Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2006

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Durée de l'épreuve : 1 heure 30       Coefficient : 2

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
9 points

exercice 1

Un restaurateur veut acheter des tables et des chaises pour son restaurant.
Il veut au moins 15 tables et 70 chaises.
Un fournisseur A lui propose un lot de 1 table et 6 chaises pour 75 €.
Un fournisseur B lui propose un lot de 1 table et 4 chaises pour 60 €.
On désigne par x le nombre de lots A et y le nombre de lots B achetés par le restaurateur.

1. On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; I, J) (unité : 1 cm).
(On ne prendra que les abscisses et les ordonnées positives).
Sur l'annexe, tracer les droites D_{1} et D_{2} d'équations respectives y = -x + 15 et y = -1,5x + 17,5.
Bac hôtellerie Métropole Septembre 2006 - terminale : image 1


2. Soit le système (S) : \left\lbrace \begin{array}{l c l} x + y&\ge& 15 \\ 3x + 2y &\ge &35 \\ x&\ge&0 \\ y & \ge&0 \\ \end{array}\right.
Vérifier que les contraintes sur x et y pour qu'il y ait suffisamment de tables et de chaises se traduisent par le système (S) avec x et y entiers.

3. Dans le repère de l'annexe, déterminer l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.

4. On note C le coût de x lots A et y lots B.
    a) Exprimer C en fonction de x et de y.
    b) Montrer que y = - \dfrac{5}{4}x + 19 est une équation de la droite D correspondant à un coût C de 1 140 €.
    c) Tracer D dans le repère de l'annexe 1.
    d) Déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B à acheter pour que le coût soit minimum.
Quel est ce coût minimum ?


11 points

exercice 2

Les parties A et B sont indépendantes.
Tous les résultats seront arrondis à l'unité près.

Partie A

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 45] par
f(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2.
On appelle \mathcal{C} la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthogonal (O ; I, J).
On prendra, sur une feuille de papier millimétré, comme unités graphiques 1 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 500 unités sur l'axe des ordonnées.

1. Calculer f'(x) et vérifier que f'(x) = x(- x + 30).

2. Étudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variations de f sur l'intervalle [0 ; 45].

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
x051015202530354045
f(x)      4 500   

4. Calculer f'(0). Que peut-on en déduire pour la tangente T à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0.

5. Tracer la courbe \mathcal{C} et la tangente T.

Partie B

Un producteur de cuisines équipées produit et vend chaque mois x cuisines équipées d'un certain modèle.
On admet que le bénéfice mensuel en euros est donné par B(x) = -\dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2.

1. Utiliser la partie A afin de déterminer pour quelle valeur de x le bénéfice est maximum.
Quel est le bénéfice maximum ?

2. Déterminer graphiquement les quantités de cuisines équipées produites et vendues correspondant à un bénéfice d'à peu près 3 500 €.

3. Déterminer dans quel intervalle doit être choisi x pour que le bénéfice soit supérieur à 3 500 €.



exercice 1

1.
Bac hôtellerie Métropole Septembre 2006 - terminale : image 3

2. Une organisation possible de cet énoncé peut être réalisée à travers un tableau comme suit :

 TablesChaisesNombre de lotsCoût
Fournisseur A16x (\geq 0)75x
Fournisseur B14y (\geq 0)60 y
Objectif\geq 15\geq 70&  

Ce qui donne :
\left\lbrace \begin{array}{l c l} x + y&\ge& 15 \\ 6x + 4y &\ge &70 \\ x&\ge&0 \\ y & \ge&0 \\ \end{array}\right

Il est aisé de montrer que ce système équivaut au système proposé.

3. Voir la partie hachurée en bleu sur la figure en-dessus (en remarquant que les points à coordonnées entières des droites D1 et D2 appartiennent à l'ensemble solution)

4. a) Puisque le coût d'un lot du fournisseur A est 75 euros et celui d'un lot du fournisseur B est 60 euros.
Le coût de x lots de A et y lots de B est :
\boxed{C=75x+60y}


4. b) On a dans ce cas : C=1140\text{ euros}, donc :
1140=75x+60y\Longleftrightarrow 60y=-75x+1140\Longleftrightarrow y=-\dfrac{75}{60}+\dfrac{1140}{60}\Longleftrightarrow \boxed{y = - \dfrac{5}{4}x + 19}
4. c) Voir figure ci-dessus.

4. d) On déplace la droite (D) vers le bas, en la laissant parallèle, jusqu'au dernier point appartenant à la partie correspondante au système (S), c'est-à-dire la partie non hachurée (en tenant compte du fait que les contours sont inclus).
Le dernier point qu'on peut atteindre avec cette droite (D) est le point E(5;10)
Conclusion :
Le couple qui assurera un coût minimal est : (5 ; 10)

Le coût minimal sera alors obtenu en remplaçant dans C=75x+60y le couple (x;y) par (5 ; 10).
Le coût minimal est donc : 75\times 5+60\times10=\boxed{975\text{ euros}}




exercice 2

Partie A

1. Pour tout réel x appartenant à [0 ; 45] :
f'(x)=\left(-\dfrac{1}{3}x^3 + 15x^2\right)'=-3\times\dfrac{1}{3}x^2+2\times 15x=\boxed{-x^2+30x}
De plus, on vérifie aisément que \boxed{f'(x)=x(-x+30)} en factorisant par x dans l'expression ci-dessus.

2. Puisque x est positif, le signe de f'(x) est celui de -x+30, on a donc directement :
\boxed{f'(x)\leq 0 \text{ dans } [30,45] \text{ et } f'(x)\geq 0 \text{ dans } [0,30]}

Tableau de variation :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x                     & 0       &          & 30               &        & 45   \\ \hline f'(x)                 &  & +       & \barre{0}            &  -     &           \\ \hline \niveau{2}{3} f      &  & \croit &    f(30)                  & \decroit &    \\ \hline \end{tabvar}

3. Tableau :
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
f(x) 0 333 1167 2250 3333 4167 4500 4083 2667 0


4. f'(0)=0\times (0+30)=\boxed{0}
La tangente T à la courbe \mathcal{C} au point d'abscisse 0 est confondue avec l'axe des abscisses.

5. Tracé :
Bac hôtellerie Métropole Septembre 2006 - terminale : image 2


Partie B

1. Puisque la fonction f étudiée à la partie A présente un maximum en x=30, donc:
Pour x=30, le bénéfice est maximal et vaut B(30) = 4 500 euros.

2.
Bac hôtellerie Métropole Septembre 2006 - terminale : image 4

Les nombres de cuisines correspondants sont : 21 et 38.

3. D'après le tracé, x doit appartenir à l'intervalle [21; 38].
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