Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Septembre 2006
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6 points
exercice 1
Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque question, indiquer sur la copie la réponse exacte.
Une bonne réponse rapporte 1 point.
Une réponse fausse enlève 0,5 point.
L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à 0.
1. Le nombre réel est égal à :
A. 2
B.
C. 4
2. L'équation a pour solution(s) dans :
A. 0
B. e
C. -1 et 1
3. Une valeur approchée à l'unité près de est :
A. 6 931
B. 693
C. 69 315
4. La dérivée de la fonction définie sur l'intervalle par , est définie par :
A.
B.
C.
5. Dans un repère, une équation de la tangente au point d'abscisse e à la courbe représentative de la fonction définie sur l'intervalle par est :
A.
B.
C.
6. La fonction étant définie sur l'intervalle ]0 ; 10[ par , on peut affirmer que :
A. L'équation admet une solution unique sur l'intervalle ]0 ; 10[
B. La fonction est décroissante sur l'intervalle ]0 ; 10[
C. La fonction dérivée de la fonction s'annule une fois en changeant de signe sur l'intervalle ]0 ; 10[
8 points
exercice 2
On enregistre un son correspondant à une certaine note de musique. Ce son est analysé à l'oscilloscope. On obtient la courbe, donnée sur le document 1 de l'annexe 1 (ci-dessous).
La courbe obtenue est celle d'une fonction périodique de variable , où est le temps exprimé en millisecondes.
A. Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes. On justifiera chaque réponse.
1. On désigne par la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle [0 ; 14].
a) Quel est le signe de la fonction sur l'intervalle [2 ; 4] ?
b) Quel est le signe de la fonction sur l'intervalle [9 ; 11] ?
2. a) Déterminer le nombre de solutions de l'équation sur l'intervalle [1 ; 10].
b) Donner une valeur approchée à 0,2 ms près de la solution qui appartient à l'intervalle [3 ; 4].
B. On sait que la période , exprimée en ms, de la fonction est comprise entre 0 et 14.
1. Déterminer graphiquement la valeur de arrondie au dixième.
2. Déterminer la fréquence en Hz de la note (on rappelle que la fréquence en Hz est l'inverse de la période exprimée en s). On donnera le résultat arrondi à l'unité.
3. En utilisant le document 2 de l'annexe 1 (ci-dessous), en déduire la note jouée.
ANNEXE 1
Document 1 : Graphique de la fonction pour : en abscisse, une unité correspond à 1 ms, c'est-à-dire 0,001 seconde.
Document 2 : Fréquence en hertz des notes de la gamme tempérée, arrondie à 1 hertz
DO
RE
MI
FA
SOL
LA
SI
Octave 0
33
37
41
44
49
55
62
Octave 1
65
73
82
87
98
110
123
Octave 2
131
147
165
175
196
220
247
Octave 3
262
294
330
349
392
440
494
Octave 4
523
587
659
698
784
880
988
6 points
exercice 3 (au choix) Enseignement obligatoire
Une urne contient des jetons de trois couleurs (blanc, vert et jaune) et de deux formes différentes (rond et carré).
La moitié des jetons sont blancs.
Le tiers des jetons sont verts.
Tous les autres jetons sont jaunes.
Parmi les jetons blancs, la moitié sont ronds.
Parmi les jetons verts, les trois dixièmes sont ronds.
Parmi les jetons jaunes, les deux cinquièmes sont ronds.
Tous les autres jetons sont carrés.
On tire au hasard un jeton de l'urne. On considère que chacun des jetons a la même probabilité d'être tiré.
On note :
B l'évènement « le jeton est blanc »
V l'évènement « le jeton est vert »
J l'évènement « le jeton est jaune »
R l'évènement « le jeton est rond »
C l'évènement « le jeton est carré ».
On donnera les probabilités sous la forme de fractions irréductibles.
1. Déterminer la probabilité pour que le jeton tiré soit jaune.
2. Donner un arbre de probabilités correspondant à la situation décrite par l'énoncé.
3. À l'aide de cet arbre, déterminer la probabilité :
a) Que le jeton tiré soit rond.
b) Que le jeton tiré ne soit ni blanc, ni carré.
4. Sachant que le jeton tiré est rond, quelle est la probabilité qu'il soit jaune ?
6 points
exercice 4 (au choix) Enseignement renforcé
Soit la fonction définie sur l'intervalle par : .
Sur l'annexe 2, on a tracé la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
1. Tracer la droite d'équation sur l'annexe 2 à rendre avec la copie.
2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle .
a) Démontrer que pour tout de l'intervalle .
b) Étudier le signe de la fonction sur l'intervalle . On pourra s'aider d'un tableau.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle .
3. On considère le domaine plan délimité par les droites d'équations et , la droite et la courbe .
a) Hachurer soigneusement ce domaine sur l'annexe 2 à rendre avec la copie.
b) On indique que si est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction définie sur l'intervalle I par a pour dérivée la fonction
définie sur l'intervalle I par .
En appliquant cette formule, donner la dérivée de la fonction définie sur l'intervalle par .
c) Montrer que la mesure exprimée en cm, de l'aire du domaine hachuré à la question 3. a), est égale à .
Calculer la valeur exacte de .
3. La réponse correcte est A. On a : , or on sait que , d'où le résultat.
4. La réponse correcte est A. Sur
5. La réponse correcte est B. Sur donc On en déduit que les réponses A et C ne peuvent pas être retenues car les coefficients directeurs dans ces deux cas valent 1.
6. La réponse correcte est C. Sur ]0 ; 10[, et pour en changeant de signe.
exercice 2
A. Analyse du graphique 1. a) Sur l'intervalle [2 ; 4][, la fonction est strictement décroissante,
donc :
1. b) Sur l'intervalle [9 ; 11], la fonction est strictement croissante,
donc :
2. a) Le nombre de solutions de l'équation sur l'intervalle [1 ; 10] correspond au nombre de points d'intersection de la courbe de avec l'axe des abscisses sur cet intervalle.
Graphiquement, on déduit :
Il y a 3 solutions de l'équation proposée sur [1 ; 10].
2. b) Lecture directe sur le graphique :
B.1. Directement à partir du graphique aussi :
2. On a : (T a été exprimé en seconde)
3. A partir du tableau, on constate que la note est donc : le SOL de l'octave 1.
exercice 3 (au choix) Enseignement obligatoire
1.
2.
3. a)
3. b)
4.
exercice 4 (au choix) Enseignement renforcé
1.
2. a) Pour tout réel appartenant à l'intervalle :
2. b) Puisque et sont positifs sur , le signe de est donc celui de sur Donc :
2. c) Tableau de variations :
3. a) Voir 1. Il suffit de prendre deux points.
3. b) Dans notre cas, , donc : Pour tout de
3. c) Le domaine est délimité par les droites d'équations et , la droite et la courbe . Sur la représentation graphique, on voit que sur l'intervalle considéré, la courbe est toujours au dessus de la droite .
De plus, 1 u.a. = 1 cm², alors :
Valeur exacte :
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 - \ln \left(\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)+ 2\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right))
est égal à :
 = 0)
a pour solution(s) dans 
:
)
est :
de la fonction 
définie sur l'intervalle ![]0~;~ + \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0~;~ + \infty[)
par =x(\ln x - 1))
, est définie par :
définie sur l'intervalle ![]0 ~;~ + \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0 ~;~ + \infty[)
par  = x+ \ln x)
est :
=(\ln x)^2 -2\ln x)
, on peut affirmer que :
, où  = 0)
sur l'intervalle [1 ; 10].
, exprimée en ms, de la fonction ![t \in [0 ; 14]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?t \in [0 ; 14])
: en abscisse, une unité correspond à 1 ms, c'est-à-dire 0,001 seconde.
![]-1 ; + \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1 ; + \infty[)
par :  = x - 1 + \dfrac{4}{ x+1})
.
représentative de la fonction )
d'unité graphique 1 cm.
d'équation 
sur l'annexe 2 à rendre avec la copie.
la fonction dérivée de la fonction ![]-1 ~;~ + \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1 ~;~ + \infty[)
.
 = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x+1)^2})
pour tout 
de l'intervalle 
et 
, la droite 
est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction ![g(x) = ln [u (x)]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x) = ln [u (x)])
a pour dérivée la fonction  = \dfrac{u'(x)}{u(x)})
.
définie sur l'intervalle  = 4\ln (x + 1))
.
exprimée en cm
, de l'aire du domaine hachuré à la question 3. a), est égale à 
.
 - \ln \left(\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)+ 2\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right) =\ln \left( e^3\right) + \ln \left(\text{e}^2\right)+ \ln \left(\dfrac{1}{\text{e}}\right) =3+2-1=\boxed{4})
^2\right)=\ln 1=\boxed{0})
et =\ln 1=\boxed{0} )
, or on sait que 
, d'où le résultat.
=x'(\ln x - 1)+x(\ln x-1)'=1(\ln x-1)+x\dfrac{1}{x}=\ln x-1+1=\boxed{\ln x})
=1+\dfrac{1}{x})
donc =1+\dfrac{1}{\text{e}})
=\left((\ln x)^2-2\ln x\right)'=2\times\dfrac{1}{x}\ln x -2\times\dfrac{1}{x}=2\times\dfrac{1}{x}(\ln x -1))
=0)
pour 
en changeant de signe.
![\boxed{\text{ pour } x\in[2;4]~ g'(x)<0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ pour } x\in[2;4]~ g'(x)<0})
![\boxed{\text{ pour }x \in [9;11]~ g'(x)>0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\text{ pour }x \in [9;11]~ g'(x)>0})
(T a été exprimé en seconde)
=1-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{6-3-2}{6}=\boxed{\dfrac{1}{6}})
=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{2}{5}=\boxed{\dfrac{5}{12}})
=\dfrac{P(J\cap R)}{P(R)}=\dfrac{\frac{1}{15}}{\frac{5}{12}}=\boxed{\dfrac{4}{25}})
![]-1,+ \infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,+ \infty[)
:
 =1-4\dfrac{1}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-4}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-2^2}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1-2)(x+1+2)}{(x+1)^2}=\boxed{\dfrac{(x-1)(x+3)}{(x+1)^2}})
^2)
et 
sont positifs sur ![]-1,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1,+\infty[)
, le signe de )
est donc celui de 
sur ![\boxed{f'(x)\ge 0 \text{ sur } [1,+\infty[ \text{ et } f'(x)\le 0 \text{ sur } ]-1,1]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{f'(x)\ge 0 \text{ sur } [1,+\infty[ \text{ et } f'(x)\le 0 \text{ sur } ]-1,1]})
 & \dbarre & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & & \decroit & 2 & \croit & \\ \hline \end{tabvar})
=x+1)
, donc : =1)
![]-1;+\infty[ \text{ : } H'(x)=\boxed{\dfrac{4}{x+1}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-1;+\infty[ \text{ : } H'(x)=\boxed{\dfrac{4}{x+1}})
![\mathcal{A}=\displaystyle \int_1^3 [f(x)-y] \text{ d}x=\int_1^3 [f(x)-(x-1)] \text{ d}x=\boxed{\int_1^3\dfrac{4}{x+1}\text{ d}x (u.a) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}=\displaystyle \int_1^3 [f(x)-y] \text{ d}x=\int_1^3 [f(x)-(x-1)] \text{ d}x=\boxed{\int_1^3\dfrac{4}{x+1}\text{ d}x (u.a) })
![\mathcal{A}=\displaystyle [H(x)]_1^3=H(3)-H(1)=4\left(\ln(3+1)-\ln (1+1)\right)=4(\ln 4-\ln 2)=4(2\ln 2-\ln 2)=\boxed{4\ln 2\text{ cm}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\mathcal{A}=\displaystyle [H(x)]_1^3=H(3)-H(1)=4\left(\ln(3+1)-\ln (1+1)\right)=4(\ln 4-\ln 2)=4(2\ln 2-\ln 2)=\boxed{4\ln 2\text{ cm}^2})
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