Fiche de mathématiques

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Bac Sciences et Technologies Tertiaires
Session 2006 - Pondichéry

Action et Communication Administratives - Action et Communication Commerciales
La calculatrice est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé aux candidats que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice

Le chiffre d'affaires d'une entreprise E, exprimé en millions d'euros, au cours des six dernières années est donné par le tableau suivant :

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang : x_i	1	2	3	4	5	6
Chiffre d'affaires : y_i	3,12	3,23	3,65	4,28	4,54	4,76

1. Représenter le nuage des points M_i( $x_i$ ; y_i) associé au tableau statistique précédent.
On choisira comme unités :
sur l'axe des abscisses 2 cm pour une unité ;
sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 100 000 euros en commençant la graduation à 3 millions d'euros.

2. Le point moyen du nuage est noté G.
Calculer les coordonnées de G et placer ce point sur le graphique.

3. On prend la droite $\mathscr{D}$ d'équation :
$\hspace{200pt} y = 0,4x + 2,53$
comme ajustement du nuage.
    a) Montrer que le point G appartient à la droite $\mathscr{D}$ .
    b) Construire la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique.

4. Quelle estimation du chiffre d'affaires de cette entreprise peut-on donner pour les années 2006 et 2007 ?

5. Une entreprise F a le même chiffre d'affaires en 2000 que l'entreprise précédente E, mais ce chiffre d'affaires augmente de 9,1 % chaque année.
    a) Justifier que le chiffre d'affaires de l'année 2000 + n est u_n = 3,12 × 1,091ⁿ.
    b) Calculer le chiffre d'affaires de l'entreprise F pour les années 2006 et 2007.

Problème (12 points)

Un artisan qui fabrique des petits meubles fait une étude sur une production comprise entre 0 et 60 objets. Le coût de production, en euros, de $x$ meubles fabriqués est donné par :
$C(x) = x^2 + 50x + 900$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [0; 60].

Partie A

1. Calculer C(0). En déduire les frais fixes de l'artisan.
2. Quel est le coût de production de 30 meubles ?
3. Quel est le coût de production par meuble, lorsque l'artisan fabrique 30 meubles ?
4. Soit $f(x)$ le coût unitaire moyen pour $x$ meubles fabriqués. Exprimer $f(x)$ en fonction de $x$ , pour $x \neq 0$ .

Partie B

On étudie la fonction $f$ définie sur l'intervalle [7; 60] par :
$\hspace{200pt} f(x) = x + 50 + \frac{900}{x}$
1. a) Déterminer la dérivée de $f$ .
b) Justifier que $f'(x) = \frac{(x - 30)(x + 30)}{x^2}$ .

2. Etudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [7; 60].

3. Compléter le tableau suivant :

$x$	7	10	15	20	25	30	40	45	50	60
$f(x)$

4. Tracer la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour 5 meubles en abscisses,
1 cm pour 5 euros en ordonnées en commençant la graduation à 100.

Partie C

Dans cette partie, la production est comprise entre 7 et 60 objets.

1. Quel nombre de meubles doit fabriquer l'artisan pour que le coût unitaire moyen soit minimal ? Indiquer ce coût.

2. Chaque meuble est vendu 115 euros.
    a) Construire la droite $\mathscr{D}$ d'équation y = 115 sur le graphique précédent.
    b) Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}$ .
    c) En déduire l'intervalle de production pour lequel l'artisan réalise un bénéfice.

3. Exprimer, en fonction de $x$ , la recette $R(x)$ produite par la vente de $x$ meubles.

4. En déduire l'expression en fonction de $x$ du bénéfice $B(x)$ réalisé par la vente des $x$ meubles (utiliser l'expression de $C(x)$ donnée dans la partie A).

5. Calculer B(20), B(45) et B(30). Les résultats trouvés sont-ils en accord avec les conclusions de la question 2. c) ?

Voir la correction

exercice

1. Représentons le nuage des points M_i( $x_i$ ; y_i) associé au tableau statistique précédent :

bac STT 2006 Pondichéry - terminale : image 2

2. Calculons les coordonnées du point G :
La moyenne de $x_i$ est $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3,5$
La moyenne de $y_i$ est $\frac{3,12 + 3,23 + 3,65 + 4,28 + 4,54 + 4,76}{6} = 3,93$

3. a) Montrons que le point G appartient à la droite $\mathscr{D}$ :
$0,4 x_G + 2,53 = 0,4 \times 3,5 + 2,53 = 1,4 + 2,53 = 3,93 = y_G$
Ainsi $y_G = 0,4 x_G + 2,53$
Le point G appartient à la droite $\mathscr{D}$

3. b) Construisons la droite $\mathscr{D}$ sur le graphique :
cf graphique

4. Déterminons une estimation du chiffre d'affaires de cette entreprise pour les années 2006 et 2007 :
Pour $x_i = 7$ , nous avons $y_i = 0,4 \times 7 + 3,53 = 4,33$
On peut donner une estimation de 4,33 millions d'euros pour le chiffre d'affaire pour 2006.
Pour $x_i = 8$ , nous avons $y_i = 0,4 \times 8 + 3,53 = 4,73$
On peut donner une estimation de 4,73 millions d'euros pour le chiffre d'affaire pour 2007.

5. a) Justifions que le chiffre d'affaires de l'année 2000 + n est $u_n = 3,12 \times 1,09^n$ :
Le chiffre d'affaires $u_n$ de l'année 2000 + n de l'entreprise F est le nième terme d'une suite géométrique de raison $1 + \frac{9,1}{100} = 1,091$ et de 1er terme $u_0$ = 3,12
D'où $u_n = 3,12 \times 1,09^n$
Autre méthode :
$u_0 = 3,12\\ u_1 = 3,12 \times 1,091\\ u_2 = u_1 \times 1,091 = 3,12 \times 1,091^2\\ u_3 = u_2 \times 1,091 = 3,12 \times 1,091^3\\ ...\\ u_n = u_{n-1} \times 1,091 = 3,12 \times 1,091^n$

5. b) Calculons le chiffre d'affaires de l'entreprise F pour les années 2006 et 2007 :
$u_6 = 3,12 \times 1,091^6 \approx 5,26\\ u_7 = 3,12 \times 1,091^7 \approx 5,74$
Ainsi pour l'année 2006, le chiffre d'affaires de l'entreprise F est 5,26 millions d'euros et pour l'année 2007, il est de 5,74 millions d'euros.

Problème

Partie A

1. C(0) = 0² + 50 × 0 + 900 = 900
Les frais fixes de l'artisan sont donc de 900 ?.

2. Coût de production de 30 meubles :
Le coût de production de 30 meubles se détermine en calculant C(30) :
C(30) = 30² + 50 × 30 + 900
C(30) = 900 + 1500 + 900
C(30) = 3300
Le coût de production de 30 meubles est de 3300 ?.

3. Coût de production par meuble :
Le coût de production par meuble, lorsque l'artisan fabrique 30 meubles, est de : $\frac{C(30)}{30} = \frac{3300}{30} = 110$
Lorsque l'artisan fabrique 30 meubles, le coût de production s'élève à 110 ?/meuble.

4. Exprimons $f(x)$ en fonction de $x$ :
$f(x)$ correspond au coût unitaire moyen pour $x$ meubles fabriqués, donc :
$f(x) = \frac{C(x)}{x}$ , pour $x$ différent de 0, soit :
$f(x) = \frac{x^2 + 50x + 900}{x}\\f(x) = x + 50 + \frac{900}{x}$

Partie B

1. a) Dérivée de $f$ :
$f$ est définie et dérivable sur [7 ; 60],
et $f'(x) = 1 - \frac{900}{x^2}$

1. b)D'après la question 1 :
$f'(x) = 1 - \frac{900}{x^2}\\ f'(x) = \frac{x^2 - 900}{x^2}\\ f'(x) = \frac{x^2 - 30^2}{x^2}$
Donc : $f'(x) = \frac{(x - 30)(x + 30)}{x^2}$

2. Signe de $f'(x)$ :
Sur l'intervalle [7; 60], $x + 30 > 0 \text{ et } x^2 > 0. \hspace{3pt} f'(x)$ est donc du signe de $(x - 30)$ .
D'où :
$f'(x) < 0 \text{ si } x \in [7; 30[\\ f'(x) = 0 \text{ si } x = 30\\ f'(x) > 0 \text{ si } x \in ]30; 60]$
On en déduit que f est décroissante sur [7; 30] et croissante sur [30; 60].

$\begin{array}{|c|ccccc||} \hline x & 7 & & 30 & & 60 \\ \hline {f'(x)}& &-&0&+& \\ \hline {f(x)}&&\searrow&&\nearrow&&\\ \hline \end{array}$

3.

$x$	7	10	15	20	25	30	40	45	50	60
$f(x)$	185.57	150	125	115	111	110	112.5	115	118	125

bac STT 2006 Pondichéry - terminale : image 1

Partie C

1. $f(x)$ est le coût unitaire moyen pour $x$ meubles fabriqués. Nous cherchons donc la valeur $x$ pour laquelle $f(x)$ est minimale. D'après l'étude de la fonction $f$ précédente, nous pouvons en déduire que la valeur de $x$ cherchée est 30.
D'où : l'artisan doit fabriquer 30 meubles pour que le coût unitaire soit minimal.

2. a) cf. figure

2. b) Les points d'intersection de la courbe $\mathscr{C}$ et de la droite $\mathscr{D}$ ont pour coordonnées : A(20; 115) et B(45; 115).

2. c) On en déduit alors que l'artisan réalise un bénéfice pour l'intervalle de production suivant : [20; 45].
(On le remarque sur le graphique en ne conservant que l'intervalle sur lequel le coût unitaire est moins élevé que le prix de vente).

3. La recette $R(x)$ est : $\normalsize R(x) = 115x$

4. Le bénéfice se calcule de la manière suivante : Bénéfice = Recette pour $x$ meubles - Coût pour $x$ meubles, soit :
B(x) = 115x - C(x)
B(x) = 115x - x² - 50x - 900
B(x) = -x² + 65x - 900

5. On obtient alors :
B(20) = -(20)² + 65 × 20 - 900 = 0
B(45) = -(45)² + 65 × 45 - 900 = 0
B(30) = -(30)² + 65 × 30 - 900 = 150
Ces résultats sont en accord avec la réponse donnée en 2.c).

Publié par Tom_Pascal le 09-12-2015

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