Fiche de mathématiques

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Bac Sciences et Technologies Tertiaires
Action et Communication Administratives
Action et Communication Commerciales
Session 2006

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
Le candidat doit traiter les deux exercices.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

10 points

exercice 1

Un distributeur d'accès à Internet a mené une enquête auprès de ses abonnés pour étudier, en fonction de leur âge, la durée moyenne de connexion en fin de semaine.
On note $f$ la fonction représentant la durée moyenne de connexion (exprimée en minutes) en fonction de l'âge $x$ (exprimé en années).
La courbe $\mathscr{C}$ donnée en fin d'exercice est la représentation graphique de la fonction $f$ .

Partie A : étude graphique

1. a) Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 450$ .
On fera apparaître les traits de construction pour justifier la réponse.
b) Que signifie pour le distributeur d'accès à Internet la réponse à la question 1.a. ?

2. a) Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x) \leq 180$ .
On ne demande pas de justification.
b) Que signifie pour le distributeur d'accès à Internet la réponse à la question 2.a. ?

3. Quelle est la tranche d'âge des internautes qui se connectent au moins 6 heures ?
On ne demande pas de justification.

Partie B : étude de la fonction $f$

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [5 ; 75] par :

$f(x) = 0,016x^3 - 1,92x^2 + 57,6x + 50$ .

1. a) Calculer $f'e(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [5 ; 75], où $f'e$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ .
    b) Vérifier, en développant et en détaillant les calculs, que :
pour tout $x$ de l'intervalle [5 ; 75], $f'e(x) = 0,048(x-20)(x-60)$ .
    c) Etudier le signe de $f'e(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [5 ; 75].
    d) Etablir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [5 ; 75].

2. En déduire :
    a) la durée maximale de connexion (en heures et en minutes) ainsi que l'âge des internautes qui se connectent le plus longtemps.
    b) la durée minimale de connexion (en minutes) ainsi que l'âge des internautes qui se connectent le moins longtemps.

10 points

exercice 2

Ce même distributeur d'accès à Internet décide d'étudier l'évolution du nombre de ses abonnés de 1999 à 2005.

Partie A

Il a relevé dans le tableau ci-dessous l'évolution du nombre de ses abonnés en milieu urbain.

Année	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang $x_i$	1	2	3	4	5	6	7
Nombre y_id'abonnés en millions	0,5	3	6	8,4	12,1	15	18

1. Représenter le nuage de points A_i de coordonnées $(x_i ; y_i)$ dans un repère orthogonal d'unités :
1 cm pour une année en abscisse. On graduera l'axe jusqu'à 12.
1 cm pour 1 million d'abonnés en ordonnée. On graduera l'axe jusqu'à 27.

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage et le placer sur le graphique.

3. On choisit pour ajustement affine du nuage la droite D passant par G et de coefficient directeur égal à 3.
    a) Montrer que D a pour équation : $y = 3x - 3$
    b) Construire la droite D sur le graphique précédent.

4. On suppose que le nombre d'abonnés évolue en suivant cet ajustement.
    a) Déterminer par un calcul une estimation des abonnés en 2007 et vérifier la réponse graphiquement par un tracé en pointillés.
    b) Déterminer par un calcul à partir de quelle année le nombre d'abonnés dépassera 32 millions.

Partie B

Après une étude, le distributeur constate que le nombre d'abonnés en milieu rural correspond à une suite géométrique dont le premier terme, correspondant à l'année 1999, est u₁ = 9000 et la raison est q = 1,8 (on désigne par u_n le nombre d'abonnés l'année de rang n).

1. a) Vérifier qu'en 2000, le nombre d'abonnés u₂ = 16 200.
b) Calculer u₃ et u₄. On arrondira à l'entier le plus proche, si nécessaire.
c) Exprimer u_n en fonction de n.

2. Déterminer à l'aide de la calculatrice à partir de quelle année le nombre d'abonnés dépassera 32 millions ? On indiquera la méthode utilisée.

3. En utilisant la partie A et la partie B, déterminer dans quel milieu (rural ou urbain) les 32 millions d'abonnés seront dépassés en premier.

Voir la correction

exercice 1

Partie A : étude graphique

1. a) Graphiquement (tracé rouge), on trouve que $f(x) = 450$ pour $x = 10$ ou $x = 32$ .
Donc : $\scr{S}$ = {10 ;32}

1. b) Les abonnés qui se connectent 450 min (= 7 h 30 min) par semaine sont les abonnés de 10 ans et ceux de 32 ans.

2. a) Graphiquement (tracé bleu), on trouve que $f(x) \le 180$ pour $x$ compris entre 47 et 71.
Donc : $\scr{S}$ = [47 ; 71]

2. b) Les abonnés qui se connectent moins de 180 min (= 3h) par semaine sont les abonnés qui ont entre 47 et 71 ans.

3. La tranche d'âge qui se connecte moins de 6h (= 360 min) par semaine sont les abonnés qui ont moins de 7 ans ou plus de 37 ans (tracé vert).

Partie B : étude de la fonction f

1. a) $f$ est dérivable sur [5 ; 75] et pour tout $x$ de cet intervalle :
$f'(x) = 0,016 \times 3x^2 - 1,92 \times 2x + 57,6 = 0,048x^2 - 3,84x + 57,6$

1. b) On développe :
$0,048(x-20)(x-60) = (0,048x-0,048 \times 20)(x-60) \\ 0,048(x-20)(x-60) = (0,048x-0,96)(x-60) \\ 0,048(x-20)(x-60) = 0,048x^2-0,048x \times 60 - 0,96 x + 0,96 \times 60 \\ 0,048(x-20)(x-60) = 0,048x^2-2,88x - 0,96 x + 57,6 \\ 0,048(x-20)(x-60) = 0,048x^2-3,84x + 57,6$
Donc $f'(x) = 0,048(x-20)(x-60)$

1. c) Tableau de signe de $f'$ :
$\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline x&5&&20&&60&&75&\\ \hline {x-20}& &-&0&+&&+ \\ \hline {x-60}& &-&&-&0&+ \\ \hline {f'(x)=0,048(x-20)(x-60)}& &+&0&-&0&+ &\\ \hline \end{array}$

1. d) Une fonction est croissante (respectivement décroissante) si et seulement si sa dérivée est positive (respectivement négative), d'où le tableau de variations de $f$ :
$\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline x&5&&20&&60&&75&\\ \hline {f'(x)}& &+&0&-&0&+ &\\ \hline {f(x)}&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\ \hline \end{array}$
On complète le tableau de variation avec les valeurs :
$f(5) = 0,016\times5^3-1,92\times5^2+57,6\times5+50=292$
$f(20)=0,016\times20^3-1,92\times20^2+57,6\times20+50=562$
$f(60)=0,016\times60^3-1,92\times60^2+57,6\times60+50=50$
$f(75)=0,016\times75^3-1,92\times75^2+57,6\times75+50=320$
D'où le tableau de variations complété :
$\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline x&5&&20&&60&&75&\\ \hline {f'(x)}& &+&0&-&0&+ &\\ \hline {f(x)}&_{292}&\nearrow&^{562}&\searrow&_{50}&\nearrow&^{320}\\ \hline \end{array}$

2. a) La durée maximale de connexion est donc de 562 min = (60 × 9 + 22) min = 9 h 22 min par semaine, et est réalisée par les abonnées de 20 ans.

2. b) La durée minimale de connexion est donc de 50 min par semaine, et est réalisée par les abonnés de 60 ans.

exercice 2

1. Nuage de points
(l'échelle en ordonnée est modifiée par rapport à celle demandée)

2. Les coordonnées du point G sont données par $(\bar x \, , \, \bar y)$ où $\bar x$ et $\bar y$ sont les moyennes des séries $(x_i)$ et $(y_i)$ :
$\bar x = \frac{1+2+3+4+5+6+7}{7} = {28}{7} = 4$
$\bar y = \frac{0,5+3+6+8,4+12,1+15+18}{7} = \frac{63}{7}=9$
Le point G a donc pour coordonnées (4 ; 9).

3. a) Soit D la droite d'ajustement affine, passant par G et de coefficient directeur 3. L'équation de la droite est de la forme $y = ax + b$
son coefficient directeur est 3, donc $a = 3$ et $y = 3x+b$
la droite passe par G, donc $\bar y = 3 \bar x+b$ d'où $b = \bar y -3\bar x = 9-3\times4=9-12=-3$
La droite D a donc pour équation $y = 3x-3$ .

3. b) Cf. graphe de la question 1.

4. a) Le rang correpondant à l'année 2007 est 9. L'estimation du nombre d'abonnés suivant la droite d'ajustement affine est donc :
$y_9 = 3x_9-3 = 3\times9-3=27-3 = 24$ millions d'abonnés
Vérification graphique : cf. graphe de la question 1 (pointillé).

4. b) On cherche le premier rang tel que $y_i > 32$
$y_i>32 \: \Longleftrightarrow \: 3x_i-3 > 32 \: \Longleftrightarrow \: 3x_i>35 \: \Longleftrightarrow \: x_i>\frac{35}{3} = 11,66$
A partir du rang 12, le nombre d'abonnés dépassera donc les 32 millions. Le rang 12 correspond à l'année 2010.

Partie B

1. a) $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 9000$ et de raison $q = 1,8$ . On passe donc d'un terme à l'autre en multipliant par 1,8 :
pour tout entier strictement positif n, on a : $u_{n+1} = 1,8 u_n$
donc $u_2=1,8u_1=1,8 \times 9000=16200$

1. b) $u_3 = 1,8 u_2 = 1,8 \times 16200=29160$
$u_4 = 1,8u_3 = 1,8 \times 29160 = 52488$

1. c) De proche en proche, on a : $u_n = 1,8u_{n-1} = 1,8^2u_{n-2} = ... = 1,8^{n-1} u_1 = 9000\times1,8^{n-1}$

2. A l'aide de la calculatrice, on détermine les valeurs successives de la suite, en multipliant à chaque fois le terme précédent par 1,8 :
$u_5 = 94478 \hspace{25pt} u_6=170061 \hspace{25pt} u_7=306110 \hspace{25pt} u_8=550998 \hspace{25pt} u_9=991796 \hspace{25pt} u_{10}=1785234 \\ u_{11}=3213420 \hspace{25pt} u_{12}=5784157 \hspace{25pt} u_{13}=10411482 \hspace{25pt} u_{14}=18740668 \hspace{25pt} u_{15}=33733203$
Le nombre d'abonnés en milieu rural dépasse donc 32 millions à partir du rang 15, c'est-à-dire en 1999 + 15 - 1 = 2013.

3. En milieu urbain (partie A), le nombre d'abonnés dépassera les 32 millions en 2010, alors que le nombre d'abonnés en milieu rural (partie B) dépassera les 32 millions en 2013. C'est donc en milieu urbain que ce nombre sera dépassé en premier.

Publié par Pascal/Aurélien le 06-05-2008

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