Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Tertiaires
Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion
La Réunion - Session 2006

Ce sujet nécessite 2 feuilles de papier millimétré.
L'usage des calculatrices est autorisé (circulaire n°99-186 du 16-11-1999).
Le formulaire de mathématiques est joint au sujet.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Au cours d'une enquête, on a demandé à un échantillon de 500 personnes quelle était leur destination préférée pour les vacances d'été.
Les personnes interrogées devaient choisir une réponse parmi « mer », « montagne » ou « campagne ».
Sur les 500 personnes interrogées, il y avait 55 % de femmes.
180 personnes ont déclaré préférer la montagne et 70 ont déclaré préférer la campagne.
40 % des hommes préfèrent la montagne tandis que 60 % des femmes préfèrent la mer.

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (aucune justification n'est demandée).

	Mer	Montagne	Campagne	Total
Hommes
Femmes
Total				500

Les résultats aux questions suivantes seront donnés sous forme de fraction irréductible.

2. On interroge une personne au hasard dans l'échantillon.
   a) Soit A l'événement : « la personne choisie préfère la montagne ».
Déterminer P(A).
   b) Soit B l'événement : « la personne choisie est un homme ».
Déterminer P(B).
   c) Soit C l'événement A $\cap$ B.
Exprimer par une phrase l'événement C puis déterminer P(C).
   d) Calculer P(A $\cup$ B).

3. On interroge, au hasard, une femme de cet échantillon.
Quelle est la probabilité que cette femme préfère la campagne pour les vacances d'été ? 4 points

exercice 2

Dans une nation d'Europe de l'Est on a noté en millions le nombre de touristes étrangers visitant le pays chaque été pour la période 1995 - 2004.
Les résultats sont rassemblés dans le tableau ci-dessous.

Années	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang $x$ de l'année	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nombre y de touristes en millions	1,3	2,6	3,8	4,1	4,7	5,3	6,5	7	7,5	8,7

1. Représenter par un nuage de points M( $x$ ; y) la série statistique dans un repère orthogonal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ tel que 1 cm représente une année sur l'axe des abscisses et 1 cm représente un million de touristes sur l'axe des ordonnées.

2. On partage l'ensemble des points du nuage en deux sous-ensembles correspondant aux années 1995 à 1999 et 2000 à 2004.
   a) Déterminer les coordonnées des points moyens G₁ et G₂ de chacun des sous-ensembles précédents et tracer la droite (G₁G₂).
   b) Montrer par un calcul que le coefficient directeur de la droite d'ajustement (G₁G₂) vaut 0,74.
   c) En déduire que l'équation réduite de la droite (G₁G₂) est y = 0,74 $x$ + 1,08.

3. On souhaite prévoir à l'aide de cette droite d'ajustement le nombre de touristes étrangers qui visiteront ce pays au cours de l'été 2006.
   a) Quelle prévision peut-on donner à l'aide du graphique (on laissera apparents les traits de construction) ?
   b) Calculer cette prévision (on donnera le résultat arrondi au million).

Problème (11 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^{2x} - 4e^x + 5$ .
On note $\mathscr{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.

PARTIE A : Étude de la fonction $f$

1. Montrer que $f(x) = e^x(e^x - 4) + 5$ .

2. Calculer $f(\ln 2)$ .

3. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers - $\infty$ et interpréter graphiquement le résultat obtenu.

4. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers + $\infty$ .

5. a) Déterminer la dérivée $f'$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ et montrer que pour tout réel $x$ : $f'(x) = 2e^x(e^x - 2)$ .
   b) Résoudre l'inéquation $e^x -2 \geq 0$ .
   c) En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
   d) Dresser le tableau de variation de $f$ .

6. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs arrondies au dixième :

$x$	-3	-2	-1	0	ln 2	1	1,25	1,5
$f(x)$

7. Tracer la courbe $\mathscr{C}$ dans le repère $(O ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j})$ (on tracera l'asymptote et la tangente horizontale).

PARTIE B : Calcul d'une aire

1. Montrer que la fonction F définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \frac12 e^{2x} - 4e^x + 5x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Hachurer sur le graphique la partie E du plan délimitée par la courbe $\mathscr{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x$ = 0 et $x$ = ln 2.

3. Soit A l'aire en cm² de la partie E. Calculer A et donner sa valeur approchée arrondie au centième.

Correction

exercice 1

1. Cette justification n'est pas demandée mais permet de comprendre le résultat :
"Sur les 500 personnes interrogées, il y avait 55% de femmes", le nombre total de femmes est donc de $\frac{55}{100} \times 500$ = 275
Il y a donc 500 - 275 = 225 hommes.
"180 personnes ont déclaré préférer la montagne et 70 ont déclaré préférer la campagne" donc 500 - 180 - 70 = 250 ont déclaré préférer la mer.
"40% des hommes préfèrent la montagne", ils sont donc $\frac{40}{100} \times 225$ = 90
Et alors, il y a 180 - 90 = 90 femmes qui ont déclaré préférer la montagne.
"60% des femmes préfèrent la mer", elles sont donc $\frac{60}{100} \times 275$ = 165
Il y a donc 250 - 165 = 85 hommes ayant déclaré préférer la mer.
Enfin, il y a 225 - 85 - 90 = 50 hommes et 70 - 50 = 20 (ou encore 275 - 165 - 90 = 20) femmes préférant la campagne.

	Mer	Montagne	Campagne	Total
Hommes	85	90	50	225
Femmes	165	90	20	275
Total	250	180	70	500

2. a) Sur les 500 personnes interrogées, 180 préfèrent la montagne, donc : $p(A) = \frac{180}{500}=\frac{9}{25}(=36\%)$ .

2. b) Sur les 500 personnes interrogées, 225 sont des hommes, donc : $p(B) = \frac{225}{500} = \frac{9}{20}(=45\%)$ .

2. c) L'évènement $C = A \cap B$ est l'évènement : "la personne choisie est un homme ET préfère la montagne".
Sur les 500 personnes interrogées, 90 sont des hommes qui préfèrent la montagne, donc : $p(C) = \frac{90}{500} = \frac{9}{50}(=18\%)$

2. d) On utilise la formule : $p(A\cup B) = p(A) + p(B)-p(A\cap B)$ donc :
$p(A\cup B)=\frac{9}{25}+\frac{9}{20}-\frac{9}{50}=\frac{36+45-18}{100}=\frac{63}{100}(=63\%)$

3. Sur les 275 femmes interrogées, 20 préfèrent la campagne, donc la probabilité qu'une femme interrogée préfère la campagne est de : $\frac{20}{275}=\frac{4}{55}(=7,27\%)$

exercice 2

1. Représentation du nuage de points :

sujet du bac STT CG IG La Réunion 2006 : image 1

2. a) Les coordonnées des points G₁ et G₂ sont données par les moyennes de x et y correspondants aux points des sous-ensembles.
$x_1 = \frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3$ et $y_1 = \frac{1,3+2,6+3,8+4,1+4,7}{5} = \frac{16,5}{5}=3,3$
$x_2 = \frac{6+7+8+9+10}{5}=\frac{40}{5}=8$ et $y_2 = \frac{5,3+6,5+7+7,5+8,7}{5}=\frac{35}{5}=7$
Représentation : cf. graphique de la question 1.

2. b) La droite (G₁G₂) passe par les points G₁ et G₂, son coefficient directeur est donc donné par :
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7-3,3}{8-3} = \frac{3,7}{5} = 0,74$

2. c) L'équation réduite de la droite est donc de la forme $y = 0,74x+b$
Or la droite passe par G₁, donc $y_1 = 0,74x_1 + b$ d'où $b = y_1-0,74x_1=3,3-0,74\times 3 = 3,3-2,22=1,08$ .
L'équation réduite de (G₁G₂) est donc : $y=0,74x+1,08$

3. a) L'année 2006 correspond au rang 12. Graphiquement (pointillés), on trouve que le nombre de touristes sera de 10 millions.

3. b) Par le calcul, il suffit de remplacer x par 12 dans l'équation de la droite, alors :
$y_{12}=0,74\times12+1,08=8,88+1,08=9,96$
En 2006, on prévoit environ 10 millions de touristes. (arrondi au million)

Problème

Partie A : Etude de la fonction f

1. $f(x)=e^{2x}-4e^x+5=(e^x)^2-4e^x+5=e^x(e^x-4)+5$

2. $f(\ln 2) = e^{\ln 2} (e^{\ln 2} - 4) + 5 = 2(2-4) + 5 = 2(-2) + 5 = -4+5 = 1$

3. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x(e^x-4)+5=0(0-4)+5=5$
La courbe $\scr{C}$ admet donc au voisinage de $-\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y = 5$ .

4. $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x(e^x-4)+5 = +\infty(+\infty-4)+5 = +\infty$

5. a) f est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout x de $\mathbb{R}$ : $f(x)=e^{2x}-4e^x+5$ .
On sait que la dérivée de $e^x$ est $e^x$ et que la dérivée de $e^u$ est $u'e^u$ donc la dérivée de $e^{2x}$ est $2e^{2x}$ .
On en déduit : $f'(x)=2e^{2x}-4e^x=2(e^x)^2-4e^x=2e^x(e^x-2)$

5. b) $e^x-2\ge 0 \: \Longleftrightarrow \: e^x\ge2 \: \Longleftrightarrow \: \ln(e^x)\ge \ln 2$ (car la fonction ln est strictement croissante) $\: \Longleftrightarrow \: x \ge \ln 2$
d'où $\scr{S} = [\ln 2 ; +\infty[$

5. c) Une exponentielle est toujours positive, donc $f'(x) = 2e^x(e^x-2)$ est du signe de $e^x-2$ :
f ' positive sur $[\ln 2;+\infty[$
f ' négative sur $]-\infty ; \ln 2]$

5. d) Une fonction est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si sa dérivée est positive (respectivement négative). D'où le tableau de variations de la fonction f :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&ln2&&+\infty \\ \hline {f'(x)}&&-&0&+& \\ \hline \hspace{1pt}& 5 & & & & +\infty\\ {f(x)}& & \searrow & & \nearrow & \\ \hspace{1pt} & & & f(\ln 2) = 1 & & \\ \hline \end{array}$

6. Tableau de valeurs :

$x$	-3	-2	-1	0	ln 2	1	1,25	1,5
$f(x)$	4,8	4,5	3,7	2	1	1,5	3,2	7,15

7. Courbe représentative :

sujet du bac STT CG IG La Réunion 2006 : image 2

Partie B : Calcul d'une aire

1. Il suffit de calculer la dérivée de F : $F'(x) = \frac{1}{2} \times 2 e^{2x}-4e^x+5=e^{2x}-4e^x+5=f(x)$
On a $F'(x) = f(x)$ donc F est une primitive de f.

2. Cf. graphique de la question A7.

3. Par définition, $A = \displaystyle \int_0^{ln2} f(x) \text{d}x = [F(x)]_0^{\ln 2} = F(\ln 2) - F(0)$ , avec :
$F(\ln 2) = \frac{1}{2}e^{2 \ln 2} - 4e^{\ln 2} + 5\ln 2 = \frac{1}{2}(e^{\ln 2})^2 - 4\times 2 + 5\ln 2 = \frac{1}{2}\times 4 - 8 + 5\ln 2 = 2 - 8 + 5\ln 2 = 5\ln 2 - 6$
$F(0) = \frac{1}{2}e^0 - 4e^0+5\times0=\frac{1}{2}-4=-\frac{7}{2}$
donc $A = F(\ln 2) - F(0) = 5\ln 2 - 6 - \left(-\frac{7}{2}\right) = 5\ln 2 - 6 + \frac{7}{2} = 5\ln 2 - \frac{5}{2} = 0,97$ (en unités d'aires)
Or : 1 U.A. = 2 × 2 = 4 cm²
Donc : A = 3,86 cm²

Publié par Cel/Aurélien le 01-05-2008

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