Baccalauréat Technologique
Série Hôtellerie
Métropole - Session Septembre 2006
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Durée de l'épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.
9 points
exercice 1
Un restaurateur veut acheter des tables et des chaises pour son restaurant.
Il veut au moins 15 tables et 70 chaises.
Un fournisseur A lui propose un lot de 1 table et 6 chaises pour 75 €.
Un fournisseur B lui propose un lot de 1 table et 4 chaises pour 60 €.
On désigne par le nombre de lots A et le nombre de lots B achetés par le restaurateur.
1. On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O ; I, J) (unité : 1 cm).
(On ne prendra que les abscisses et les ordonnées positives).
Sur l'annexe, tracer les droites et d'équations respectives et .
2. Soit le système (S) :
Vérifier que les contraintes sur et pour qu'il y ait suffisamment de tables et de chaises se traduisent par le système (S) avec et entiers.
3. Dans le repère de l'annexe, déterminer l'ensemble des points du plan dont les coordonnées vérifient le système (S) en hachurant la partie du plan qui ne convient pas.
4. On note le coût de lots A et lots B.
a) Exprimer en fonction de et de .
b) Montrer que est une équation de la droite correspondant à un coût de 1 140 €.
c) Tracer dans le repère de l'annexe 1.
d) Déterminer le nombre de lots A et le nombre de lots B à acheter pour que le coût soit minimum.
Quel est ce coût minimum ?
11 points
exercice 2
Les parties A et B sont indépendantes.
Tous les résultats seront arrondis à l'unité près.
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 45] par
.
On appelle la courbe représentative de dans le plan muni d'un repère orthogonal (O ; I, J).
On prendra, sur une feuille de papier millimétré, comme unités graphiques 1 cm pour 5 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 500 unités sur l'axe des ordonnées.
1. Calculer et vérifier que .
2. Étudier le signe de et en déduire le tableau de variations de sur l'intervalle [0 ; 45].
3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
4 500
4. Calculer . Que peut-on en déduire pour la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
5. Tracer la courbe et la tangente .
Partie B
Un producteur de cuisines équipées produit et vend chaque mois cuisines équipées d'un certain modèle.
On admet que le bénéfice mensuel en euros est donné par .
1. Utiliser la partie A afin de déterminer pour quelle valeur de le bénéfice est maximum.
Quel est le bénéfice maximum ?
2. Déterminer graphiquement les quantités de cuisines équipées produites et vendues correspondant à un bénéfice d'à peu près 3 500 €.
3. Déterminer dans quel intervalle doit être choisi pour que le bénéfice soit supérieur à 3 500 €.
2. Une organisation possible de cet énoncé peut être réalisée à travers un tableau comme suit :
Tables
Chaises
Nombre de lots
Coût
Fournisseur A
1
6
Fournisseur B
1
4
Objectif
Ce qui donne :
Il est aisé de montrer que ce système équivaut au système proposé.
3. Voir la partie hachurée en bleu sur la figure en-dessus (en remarquant que les points à coordonnées entières des droites D1 et D2 appartiennent à l'ensemble solution)
4. a) Puisque le coût d'un lot du fournisseur A est 75 euros et celui d'un lot du fournisseur B est 60 euros.
Le coût de lots de A et lots de B est :
4. b) On a dans ce cas : , donc :
4. c) Voir figure ci-dessus.
4. d) On déplace la droite vers le bas, en la laissant parallèle, jusqu'au dernier point appartenant à la partie correspondante au système , c'est-à-dire la partie non hachurée (en tenant compte du fait que les contours sont inclus).
Le dernier point qu'on peut atteindre avec cette droite est le point
Conclusion :
Le couple qui assurera un coût minimal est : (5 ; 10)
Le coût minimal sera alors obtenu en remplaçant dans le couple par (5 ; 10).
Le coût minimal est donc :
exercice 2
Partie A
1. Pour tout réel appartenant à [0 ; 45] :
De plus, on vérifie aisément que en factorisant par dans l'expression ci-dessus.
2. Puisque est positif, le signe de est celui de , on a donc directement :
Tableau de variation :
3. Tableau :
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
333
1167
2250
3333
4167
4500
4083
2667
0
4. La tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est confondue avec l'axe des abscisses.
5. Tracé :
Partie B
1. Puisque la fonction étudiée à la partie A présente un maximum en , donc:
Pour , le bénéfice est maximal et vaut B(30) = 4 500 euros.
2.
Les nombres de cuisines correspondants sont : 21 et 38.
3. D'après le tracé, doit appartenir à l'intervalle [21; 38].
Publié par TP/dandave
le
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Merci à dandave pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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