Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Juin 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
8 points

exercice 1

Les chiffres du tourisme de la région Centre

(d'après source enquête de clientèle BVA/CRT 2002)
La région Centre accueille chaque année un grand nombre de touristes français et étrangers qui passent un total de 18,5 millions de nuitées dans la région. Ces nuitées se décomposent en deux types d'hébergement :
    L'hébergement marchand (hôtels, auberges, campings...)
    L'hébergement non-marchand (familles, amis, résidence secondaire...)

Les hébergements se répartissent de la façon suivante entre touristes français et étrangers :
    Les touristes étrangers passent 3,85 millions de nuitées dans des hébergements marchands.
    78 % des nuitées sont d^ues à des touristes français.
    50,4 % des nuitées sont passées en hébergement marchand.

1. Calculer le nombre de nuitées des touristes français ainsi que le nombre de nuitées passées en hébergement marchand.

2. Recopier et compléter le tableau suivant où tous les résultats seront donnés en milliers de nuitées.
 Touristes françaisTouristes étrangersTotal
Hébergement marchand 3 850 
Hébergement non-marchand   
Total  18 500

3. Déterminer le pourcentage, arrondi à l'entier le plus proche, de nuitées passées en hébergement marchand parmi les touristes étrangers.

On réalise une enquête auprès des clients ayant passé un nuit en région Centre en 2002. On considère que tous les clients ont la même probabilité d'être interrogés.

4. Calculer la probabilité des événements suivants :
on donnera les résultats à 0,01 près.
    A : "le client est un touriste étranger".
    B : "Le client est français et sa nuitée est en hébergement non-marchand".


12 points

exercice 2

Problème : Le parc des chambres d'hôtes dans la région Centre

(source Mémento 2004)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : étude d'une suite

En 2004 on dénombrait 1 900 chambres d'hôtes dans la région Centre. On estime que, chaque année, le nombre de chambres d'hôtes dans la région augmente de 3 % par rapport à l'année précédente.

On appelle u_0 le nombre de chambres d'hôtes en 2004 (c'est à dire u_0=1 900), u_1 le nombre de chambres d'hôtes en 2005... et de façon générale u_n le nombre de chambres d'hôtes en (2004 + n).

1. Déterminer u_1 et u_2 (arrondir à l'entier le plus proche).

2. a) Exprimer u_{n+1} en fonction de u_n.
    b) En déduire le nature de la suite, son premier terme et sa raison.

3. a) Exprimer u_n en fonction de n uniquement.
    b) En déduire le nombre de chambres d'hôtes prévisible en 2015 (arrondir à l'entier le plus proche).

Partie B : étude d'une fonction

En fait, le nombre annuel de chambres d'hôtes dans la région Centre peut également être donné par la fonction f définie sur [0 ; 15] par :\displaystyle f(x)=1 900 e^{0,03x}x est le nombre d'années écoulées depuis 2004.
(Par exemple f(0)=1 900 donne le nombre d'hôtes en 2004).

On se propose d'étudier cette fonction.

1. Montrer que : f'(x)=57 e^{\displaystyle{0,03x}}

2. a) Etudier le signe de f'(x) sur [0 ; 15].
    b) En déduire le tableau de variations de f sur [0 ; 15].
Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir les valeurs à la dizaine près).
x012461015
f(x)       


3. Tracer sur papier millimétré la courbe représentative de f dans un repère orthogonal du plan ; unité graphiques :
    1 cm sur l'axe des abscisses.
    sur l'axe des ordonnées et commencer à graduer à 1 900, puis 1 cm pour 50.

4. Déterminer graphiquement (justifier par un tracé en pointillés) puis par un calcul le nombre de chambres d'hôtes en 2015 grâce à la fonction f.
[On constatera que le résultat ainsi obtenu est sensiblement égal au résultat obtenu à la question A. 3.b)].



exercice 1

1. Le nombre de nuitées des touristes français est \dfrac{78\times 18,5}{100}=\boxed{14,43 \text{ millions}}
Le nombre de nuitées passées en hébergement marchand est \dfrac{50,4\times 18,5}{100}=\boxed{9,324\text{ millions}}

2.
Dans ce tableau, les résultats sont demandés en milliers de nuitées.
Exemple : 18,5 millions = 18 500 milliers.
On utilise alors les deux résultats calculés à la question 1. pour commencer à remplir le tableau.

 Touristes françaisTouristes étrangersTotal
Hébergement marchand5 3263 8509 176
Hébergement non-marchand9 1042209 324
Total14 4304 07018 500

3. Le pourcentage de nuitées passées en hébergement marchand parmi les touristes étrangers est : \dfrac{220}{4070}\approx0,5405
Soit, arrondi à l'entier le plus proche, \boxed{\approx 54\%}

4. p(A)=\dfrac{4070}{18500}=\boxed{0,22}\text{ et } p(B)=\dfrac{9104}{18500}\boxed{\approx0,49}




exercice 2

Partie A : étude d'une suite

1. u_1=1900+\dfrac{3}{100}\times 1900=1957
u_2=1957+\dfrac{3}{100}\times1957\approx 2016

2. a) Pour tout entier naturel n~,~u_{n+1}=u_n+\dfrac{3}{100}u_n= \left(1 + \dfrac{3}{100} \right) u_n=1,03u_n

2. b) Tout terme se déduit du précédent par multiplication par la constante 1,03. La suite (u_n) est donc une suite géométrique de raison 1,03. Son premier terme est u_0=1900

3. a) On en déduit que u_n=(1,03)^{(n-0)}\times u_0 soit \boxed{u_n=(1,03)^n\times 1900}

3. b) On a : 2015 - 2004 = 11 donc, le nombre de chambres d'hôtes en 2015 est u_{11}=1,03^{11}\times 1900 \boxed{\approx2630}

Partie B : étude d'une fonction

1. Pour x appartenant à [0 ; 15], soit f(x)=1900\tex{e}^{0,03x}
f'(x)=1900\times0,03\tex{e}^{0,03x}=57\tex{e}^{0,03x}

2. a) Une exponentielle étant toujours strictement positive, \text{e}^{0,03x}>0~,~57>0~\text{donc }f'(x)> 0

2. b) On en déduit que f est strictement croissante sur [0 ; 15], d'où le tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCC|}\hline x& 0 & & 15 \\\hline f'(x) & &+ &\\\hline\niveau{2}{3} f& 1900 & \croit& f(15)\\\hline\end{tabvar}

f(15)=1900\tex{e}^{0,03\times15}\approx2979,79
Dans le tableau, les valeurs sont demandées arrondies à la dizaine. La valeur 2979,79 est donc arrondie à 2980.
Il en est fait de même avec les autres valeurs.

x012461015
f(x)1900196020202140227025602980


3. Courbe représentative de f
Bac hôtellerie Métropole 2006 - terminale : image 1


4. Le réel x correspond au nombre d'années écoulées depuis 2004. Le nombre de chambres d'hôtes en 2015 est donc l'image de 11 par f soit f(11).
Sur le graphique, il suffit de tracer la droite d'équation x=11 et de chercher l'ordonnée du point d'intersection de cette droite avec la courbe représentative de f.
On lit : le nombre de chambres d'hôtes en 2015 est d'environ 2640.

Par le calcul, le nombre de chambre d'hôtes en 2015 est :
f(11)=1900\tex{e}^{0,03\times11}\approx2642,83 ce qui donne, en arrondissant à la dizaine comme dans les questions précédentes environ 2640.

On constate que le résultat ainsi obtenu est sensiblement égal au résultat obtenu dans la partie A.
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