Fiche de mathématiques

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Bac Sciences et Technologies Tertiaires
Action et Communication Administratives
Action et Communication Commerciales
La Réunion - Session 2006

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Ce sujet nécessite deux feuilles de papier millimétré.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Coefficient : 2 Durée : 2 heures

8 points

exercice 1

Dans une entreprise fabriquant de l'électroménager, le coût de production unitaire (exprimé en euros) pour $x$ centaines de machines à laver produites est donné par la fonction C définie par : $\text{C}(x) = \frac{300x + 200}{5x + 2} \text{ pour } x \in [1 ; 10]$ .

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Donner les valeurs arrondies au dixième d'euro près.

$x$	1	2	3	4	5	10
$\text{C}(x)$

2. a) Vérifier, en détaillant les calculs que : $\text{C}'(x) = -\frac{400}{(5x + 2)^2} \text{ pour } x \in [1 ; 10]$ . où C' désigne la fonction dérivée de la fonction C.
   b) Étudier le signe de $\text{C}'(x)$ pour $x$ élément de [1 ; 10]. En déduire sur l'intervalle [1 ; 10] le tableau de variations de $\mathscr{C}$ .

3. Tracer la représentation graphique de la fonction $\mathscr{C}$ dans un repère orthogonal. On prendra 1 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 1 cm pour unité sur l'axe des ordonnées, en commençant à 60 euros.

4. La direction de l'entreprise a fixé comme objectif à la production des machines à laver de ne pas dépasser un coût unitaire de 62 euros.
   a) Déterminer graphiquement à partir de combien de machines à laver produites l'objectif de la direction est atteint. Cette lecture devra être justifiée par un tracé en pointillés.
   b) Déterminer par un calcul à partir de combien de machines à laver produites l'objectif de la direction est atteint. 12 points

exercice 2

Dans une entreprise industrielle créée en 1970, on étudie l'évolution tous les 5 ans (au 31 décembre) du nombre d'intérimaires travaillant dans cette entreprise et de la proportion qu'ils représentent par rapport au nombre total de travailleurs de l'entreprise.

Partie A

L'évolution du nombre d'intérimaires travaillant dans cette entreprise le 31 décembre est donnée par le tableau suivant :

Année	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
Rang $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
Nombre y	15	30	55	80	105	130	165	180

1. Représenter le nuage de points de coordonnées ( $x$ ; y) associé aux données du tableau dans un repère orthogonal. On choisira sur l'axe des abscisses 2 cm pour une unité et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour 10 intérimaires.

2. Expliquer pourquoi ce nuage de points peut être ajusté par une droite.

3. a) Déterminer les coordonnées du point moyen G₁ des quatre premiers points (d'abscisses respectives : 1 ; 2 ; 3 ; 4) et celles du point moyen G₂ des quatre autres points.
   b) Placer G₁ et G₂ sur le graphique et tracer la droite (G₁G₂).
   c) Montrer qu'une équation de la droite (G₁G₂) est : y = 25 $x$ - 17,5.

4. On choisit la droite (G₁G₂) comme droite d'ajustement du nuage.
   a) Déterminer graphiquement, en faisant apparaître tous les tracés utiles, le nombre prévisible d'intérimaires dans cette entreprise le 31 décembre 2010.
   b) Trouver par le calcul le résultat du a).

Partie B

On estime que le pourcentage des intérimaires par rapport au nombre total de personnes travaillant dans cette entreprise est donné par la fonction p définie par : $p(x) = 0,6(1,7)^x \text{ pour } x \in [1 ; 10]$ .

1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Donner les pourcentages ainsi calculés à 10^-1 près.

Année	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
Rang $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
Pourcentage $p(x)$	1			5		14,5		41,9

2. À l'aide des deux tableaux précédents, recopier et compléter le tableau ci-dessous :

Année	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
Nombre total de travailleurs		1 765	1 897		1 235		671

3. Au 31 décembre 2010, si on estime que le nombre d'intérimaires sera de 208 et que le pourcentage de ceux-ci par rapport au nombre total de personnes travaillant dans cette entreprise sera encore donné par la fonction $p(x)$ , calculer quel serait alors le nombre de salariés non intérimaires de cette entreprise.

Voir la correction

exercice 1

1. Tableau complété :

$x$	1	2	3	4	5	10
$C(x)$	71,4	66,7	64,7	63,6	63,0	61,5

2. a) On peut poser $u(x) = 300x + 200$ et $v(x) = 5x + 2$ . Alors $C(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$
C est dérivable sur son ensemble de définition [1 ; 10] comme quotient de fonctions dérivables et $C' = \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$
$\forall x \in[1 \, ; \, 10] \hspace{15pt} C'(x)=\frac{300(5x+2)-(300x+200) \times 5}{(5x+2)^2} = \frac{1500x+600-1500x-1000}{(5x+2)^2} = -\frac{400}{(5x+2)^2}$

2. b) Un carré est toujours positif ou nul et sur [1 ; 10], $5x+2 \neq 0$ donc $(5x+2)^2 > 0$ , d'où :
$C'(x) = -\frac{400}{(5x+2)^2} < 0$
Une fonction est strictement croissante (respectivement décroissante) si et seulement si sa dérivée est positive (respectivement négative). Or C' est négative sur [1 ; 10], donc C est strictement décroissante sur [1 ; 10].
$\begin{array}{|l|lcr|} \hline x & 1 & & 10 \\ \hline \hspace{1pt} & 71,4 & & \\ C(x) & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & & & 61,5 \\ \hline \end{array}$

3. Représentation graphique de la fonction :

sujet de bac STT La Réunion 2006 : image 1

4. a) Graphiquement, on trouve que le coût unitaire sera inférieur à 62 € si la quantité produite est supérieure à 8 machines à laver.

4. b) $C(x) < 62 \: \Longleftrightarrow \: \frac{300x + 200}{5x+2} < 62 \: \Longleftrightarrow \: 300x + 200 < 62(5x+2) \: \Longleftrightarrow \: 300x + 200 < 310x + 124 \: \Longleftrightarrow 76 < 10x \: \Longleftrightarrow x > 7,6$
On retrouve donc qu'il faut que la quantité de machines à laver porduites soit supérieure à 8.

exercice 2

Partie A

1. Nuage de points
(l'échelle sur l'axe des ordonnées est modifiée par rapport à celle demandée dans l'énoncé).

sujet de bac STT La Réunion 2006 : image 2

2. Sur le graphe, on remarque que les points du nuage se répartissent autour d'une droite, que l'on appelle droite d'approximation affine.

3. a) Les coordonnées des points G₁ et G₂ sont données par $(\bar x_1,\bar y_1)$ et $(\bar x_2,\bar y_2)$ où les $\bar x_i$ et $\bar y_i$ sont les moyennes des 4 premiers ou derniers points :
$\bar x_1 = \frac{1+2+3+4}{4} = 2,5$
$\bar x_2=\frac{5+6+7+8}{4} = 6,5$
$\bar y_1 = \frac{15+30+55+80}{4} = 45$
$\bar y_2=\frac{105+130+165+180}{4}=145$
Les coordonnées de G₁ sont donc (2,5 ; 45) et celles de G₂ (6,5 ; 145).

3. b) Cf. graphe de la question 1.

3. c) (G₁G₂) est une droite, son équation est donc la forme $y=ax+b$
Or elle passe par G₁ et G₂, donc :
$\lbrace {\bar y_1 = a\bar x_1+b \atop \bar y_2=a\bar x_2+b} \. \: \Longleftrightarrow \: \lbrace {45 = 2,5a+b\atop 145=6,5a+b} \. \: \Longleftrightarrow \: \lbrace {45=2,5a+b\atop 100 = 4a} \. \: \Longleftrightarrow \: \lbrace {45=2,5\times25+b\atop a=25} \. \: \Longleftrightarrow \: \lbrace {b=45-62,5=-17,5 \atop a=25}$
L'équation de la droite (G₁G₂) est donc $y = 25x - 17,5$

Autre méthode possible : étant donné que l'équation de la droite est donnée dans l'énoncé, on peut se contenter de vérifier que les points G₁ et G₂ y appartiennent en montrant que leurs coordonnées vérifient bien l'équation.

3. a) Le 31 décembre 2010 correspond au rang 9. On détermine graphiquement que cela correspond à environ 210 intérimaires.

3. b) Pour $x = 9$ , on calcule $y = 25\times 9 - 17,5 = 207,5$

Partie B

Année	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
Rang $x$	1	2	3	4	5	6	7	8
Pourcentage $p(x)$	1	1,7	2,9	5	8,5	14,5	24,6	41,9

2. On connaît le nombre d'intérimaires (tableau A) et le pourcentage auquel correspond (tableau B). Or pourcentage = nombre d'intérimaires / nombre total de travailleurs
On en déduit donc le nombre total de travailleurs : nombre total de travailleurs = nombre d'intérimaires / pourcentage

Année	1970	1975	1980	1985	1990	1995	2000	2005
Nombre total de travailleurs	1500	1765	1897	1600	1235	897	671	430

3. Si le pourcentage suit toujours la fonction $p(x)$ , alors au 31 décembre 2010 (rang 9) il y aura : $p(9) = 0,6 \times 1,7^9 = 71,2$ , soit 71,2 %.
De même que précédemment, on détermine que cela représente : $\frac{208}{\frac{71,2}{100}} = 292$ travailleurs au total,
soit : 292 - 208 = 84 employés non intérimaires.

Publié par Cel/Aurélien le 06-05-2008

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