charlottes et des macarons, chacun pouvant être au chocolat ou à la framboise.

Sur les 300 gâteaux :

100 sont des charlottes, dont le quart au chocolat,
40 % sont des tartelettes, dont les deux cinquièmes sont au chocolat,
trois huitièmes des macarons sont à la framboise.

1. Compléter le tableau suivant :

	Chocolat	Framboise	Total
Tartelettes
Charlottes
Macarons
Total			300

2. Un invité choisit un gâteau au hasard.
L'événement " le gâteau est à la framboise " est noté A.
L'événement " le gâteau est un macaron " est noté B.

On donnera les résultats demandés sous forme décimale, arrondie au centième.

   a) Calculer p(A) et p(B).

   b) Exprimer par une phrase les événements A $\cap$ B et A $\cup$ B, puis calculer leurs probabilités.
Les événements A et B sont-ils incompatibles ?

   c) L'invité en question n'aime pas le chocolat.
Sachant qu'il va choisir un gâteau à la framboise, quelle est la probabilité que ce soit une tartelette ? 5 points

exercice 2

Le tableau suivant donne l'évolution en fonction de l'année du budget publicitaire d'une entreprise, en dizaine de milliers d'euros.

Années	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang $x_i$	1	2	3	4	5	6	7	8
Budget y_i	2	2,3	2,5	3	3,2	3,5	3,7	4,2

1. Dans un repère d'unité 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnées, représenter le nuage de points associé à cette série statistique (on prendra la feuille verticalement et l'axe des ordonnées sera placé sur le bord gauche du quadrillage).

2. Soit G₁ le point moyen associé aux quatre premiers points du nuage.
Soit G₂ le point moyen associé aux quatre derniers points du nuage.
Calculer les coordonnées de G₁ et de G₂.

3. a) Placer G₁ et G₂ sur le dessin et tracer la droite (G₁G₂).
   b) Déterminer une équation de la droite (G₁G₂).

4. On considère que cette droite permet un ajustement de cette série statistique.
   a) Estimer à l'aide du graphique, le budget à prévoir pour l'année 2007 (faire apparaître les pointillés sur le graphique).
   b) Calculer à partir de quelle année le budget devrait dépasser 60 000 euros.

Problème (10 points)

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax + b + e^{-x}$ , a et b étant deux réels. On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ .

1. Calculer la dérivée $f'(x)$ pour tout réel $x$ .

2. Sachant que la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point A(-1 ; e - 5) et que $f'(0) = 2$ , vérifier que :

$f(x) = 3x - 2 + e^{-x}$ , pour tout réel $x$

Dans la suite du problème, on utilisera cette expression de $f(x)$ .

3. Etudier la limite de $f$ en + $\infty$ .

4. Montrer que la droite $\Delta$ d'équation y = 3 $x$ - 2 est asymptote à $\mathscr{C}$ en + $\infty$ .

5. On note $f'$ la dérivée de $f$ . Montre que $f'(x) = 3 - e^{-x}$ et étudier son signe.

6. Dresser le tableau de variation de $f$ .

7. a) Compléter le tableau suivant, les valeurs étant arrondies au dixième.

$x$	-3	-2	-1	-0,5	0	1	2	3
$f(x)$

b) Tracer $\mathscr{C}$ et $\Delta$ dans le repère $(0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ , en prenant comme unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées. On indiquera la tangente horizontale à la courbe $\mathscr{C}$ .

8. a) Déterminer une primitive F de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
b) Calculer I = $\displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x$ . Donner la valeur exacte puis l'arrondi au centième.

Voir la correction

exercice 1

1. Complétons le tableau :

	Chocolat	Framboise	Total
Tartelettes	48	72	120
Charlottes	25	75	100
Macarons	50	30	80
Total	123	177	300

100 gâteaux sont des charlottes.
Le quart des charlottes, soit $\frac14 \times 100$ = 25 sont au chocolat.
100 - 25 = 75 charlottes sont à la framboise.

40 % des gâteaux sont des tartelettes, c'est-à-dire $\frac{40}{100} \times 300$ = 120.
Les deux cinquièmes des tartelettes sont au chocolat, soit $\frac25 \times 120$ = 48.
120 - 48 = 72 tartelettes sont à la framboise.

300 - (120 + 100) = 80 gâteaux sont des macarons.
Les trois huitièmes des macarons sont à la framboise, soit $\frac38 \times 80$ = 30.
80 - 30 = 50 macarons sont au chocolat.

2. a) Calculons p(A) :
La probabilité que l'invité choisisse un gâteau à la framboise est : p(A) = $\frac{177}{300}$ = 0,59

    Calculons p(B) :
La probabilité que l'invité choisisse un macaron est : p(B) = $\frac{80}{300}$ = 0,27

2. b) Exprimons par une phrase les événements A $\cap$ B et A $\cup$ B :
A $\cap$ B : " le gâteau est un macaron à la framboise "
A $\cup$ B : " le gâteau est un macaron ou il est à la framboise "

   Calculons les probabilités des événements A $\cap$ B et A $\cup$ B :
D'après le tableau de la question 1., on sait qu'il y a 30 macarons à la framboise, d'où : p(A $\cap$ B ) = $\frac{30}{300}$ = 0,1

On sait que : p(A $\cup$ B) = p(A) + p(B) - p(A $\cap$ B), d'où :
p(A $\cup$ B) = 0,59 + 0,27 - 0,1 = 0,76

   Les événements A et B sont-ils incompatibles ?
On a : p(A $\cup$ B) = 0,76 et p(A) + p(B) = 0,59 + 0,27 = 0,86
Comme p(A $\cup$ B) $\neq$ p(A) + p(B), alors les événements A et B ne sont pas incompatibles.

2. c) A l'aide du tableau de la question 1., on sait qu'il y a 72 tartelettes à la framboises et 177 gâteaux à la framboise.
Sachant que l'invité choisit un gâteau à la framboise, la probabilité pour que ce soit une tartelette est $\frac{72}{177}$ = 0,41.

exercice 2

1. Représentons le nuage de points associé à la série statistique :

2. Calculons les coordonnées de G₁ :
G₁ est le point moyen associé aux quatre premiers points du nuage, donc :
$x_{\text{G}_1} = \frac{1+2+3+4}{4}$ = 2,5 et $y_{\text{G}_1} = \frac{2+2,3+2,5+3}{4}$ = 2,45
D'où : G₁(2,5 ; 2,45)

Calculons les coordonnées de G₂ :
G₂ est le point moyen associé aux quatre derniers points du nuage, donc :
$x_{\text{G}_2} = \frac{5+6+7+8}{4}$ = 6,5 et $y_{\text{G}_2} = \frac{3,2+3,5+3,7+4,2}{4}$ = 3,65
D'où : G₂(6,5 ; 3,65)

3. a) Plaçons G₁ et G₂ sur le dessin et traçons la droite (G₁G₂) :
Cf grapphique de la question 1.

3. b) Déterminons une équation de la droite (G₁G₂) :
Les abscisses des points G₁ et G₂ ne sont pas égales, donc la droite (G₁G₂) n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation du type y = a $x$ + b.
Déterminons le coefficient directeur a :
a = $\frac{y_{\text{G}_2} - y_{\text{G}_1}}{x_{\text{G}_2} - x_{\text{G}_1}} = \frac{3,65 - 2,45}{6,5 - 2,5} = \frac{1,2}{4} = 0,3$
Donc y = 0,3 $x$ + b
Déterminons l'ordonnée à l'origine b : G₂ appartient à la droite (G₁G₂), donc on a :
y_G₂ = 0,3 $x_{\text{G}_2}$ + b
$\Longleftrightarrow$ 3,65 = 0,3 × 6,5 + b
$\Longleftrightarrow$ 3,65 = 1,95 + b
$\Longleftrightarrow$ b = 1,7
D'où : une équation de la droite (G₁G₂) est y = 0,3 $x$ + 1,7.

4. a) Estimons à l'aide du graphique, le budget à prévoir pour l'année 2007 :
L'année 2007 correspond au rang 10 (pointillés rouges sur le graphique).
Graphiquement, le budget à prévoir pour l'année 2007 est de 4,7 dizaines de milliers d'euros, soit 47 000 €.

4. b) Calculons à partir de quelle année le budget devrait dépasser 60 000 euros :
Nous devons donc déterminer l'année à partir de laquelle le budjet devrait dépasser 6 dizaines de milliers d'euros. Résolvons l'inéquation suivante :
$0,3 x + 1,7 > 6 \\ \Longleftrightarrow 0,3 x > 6 - 1,7 \\ \Longleftrightarrow 0,3 x > 4,3 \\ \Longleftrightarrow x > \frac{4,3}{0,3} \\ \Longleftrightarrow x > \frac{43}{3}$
Or, $\frac{43}{3} \approx 14,3$ , donc le rang correspondant à l'année à partir de laquelle le budget devrait dépasser 60 000 euros est 15. Le rang 15 correspond à l'année 2013.
D'où : le budget devrait dépasser les 60 000 € en 2013.

Problème

1. Calculons la dérivée $f'(x)$ pour tout réel $x$ :
$f$ est une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , on a :
$f'(x) = a - e^{-x}$

2. Vérifions que $f(x) = 3x - 2 + e^{-x}$ , pour tout réel $x$ :
On sait que $f'(0) = 2$ , donc a - e⁰ = 2, soit a - 1 = 2,
donc a = 3.

De plus, on sait que la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point A(-1 ; e - 5), donc $f(-1) = e - 5$ , c'est-à-dire -a + b + e = e - 5,
soit -a + b = -5
Or, a = 3, donc b = -5 + a = -5 + 3 = -2
D'où : pour tout réel $x$ , $f(x) = 3x - 2 + e^{-x}$ .

3. Etudions la limite de $f$ en + $\infty$ :
On a $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} (3x - 2) = +\infty \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} \displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0$
Donc : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$

4. Montrons que la droite $\Delta$ d'équation y = 3 $x$ - 2 est asymptote à $\mathscr{C}$ en + $\infty$ :
Etudions la limite de $f(x) - (3x - 2)$ quand $x$ tend vers + $\infty$ :
$f(x) - (3x - 2) = 3x - 2 + e^{-x} - 3x + 2 = e^{-x}$
Comme $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0$ , alors $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} [f(x) - (3x - 2)] = 0$
D'où : La droite $\Delta$ est asymptote à à $\mathscr{C}$ en + $\infty$ .

5. Montrons que $f'(x) = 3 - e^{-x}$ et étudions son signe :
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , on a :
$(3x)' = 3 \hspace{20pt} (-2)' = 0 \hspace{20pt} (e^{-x}) ' = -e^{-x}$ , donc :
pour tout réel $x$ , $f'(x) = 3 - e^{-x}$

$3 - e^{-x} = 0\\ \Longleftrightarrow -e^{-x} = -3\\ \Longleftrightarrow e^{-x} = 3\\ \Longleftrightarrow \ln e^{-x} = \ln 3 \text{ car la fonction ln est strictement croissante et continue sur } \mathbb{R}\\ \Longleftrightarrow -x = \ln 3\\ \Longleftrightarrow x = -\ln 3$
Et :
$3 - e^{-x} > 0 \Longleftrightarrow -e^{-x} > -3 \\ \Longleftrightarrow e^{-x} < 3\\ \Longleftrightarrow \ln e^{-x} < \ln 3 \text{ car ln est croissante sur } \mathbb{R}\\ \Longleftrightarrow -x < \ln 3 \\ \Longleftrightarrow x > -\ln 3$
D'où :
$f'(x) > 0 \Longleftrightarrow x > - \ln 3\\ f'(x) = 0 \Longleftrightarrow x = - \ln 3\\ f'(x) < 0 \Longleftrightarrow x < - \ln 3$

6. Dressons le tableau de variation de $f$ :
De la question précédente, on en déduit que :
$f$ est décroissante sur ]- $\infty$ ; -ln3] et croissante sur [-ln 3 ; + $\infty$ [.
$f(-\ln 3) = 3 \times (-\ln 3) - 2 + e^{\ln 3} = -3\ln 3 - 2 + 3 = -3\ln 3 + 1$

$\begin{array}{|c|lcccr|} \hline x&-\infty&&-\ln3&&+\infty \\ \hline f'(x)&&-&0&+&\\ \hline \hspace{1pt}&&&&&+\infty\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&&&-3\ln 3 + 1&&\\ \hline \end{array}$

7. a) Complétons le tableau :

$x$	-3	-2	-1	-0,5	0	1	2	3
$f(x)$	9,1	-0,6	-2,3	-1,9	-1	1,4	4,1	7,0

7. b) Traçons $\mathscr{C}$ et $\Delta$ dans le repère $(0; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ :

8. a) Déterminons une primitive F de $f$ sur $\mathbb{R}$ :
$F(x) =\frac32 x^2 - 2x - e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ car pour tout réel $x$ , $F'(x) = 3x - 2 + e^{-x} = f(x)$ .

8. b) Calculons I = $\displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x$ :
$\text{I} = \displaystyle \int_1^2 f(x) \text{d}x = \left[F(x)\right]_1^2 = F(2) - F(1)\\ \text{I} = \frac32 \times 2^2 - e^{-2} - \left(\frac32 \times 1^2 - 2 \times 1 - e^{-1}\right)\\ \text{I} = 6 - 4 - e^{-2} - \frac32 + 2 + e^{-1}\\ \text{I} = \frac52 - e^{-2} + e^{-1}\\ \text{I} \approx 2,73$

Publié par Cel/dech42(1&2) et Cel le 21-06-2006

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Merci à dech42 pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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