Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée

Notation : une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

1. Pour tout nombre réel a et pour tout nombre réel b, on peut affirmer que $\frac{e^a}{e^b}$ est égal à :

Réponse A : $e^{\left(\frac{a}{b}\right)}$

Réponse B : $e^{\left(a-b\right)}$

Réponse C : $e^a-e^b$

2. On considère trois fonctions f, g et h définiers sur $\mathbb{R}$ telles que, pour tout nombre réél $x$ , $f(x) \le g(x) \le h(x)$ .
Si l'on sait que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ alors on peut en déduire que :

Réponse A : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$

Réponse B : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

Réponse C : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$

3. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ , de dérivée $f'$ . On donne ci-dessous son tableau de variations.

$\begin{array}{|c|lcccccr|} \hline x&-\infty&&-1&&1&&+\infty \\ \hline f'(x) &&+&0&-&0&+& \\ \hline \: &&&e&&&&+\infty \\ f(x)&&\nearrow &&\searrow && \nearrow & \\ \: &0&&&& \sqrt{2} && \\ \hline \end{array}$
a) L'équation $f(x)=1$ admet dans $\mathbb{R}$ :

Réponse A : trois solutions

Réponse B : deux solutions

Réponse C : une solution

b) On note $\scr{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère (O ; $\overrightarrow{i}$ , $\overrightarrow{j}$ ).
La tangente à la courbe $\scr{C}$ au point d'abscisse O peut avoir pour équation :

Réponse A : $y=-3x+2$

Réponse B : $y=3x+2$

Réponse C : $y=-4$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Dans un pays européen, le montant des recettes touristiques, exprimé en millions d'euros, est donné dans le tableau ci-dessous :

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Rang de l'année $x_i$	0	1	2	3	4	5
Montant des recettes touristiques y_i, en millions d'euros	24 495	26 500	29 401	33 299	33 675	34 190

1. On utilise un ajustement affine. Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite d'ajustement de y en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés.
Les coefficients, obtenus à l'aide de la calculatrice, seront arrondis au centième.

2. En supposant que cet ajustement est valable jusqu'en 2007, calculer le montant que l'on peut prévoir pour les recettes touristiques de l'année 2007, arrondi au millions d'euros.

Partie B

On considère la fonction $f$ définie pour tout entier n par $f(n) = e ^{10,13+0,07n}$ .
On utilise cette fonction pour modéliser l'évolution des recettes touristiques de ce pays européen.
Ainsi f(n) représente le montant des recettes touristiques (exprimé en millions d'euros) de ce pays européen pour l'année 2000+n.

1. Selon ce modèle, calculer le montant des recettes touristiques que l'on peut prévoir pour l'année 2007.
Arrondir le résultat au million d'euros.

2. a) Déterminer le nombre entier n à partir duquel f(n) > 45 000.
b) En déduire l'année à partir de laquelle, selon ce modèle le montant des recettes touristiques dépasserait 45 000 millions d'euros.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

La production journalière d'une entreprise dépend de deux facteurs : le travail de la main d'oeuvre et l'utilisation de machines. On désigne :
par $x$ la durée journalière de travail de la main d'oeuvre, exprimée en heures ; $x$ appartient à l'intervalle ]0 ; 10]
par y la durée journalière d'utilisation des machines, exprimée en heures ; y appartient à l'intervalle ]0 ; 12]
La quantité journalière produite (en tonnes) est donnée par la relation :
$f(x,y) = \dfrac{3xy}{x+y}$ avec $0 < x \le 10$ et $0 < y \le 12$ .
La figure ci-dessous représente la surface(S) d'équation : $z = f(x, y) \text{ pour } 0 < x \leq 10 \text{ et }0 < y \leq 12$ .

bac ES obligatoire et spécialité France Métropolitaine Juin 2007 - terminale : image 1

Partie 1

Le point A représenté par une croix est un point de la surface (S).

1. Déterminer graphiquement l'abscisse et la cote du point A. Calculer son ordonnée (arrondie au dixième).
2. Interpréter les résultats obtenus en référence à la production journalière de l'entreprise.

Partie 2

Pour chaque heure, le coût total du travail s'élève à 4 milliers d'euros, et le coût total d'utilisation des machines s'élève à 1 millier d'euros.
L'entreprise décide de dépenser 36 milliers d'euros par jour et cherche à maximiser sa production journalière sous cette contrainte. On a alors $4x + y = 36$ .
La quantité journalière produite (en tonnes) sous cette contrainte de coût peut donc être modélisée par la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; 10] par $g(x) = \dfrac{4x^2-36x}{x-12}$ .

1. On note g' la fonction dérivée de g sur l'intervalle ]0 ; 10].
    a) Pour tout réél $x$ de l'intervalle ]0 ; 10], calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x) = \dfrac{4(x-6)(x-18)}{(x-12)^2}$
    b) Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; 10].

2. a) En déduire la durée jounalière de travail et la durée journalière d'utilisation des machines permettant d'obtenir une production journalière maximale pour un coût total de 36 milliers d'euros.
    b) Préciser la quantité journalière maximale produite en tonnes.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s'entraîne sur un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moyen et 30 % de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau moyen dans 60% des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40% des cas.

Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.

On considère les événements suivants :
    F : "la grille est de niveau facile"
    M : "la grille est de niveau moyen"
    D : "la grille est de niveau difficile"
    R : "Pierre réussit la grille" et $\bar{R}$ son événement contraire.

1. Traduire les donnéees de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. a) Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
    b) Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
    c) Montrer que la probabilité que Pierre réussise la grille proposée est égale à 0,68.

3. Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau moyen ?

4. Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite soeur affirme : "Je pense que ta grille était facile".
Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l'aide d'un calcul.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Un laboratoire pharmaceutique produit et commercialise un médicament en poudre. Sa production hebdomadaire, exprimée en kilogrammes, est limitée à 10 kilogrammes.

Partie I : étude des coûts hebdomadaires de production.

1. Le coût marginal de production est fonction de la quantité $x$ de médicament produit.
Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction $C_m$ définie pour les nombres rééls $x$ de l'intervalle [0 ; 10] par : $C_m(x) = x+\dfrac{16}{x+1}$ .
( $C_m(x)$ est exprimé en centaines d'euros, $x$ en kilogrammes).
Etudier les variations de la fonction $C_m$ , puis dresser le tableau de variation de la fonction $C_m$ sur l'intervalle [0 ; 10].

2. En économie, le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production.
Ainsi le coût total de production hebdomadaire est modélisé par une primitive de la fonction $C_m$ .
Déterminer la fonction $C$ , primitive de la fonction $C_m$ sur l'intervalle [0 ; 10] qui modélise ce coût total, pour une production de médicaments comprise entre 0 et 10 kilogrammes, sachant que $C_0 = 0$ .

Partie II : étude du bénéfice hebdomadaire.

On admet que le laboratoire produit une quantité hebdomadaire d'au moins 1 kg et que tout ce qui est produit est vendu.
Le bénéfice hebdomadaire (exprimé en centaines d'euros) dépend de la masse $x$ (exprimée en kilogrammes) de médicament produit. Il peut être modélisé par la fonction B définie sur l'intervalle [1 ; 10] par : $B(x) = 9x - 0,5 x^2 - 16 \ln(x+1)$

La représentation graphique de la fonction B dans le plan muni d'un repère orthonormal est la courbe $(\Gamma)$ donnée ci-dessous.

bac ES obligatoire et spécialité France Métropolitaine Juin 2007 - terminale : image 2

1. a) On admet que la fonction B est strictement croissante sur l'intervalle [1 ; 7] et strictement décroissante sur l'intervalle [7 ; 10].
En déduire la quantité de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour que son bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) soit maximal.
b) Calculer ce bénéfice hebdomadaire maximal en centaines d'euros (arrondir à l'euro).

2. a) Utiliser la courbe $(\Gamma)$ pour déterminer un encadrement d'amplitude 0,5 de la plus petite quantité $x_0$ de médicaments que l'entreprise doit produire par semaine pour ne pas perdre d'argent.
b) Utiliser la calculatrice pour donner une valeur décimale de $x_0$ approchée au centième.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse B : $\dfrac{e^a}{e^b}=e^a.e^{-b}=e^{a-b}$

2. Réponse C : si on a $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty$ alors $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty$ (propriété de comparaison des limites)

3. a) Réponse C : L'équation $f(x) = 1$ admet une seule solution.
Sur $]-\infty;-1]$ , la fonction $f$ est strictement croissante de 0 à e et $1\in[0;e]$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution dans $]-\infty;-1]$
Sur $[-1;1]$ , la fonction $f$ est strictement décroissante de e à $\sqrt2$ et $1 \not \in [\sqrt2;e]$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ n'admet aucune solution dans $[-1;1]$
Sur $[1;+\infty[$ , la fonction $f$ est strictement croissante de $\sqrt2$ à $+\infty$ et $1 \not \in [\sqrt2;+\infty[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=1$ n'admet aucune solution dans $[1;+\infty[$

3. b) Réponse A : d'après le tableau de variation $f'(0) < 0$ donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 est négatif. Seule la réponse A convient.

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. La droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est la droite passant par le point moyen et ayant pour coefficient directeur :
$a = \dfrac{(x_0-\bar x)(y_0-\bar y)+(x_1-\bar x)(y_1-\bar y)+(x_2-\bar x)(y_2-\bar y)+(x_3-\bar x)(y_3-\bar y)+(x_4-\bar x)(y_4-\bar y)+(x_5-\bar x)(y_5-\bar y)}{(x_0-\bar x)^2+(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+(x_3-\bar x)^2+(x_4-\bar x)^2+(x_5-\bar x)^2}$
et pour équation $y=ax+b$ avec $\bar y = a\bar x +b$ donc $b=\bar y - a \bar x$ .
On calcule (à l'aide de la calculatrice) les moyennes $\bar x$ et $\bar y$ : on trouve $\bar x = \dfrac{0+1+2+3+4+5}{6}=2,5$ et $\bar y=30260$ .
On peut alors calculer $a$ . On trouve $a = 2111,37$ et alors $b = 30260-2111,37 \times 2,5 = 24981,57$ .
La droite D a donc pour équation : $y = 2111,37 x + 24981,57$

2. 2007 correspond au rang 7, le montant de recettes touristiques à prévoir est donc :
$y = 2111,37 \times 7 + 24981,57 \approx 39761$ donc 39761 millions d'euros.

Partie B

1. Pour $n = 7$ , ce modèle donne une estimation des recettes touristiques de :
$f(7)=e^{10,13+0,07\times7} = e^{10,62}=40945,6 \arrpox 40 946 \text{ millions d'eruos}$

2. a) $f(n)>45000 \Longleftrightarrow e^{10,13+0,07n}>45000$
\Longleftrightarrow 10,13+0,07n>ln(45000) \\ \Longleftrightarrow n>\dfrac{ln(45000)-10,13}{0,07}=8,35[/tex]
On aura donc $f(n)>45000$ à partir du rang 9.

2. b) Le rang 9 correspond à l'année 2000 + 9 = 2009. Donc d'après ce modèle, le montant des recettes touristiques dépassera 45000 millions d'euros à partir de 2009.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie 1

1. Graphiquement, on détermine $x_A = 6$ .
On peut également déterminer graphiquement que $z_A = 4$ . Or $z_A = \dfrac{3x_Ay_A}{x_A+y_A}$ donc :
$4 = \dfrac{18y_A}{6+y_A} \Longleftrightarrow 24+4y_A=18y_A \Longleftrightarrow 14y_A=24 \Longleftrightarrow y_A = \dfrac{24}{14}$
Le point A a donc pour abscisse 6 et pour ordonnée $\dfrac{24}{14}$ , soit environ 1,7.

2. Si on fait travailler la main d'oeuvre 6 h par jour pour une utilisation des machines limitée à environ 1,7 h par jour, on produit 4 tonnes de marchandises.

Partie 2

1. a) $g$ est dérivable sur ]0,10] et pour tout $x$ de ]0,10], on a : $g(x)=\dfrac{4(x^2-9x)}{x-12}$
On pose $u(x)=x^2-9x$ et $v(x)=x-12$ . En utilisant les formules $(kf)'=kf'$ et $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , on obtient :
$g'(x) = 4\dfrac{(2x-9)(x-12)-(x^2-9x)}{(x-12)^2} = 4\dfrac{2x^2-9x-24x+108-x^2+9x}{(x-12)^2} = 4\dfrac{x^2-24x+108}{(x-12)^2}$
Or $(x-6)(x-18) = x^2-6x-18x+108 = x^2-24x+108$
On a donc bien $g'(x) = \dfrac{4(x-6)(x-18)}{(x-12)^2}$

1. b) Pour étudier les variations de $g$ , il faut étudier le signe de $g'$ :
sur ]0,10] on a $(x-12)^2 > 0$ et $x < 10$ donc $x-18<-8<0$ donc $g'$ est du signe de $-(x-6)$
si $0 < x \le 6$ alors $-6 < x-6 \le 0$ et $6>-(x-6)\ge 0$ donc $g'$ est positive et $g$ est croissante
si $6\le x\le 10$ alors $0\le x-6\le 4$ et $0\ge -(x-6)\ge -4$ donc $g'$ est négative et $g$ strictement décroissante
Conclusion : $g$ est croissante sur ]0;6] et décroissante sur [6;10].

bac ES obligatoire et spécialité France Métropolitaine Juin 2007 - terminale : image 4

2. a) $g$ est croissante sur ]0;6] et décroissante sur [6;10], elle atteint donc son maximum pour $x=6$ et, comme on sait que $4x+y=36$ , $y=36-4x=36-4\times6=36-24=12$ .
La production journalière est donc maximale pour une durée journalière de travail de 6h et une journée journalière d'utilisation des machines de 12h.

2. b) Dans ce cas, on a : $g(x) = g(6) = \dfrac{4\times6^2-36\times6}{6-12} = \dfrac{-72}{-6}=12$
La quantité journalière maximale produite est de 12 tonnes.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

bac ES obligatoire et spécialité France Métropolitaine Juin 2007 - terminale : image 3

2. a) On utilise la formule des probabilités conditionnelles :
$p(D \cap R) = p(D) p_D(R) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$
La probabilité que la grille soit difficile et que Pierre la réussisse est donc égale à 0,12.

2. b) On utilise la formule donnant la relation entre la probabilité d'un évènement et celle de son évènement contraire :
$p(\bar A)=1-p(A)$
Donc $p_F(\bar R) = 1 - p_F(R) = 0,05$ et alors $p(F \cap \bar R) = p(F)p_F(\bar R) = 0,4 \times 0,05 = 0,02$
La probabilité que la grille soit facile et que Pierre ne la réussisse pas est donc égale à 0,02.

2. c) $p(R)=p(F\cap R)+p(M\cap R)+p(D\cap R)$
on a trouvé $p(D \cap R) = 0,12$
de la même manière, on calcule : $p(F \cap R) = p(F) p_F(R) = 0,4 \times 0,95 = 0,38$
et de même : $p(M \cap R) = p(M) p_M(R) = 0,3 \times 0,6 = 0,18$
D'où : $p(R) = 0,12 + 0,38 + 0,18 = 0,68$
La probabilité que Pierre réussise une grille est de 0,68.

3. On utilise la formule des probabilités conditionnelles : $P_{\bar R}(M)=\dfrac{p(\bar R\cap M)}{p(\bar R)}$
Or $p(\bar R \cap M)=p(M)p_M(\bar R)=p(M)(1-p_M(R))$ et $p(\bar R)=1-p(R)$ d'où :
$p_{\bar R}(M) = \dfrac{p(M)(1-p_M(R))}{1 - p(R)} = \dfrac{0,3(1-0,6)}{1-0,68} = \dfrac{0,3 \times 0,4}{0,32} = \dfrac{3}{8} = 0,375$
La probabilité qu'il s'agisse d'une grille moyenne, sachant que Pierre ne l'a pas réussie, est de 0,375

4. Il s'agit de déterminer la probabilité qu'il s'agisse d'une grille facile, en sachant que Pierre l'a réussie :
$p_R(F) = \dfrac{p(R\cap F)}{p(R)}$ . Or on a calculé en 2.c) $p(R \cap F) = 0,38$ et $p(R) = 0,68$ d'où $p_R(F) = \dfrac{0,38}{0,68} \approx 0,559$ .
La soeur de Pierre a 55,9% de chances d'avoir raison.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie I : Etude des coûts hebdomadaires de production

1. Pour étudier les variations d'une fonction, il faut étudier le signe de sa dérivée.
$C_m$ est une fonction dérivable sur [0;10] et on pose $u(x)=x+1$ alors $u'(x)=1$ & et on utilise la formule $\left(\dfrac{1}{u} \right)' = -\dfrac{u'}{u^2}$
Donc $C_m'(x) = 1 - \dfrac{16}{(x+1)^2}=\dfrac{(x+1)^2-16}{(x+1)^2}$
$C_m'(x)$ est du signe de $(x+1)^2-16$ puisque sur [0;10] le dénominateur $(x+1)^2$ est strictement positif, or :
$(x+1)^2-16=(x+1)^2-4^2=(x+1+4)(x+1-4)=(x+5)(x-3)$ en utilisant l'identité remarquable $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
D'où le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variation de la fonction sur [0 ; 10] :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x & 0 & & 3 & & 10\\ \hline x+5 & & + & & + & \\ \hline x-3 & & -& 0& +& \\ \hline (x+5)(x-3)}& & - & 0 & + & \\ \hline C_m'(x) & & - & 0& +& \\ \hline & f(0) = 16 & & & & f(10) = \dfrac{126}{11} \\ C_m(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & f(3) = 7 && \\ \hline \end{array}$

2. On cherche une primitive de $C_m(x) = x + \dfrac{16}{x+1}$ .
On va se servir de :
si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ , alors $F + G$ est une primitive de $f + g$
si $F$ est une primitive de $f$ alors, pour tout réel $k$ , $kF$ est une primitive de $kf$
la primitive de $\dfrac{u'}{u}$ est $\ln u$ . Or si on pose $u(x) = x + 1$ , on a $u'(x)=1$ donc $\dfrac{16}{u(x)} = 16\dfrac{u'(x)}{u(x)} =16(\ln u)'$
D'où les primitives de $C_m$ : $C(x) = \dfrac{x^2}{2} + 16 \ln(x+1) + k$ , où $k$ est une constante à déterminer.
On sait que $C(0) = 0$ donc $0 + 16 \ln(0 + 1) + k = 0 \Rightarrow k = 0$ .
La primitive cherchée est donc $C(x)=\dfrac{x^2}{2}+16 \ln(x+1)$ .

Partie II : Etude du bénéfice hebdomadaire

1. a) $B$ est strictement croissante sur [1 ; 7] et strictement décroissante sur [7 ; 10], la fonction atteint donc son maximum pour une quantité de médicaments produite : $x = 7$ kg.

1. b) Le bénéfice réalisé est alors : $B(7) = 9\times7-0,5\times7^2-16 \ln(7+1)=5.23$ centaines d'euros.
Le bénéfice hebdomadaire maximal est de 523 euros.

2. a) La courbe $(\Gamma)$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $x_0$ qui se situe entre 2,5 et 3 kg :
l'entreprise ne perd pas d'argent à partir d'une quantité produite de $x_0$ kg, tel que $\boxed{2,5 < x_0 < 3}$ .

2. b) $x_0$ est la valeur de $x$ telle que $B(x)=0$ , il est compris entre 2,5 et 3.
B(2,5) = -0,67 et B(3)=0,32
B(2,7) = -0,28 donc $x_0\in[2,7;3]$
B(2,8) = -0,08 donc $x_0\in[2,8;3]$
B(2,9) = 0,12 donc $x_0\in [2,8;2,9]$
B(2,85) = 0,02 donc $x_0 \in [2,8;2,85]$
B(2,84) = -0,00036 donc $x_0\in[2,84;2,85]$
Donc $\boxed{x_0 = 2,84 \text{ à } 10^{-2} \text{ près par défaut.}}$

Publié par Cel/Aurélien le 22-03-2009

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