Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
La Réunion - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle [-5 ; 2] et $(\scr{C})$ sa courbe représentative relativement à un repère orthogonal.

Partie A.

Un logiciel fournit le graphique qui figure ci-dessous.

sujet du bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2007 - terminale : image 1

En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes. Expliquer les procédés utilisés et, lorsque c'est nécessaire, compléter le graphique.

1. Donner une estimation de $f'(0)$ où $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$ .

2. a) Donner un encadrement d'amplitude 1 de $\displaystyle \int_0^2 f(x) \text{d}x$ .
b) Donner une valeur approchée à 0,5 près de la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2].

Partie B.

Dans cette partie on sait que la fonction $f$ est définie par : pour tout élément de [-5 ; 2], $f(x) = (2 - x)e^x$ .

1. a) On nomme $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Calculer $f'(x)$ pour $x$ élément de [-5 ; 2].
   b) Justifier l'affirmation : " Sur l'intervalle [-5 ; 2], la fonction $f$ admet un maximum pour $x = 1$ et ce maximum est égal à e ".

2. Donner une équation de la droite $(\scr{T})$ tangente à la courbe $(\scr{c})$ en son point d'abscisse 0.

3. Soit g la fonction définie par : pour $x$ élément de [-5 ; 2], $g(x) = (3 - x)e^x$ .
    a) Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la fonction dérivée de la fonction g.
    b) Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 2] (en donner la valeur exacte).

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Les deux parties sont totalement indépendantes.

Partie A.

Soient A, B, C et T quatre événements associés à une épreuve aléatoire.
On note $\bar{\text{T}}$ l'événement contraire de l'événement T.
On donne l'arbre de probabilité suivant.

sujet du bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2007 - terminale : image 2

1. Donner la probabilité p_A(T) de l'événement " T sachant que A est réalisé ".

2. Calculer :
    a) la probabilité p(B) de l'événement B ;
    b) la probabilité $p_{\text{A}}(\bar{\text{T}})$ de l'événement " non T sachant que A est réalisé " ;
    c) la probabilité p(A $\cap$ T) de l'événement " A et T ".

3. On sait que la probabilité p(T) de l'événement T est : p(T) = 0,3.
    a) Calculer la probabilité p_T(A).
    b) Calculer la probabilité p_B(T).

Partie B.

Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.
Sur chacune des parties figure une série de points.
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série.

sujet du bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2007 - terminale : image 3

Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents.

Lors d'une fête, on propose le jeu suivant :
le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu,
il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d'être tirés.

1. Etablir la loi de probabilité des gains possibles.

2. Le joueur doit miser 7 € avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer récupérer ses mises à l'issue d'un grand nombre de parties ?

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5 une et une seule des trois propositions (a), (b), (c) est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.

1. Le nombre d'habitants d'une ville était : 157 500 en 2002 et 139 860 en 2006.
Le taux d'évolution du nombre d'habitants de cette ville de 2002 à 2006 est :

(a) : 11,2 %

(b) : -12,6 %

2. Effectuer une augmentation de 15 % suivie d'une baisse de 15 % revient à :

(a) : ne procéder à aucune modification.

(b) : effectuer une augmentation de 2,25 %.

3. On admet que le chiffre d'affaire d'une entreprise augmentera régulièrement de 3,2 % par an.
Sur une période de 10 ans, il augmentera, à une unité près de :

(a) : 32 %

(b) : 29 %

4. La suite (u_n) est définie par : pour tout entier naturel n, u_n = e^{-nln 2}.

(a) : (u_n) est une suite géométrique de raison - ln 2.

(b) : (u_n) est une suite géométrique de raison $\frac12$ .

5. On a représenté un nuage de points $\text{M_i}(x_i \: ; \: \ln v_i)$ et effectué un ajustement affine :

sujet du bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2007 - terminale : image 4

Selon cet ajustement, lorsque x prendra la valeur 7, v vaudra environ :

(a) : 1,8.

(b) : 6,1.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des cinq questions suivantes numérotées de 1 à 5, une et une seule des trois propositions (a), (b), (c) est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte. Aucune justification n'est attendue.

Pour chaque question, une réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte enlève 0,25 point, une absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note pour cet exercice est ramenée à 0.

1. La suite (u_n) est définie par : pour tout entier naturel n, $u_n = 1 - \dfrac{6}{n - 10,5}$

(a) : La suite (u_n) est croissante.

(b) : La suite (u_n) est décroissante.

2. La suite (u_n) est définie par : u₀ = 2 et, pour tout entier naturel n, u_n+1 - u_n = 0,1u_n

(a) : La suite (u_n) est arithmétique.

(b) : La suite (u_n) n'est ni arithmétique, ni géométrique.

3. Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
le plan (P) d'équation $x + y + z - 2 = 0$ ,
la droite (D) d'équations cartésiennes y = 1 et $z = 1 - x$ .

(a) : La droite (D) est sécante au plan (P).

(b) : La droite (D) est incluse dans le plan (P).

4. La matrice d'un graphe non orienté G, de sommets A, B, C, D, E est : $\left( \begin{array}{ccccc} 0&0&1&0&1\\ 0&0&1&1&1\\ 1&1&0&1&0\\ 0&1&1&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ \end{array}\right)$

(a) : Le graphe G compose 12 arêtes.

(b) : Le graphe G admet une chaîne eulérienne.

5. Les ventes d'un nouveau roman ont régulièrement progressé de 2 % chaque semaine depuis sa parution. Au cours de la première semaine il s'en était vendu dix mille exemplaires.
Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution est :

(a) : 23 900.

(b) : 718 927.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A.

On considère les fonctions $f$ et g définies sur l'intervalle [1 ; 50] par :
$f(x) = x^2 + 72\ln(10x+1) \hspace{20pt} \text{ et } \hspace{20pt} g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$

1. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [1 ; 50].

2. La fonction h est définie sur l'installe [1 ; 50] par : $\text{h}(x) = x^2 + \dfrac{720x}{10x+1} - 72\ln(10x+1)$ .
    a) On admet que la dérivée de la fonction h est la fonction h' définie par : pour tout $x$ élément de l'intervalle [1 ; 50], $h'(x) = \dfrac{2x(10x-59)(10x+61)}{(10x+1)^2}$ .
Résoudre l'équation $h'(x) = 0$ sur l'intervalle [1 ; 50].
Etudler le signe de $h'(x)$ sur l'intervalle [1 ; 50].
    b) Dresser le tableau des variations de la fonction h.
    c) On admet que, dans l'intervalle [1 ; 50], l'équation $\text{h}(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ . A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10^-2 près de $\alpha$ .
    d) Expliquer pourquoi
pour tout $x$ élément de l'intervalle [1 ; $\alpha$ ], $\text{h}(x) \leq 0$ ,
pour tout $x$ élément de l'intervalle [ $\alpha$ ; 50], $\text{h}(x) \geq 0$ .

3. a) Démonter que pour tout $x$ élément de l'intervalle [1 ; 50], $g'(x) = \dfrac{h(x)}{x^2}$ .
    b) Démontrer que la fonction g admet un minimum pour $x = \alpha$ .
    c) En utilisant le fait que $g(x)= \dfrac{f(x)}{x}$ , exprimer $g'(x)$ en fonction de $f'(x)$ puis déduire de la question précédente que $g(\alpha) = f'(\alpha)$ .

Parle B. Application

Une entreprise a conduit une étude statistique sur les coûts de production de l'un de ses produits. Pour une production comprise entre 1 tonne et 50 tonnes et des coûts exprimés en milliers d'suros, cette étude conduit à adopter le modèle mathématique suivant :
le coût total de production C_T est donné par C_T = $f(x)$ , où $x$ est la quantité produite exprimée en tonnes,
pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen C_M de production d'une tonne est donné par C_M = $g(x)$ et le coût marginal C de production est donné par C = $f'(x)$ .
(Des graphiques obtenus à l'aide d'un logiciel sont fournis ci-dessous.

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sujet du bac ES obligatoire et spécialité La Réunion 2007 - terminale : image 6

1. Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si elle vend sa production moins de 38 000 € la tonne.

2. Quelle que soit sa production, l'entreprise pense pouvoir la vendre en totalité au prix de 45 000 euros la tonne. Donner une estimation des productions qui pourront permettre de réaliser un bénéfice.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A.

1. $f' (0)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe $(\scr{C})$ au point d'abcisse $x = 0$ . Par lecture graphique, on a donc : $\boxed{f'(0)\approx 1}$ (il faut faire attention à l'échelle).

2. a) Sur l'intervalle [0 ; 2], $(\scr{C})$ est au dessus de l'axe des abcisses. Cela signifie que $\displaystyle \int_{0}^{2} f(t) \, dt$ représente l'aire du domaine située entre l'axe des abcisses, la coube $(\scr{C})$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ .
Par suite, grâce au graphique, on a : $4,5 \le \displaystyle \int_{0}^{2} f(t) \, dt \le 5,5$

2. b) Soit $\mu$ la valeur moyenne de $f$ sur [0 ; 2]. En appliquant la définition : $\mu = \dfrac{1}{2-0} \displaystyle \int_{0}^{2}f(t) \, dt$ ), on a : $\mu \approx 2,5 \pm0,25$

Partie B.

1. a) $f$ est dérivable sur [5 ; 2] et pour tout $x$ de cet intervalle, $f'(x) = (2-x)e^x-e^x = (1-x)e^x$

1. b) $f'$ est du signe de $(1 - x)$ puisque $e^x > 0$ . Or,
$1 - x > 0$ pour $x \in$ [-5 ; 1].
$1 - x < 0$ pour $x \in$ [1 ; 2].
Donc $f$ est croissante sur [-5 ; 1] et décroissante sur [1 ; 2]. $f$ admet donc un maximum pour $x = 1$ , et $f(1) = (2-1)e^1 = e$ .

2. $(\scr{T})$ est la tangente à la courbe $(\scr{C})$ au point d'abcisse 0. Son équation est donc de la forme :
$(\scr{T}) \: : \; y = f' (0)(x - 0) + f(0)$ , avec $f' (0) = 1 \text{ et } f(0) = 2$ on obtient : $\boxed{(\scr{T}) \: : \: y = x + 2}$

3. a) g est dérivable sur l'intervalle considéré et pour $x \in$ [-5 ; 2], $g'(x) = (2-x)e^x = f(x)$ .

3. b) $\mu = \frac{1}{2-0} \displaystyle \int_0^2 f(t) \, dt = \frac{1}{2-0} \displaystyle \int_0^2 g'(t) \, dt = \frac{g(2)-g(0)}{2} = \frac{e^2-3}{2}$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A.

1. D'après l'arbre de probabilité, $\boxed{p_{\text{A}}(\text{T}) = 0,4}$

2. a) D'après l'arbre de probabilité, on a :
$p(\text{A}) + p(\text{B}) + p(\text{C}) = 1 \Longleftrightarrow 0,2 + p(\text{B}) + 0,7 = 1 \\ \Longleftrightarrow \boxed{p(\text{B}) = 0,1}$

2. b) $\bar{\text{T}}$ est l'évènement contraire de T. Ainsi, on a évidemment,
$p_{\text{A}}(\text{T}) + p_{\text{A}}(\bar{\text{T}}) = 1 \Longleftrightarrow \boxed{p_{\text{A}}(\bar{\text{T}}) = 0,6}$

2. c) Par définition, comme $p(\text{A}) \neq 0$
$p(\text{A} \cap \text{T}) = p_{\text{A}}(\text{T}) \times p(\text{A}) = 0,4 \times 0,2 \\ \boxed{p(\text{A} \cap \text{T}) = 0,08}$

3. a) Par définition,
$p_{\text{T}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{T} \cap \text{A})}{p(\text{T})} = \dfrac{0,08}{0,3} \\ \boxed{p_{\text{T}}(\text{A}) = \frac{4}{15}}$

3. b) D'après l'arbre et la formule des probabiltés totales,
$p(\text{A} \cap \text{T}) + p(\text{B} \cap \text{T}) + p(\text{C} \cap \text{T}) = p(\text{T}) = 0,3 \Longleftrightarrow 0,08 + p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{T}) + 0,7 \times 0,2 = 0,3 \\ \Longleftrightarrow p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{T}) = 0,08 \\ \Longleftrightarrow p_{\text{B}}(\text{T}) = \dfrac{0,08}{p(\text{{B})}} = \dfrac{0,08}{0,1} \\ \Longleftrightarrow \boxed{p_{\text{B}}(\text{T}) = 0,8}$

Partie B.

1. Soit O l'univers. O représente l'ensemble des dominos. card(O) = 28 et on est en situation d'équiprobabilité.
Soit X la variable aléatoire qui associe au domino tiré les gains du joueur. On a alors,
X(O) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

Calcul de p(X = 0) et de p(X = 12) :
L'évènement (X = 0) est réalisé si le domino tiré est (0,0). De même (X = 12) est réalisé uniquement si le domino tiré est (6,6). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 0) = p(X = 12) = $\dfrac{1}{28}$

Calcul de p(X = 1) et de p(X = 11) :
L'évènement (X = 1) est réalisé si le domino tiré est (0,1). De même (X = 11) est réalisé uniquement si le domino tiré est (5,6). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 1) = p(X = 11) = $\dfrac{1}{28}$

Calcul de p(X = 2) et de p(X = 10) :
L'évènement (X = 2) est réalisé si le domino tiré est (0,2) ou (1,1). De même (X = 10) est réalisé uniquement si le domino tiré est (5,5) ou (6,4). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 2) = p(X = 10) = $\dfrac{2}{28} = \dfrac{1}{14}$

Calcul de p(X = 3) et de p(X = 9) :
L'évènement (X = 3) est réalisé si le domino tiré est (0,3) ou (1,2). De même (X = 9) est réalisé uniquement si le domino tiré est (5,4) ou (6,3). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 3) = p(X = 9) = $\dfrac{2}{28} = \dfrac{1}{14}$

Calcul de p(X = 4) et de p(X = 8) :
L'évènement (X = 4) est réalisé si le domino tiré est (0,4) ou (1,3) ou (2,2). De même (X = 8) est réalisé uniquement si le domino tiré est (6,2) ou (5,3) ou (4,4). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 4) = p(X = 8) = $\dfrac{3}{28}$

Calcul de p(X = 5) et de p(X = 7) :
L'évènement (X = 5) est réalisé si le domino tiré est (0,5) ou (1,4) ou (2,3). De même (X = 7) est réalisé uniquement si le domino tiré est (6,1) ou (5,2) ou (4,3). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 5) = p(X = 7) = $\dfrac{3}{28}$

Calcul de p(X = 6) :
L'évènement (X = 6) est réalisé si le domino tiré est (0,6) ou (1,5) ou (2,4) ou (3,3). Chaque domino étant unique, on a :
p(X = 6) = $\dfrac{4}{28} = \dfrac{1}{7}$

On regroupe les résultats dans un tableau :

$x_i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$p(X = x_i)$	$\dfrac{1}{28}$	$\dfrac{1}{28}$	$\dfrac{2}{28}$	$\dfrac{2}{28}$	$\dfrac{3}{28}$	$\dfrac{3}{28}$	$\dfrac{4}{28}$	$\dfrac{3}{28}$	$\dfrac{3}{28}$	$\dfrac{2}{28}$	$\dfrac{2}{28}$	$\dfrac{1}{28}$	$\dfrac{1}{28}$

On constate que $\sum p(X =x_i) = 1$

2. Pour cela il nous suffit de calculer l'espérance mathématique E de X. Si elle est supérieure à 7 (mise initiale) alors le joueur peut espérer revoir ses mises au bout d'un grand nombre de tentatives.
$E(X) = \sum p_ix_i = \dfrac{0+1+11+12}{28} + \dfrac{2(2+3+10+11)}{28} + \dfrac{3(4+5+8+9)}{28} + \dfrac{4\times6}{28} = 6$
Le jeu est défavorable au joueur (E(X) < 7) puisque l'espérance est inférieur à sa mise initiale. En théorie, il ne récupérera pas sa mise initiale au bout d'un grand nombre de tentatives.

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. $T = \dfrac{139860-157500}{157500} = -11,2\%$
La bonne réponse est la c).

2. Soit $x$ le prix initial. Les changements reviennent à ce que le prix final $x_f$ soit :
$x_f = 0,85(1,15x) = 0,9775x = (1 - 0,0225)x$ , ce qui correspond à une diminution de 2,25%.
La bonne réponse est donc la c).

3. (1,032)¹⁰ $\approx$ 1,37.
La bonne réponse est donc la c).

4. Pour n enier naturel, on a $u_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ . (u_n) est donc une suite géométrique de raison $\dfrac12$ .
La bonne réponse est la b).

5. Pour $x = 7$ , on lit $y \simeq 6,1$ donc $\ln(v) \simeq 6,1$ ce qui donne $v \simeq e^{6,1} \simeq 445$ .
La bonne réponse est donc c).

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. En faisant un tableau de valeurs à l'aide de la calculatrice, on constate que (u_n) n'est pas monotone.
La bonne réponse est donc c).

2. Pour n entier naturel, u_n+1 = 0,9u_n.
La bonne réponse est donc la c).

3. On vérifie facilement que si les coordonnées $(x,y,z)$ d'un point M vérifie les équations de la droite (D), alors elles vérifient aussi celles de (P). Ainsi (D) est incluse dans (P).
La bonne réponse est b).

4. Il y a exactement deux sommets (B et C) de degré impair, donc le graphe admet une chaine eulérienne.
La bonne réponse est b).

5. Le nombre d'exemplaires vendus au cours des 45 semaines écoulées depuis sa parution correspond à la somme des 45 premiers termes d'une suite de raison 1,02 et de premier terme 10 000.
La bonne réponse est la b).

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A.

1. Soit $\left \lbrace \begin{array}{l} f_1 : x \mapsto x^2\\ f_2 : x \mapsto 10x + 1 \\ f_3: x \mapsto 72\ln(x)\\ \end{array} \right.$
Ainsi, $f = f_1 + f_3 \circ f_2$ . La fonction $f_3 \circ f_2$ est croissante comme composée de fonctions croissantes. Donc $f$ est croissante sur [1 ; 50] car somme de fonctions croissantes sur ce même intervalle.

2. a)
$h'(x) = 0 \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} 2x(10x-59)(10x+61)=0 \\ (10x+1)^2\neq 0 \\ \end{array} \right. \\ \hspace{50pt} \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} x = 0 \text{ ou } x = \dfrac{-61}{10} \text{ ou } x = \dfrac{59}{10} \\ x \neq \dfrac{-1}{10} \\ \end{array} \right.$
Comme $h'$ est définie sur [1 ; 50], alors la seule solution de l'équation $h' (x) = 0$ sur cet intervalle est $x = \dfrac{59}{10}$
De plus le signe de $h'$ ne dépend que de son numérateur (son dénominateur étant strictement positif). Or :
Pour $x > 0, \, 2x > 0$ .
Pour $x > 0$ , on a aussi $x > -\dfrac{61}{10}$ , ce qui implique donc que $10x + 61 > 0$ .
$h'$ est donc du signe de $(10x - 59)$ . On en déduit donc que :
Sur [1 ; 5,9[, $h' < 0$
Sur ]5,9 ; 50], $h' > 0$
Et enfin en $x = 5,9$ , $h'$ s'annule.

2. b)
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&1& &\dfrac{59}{10}& &50 \\ \hline h'(x)& &-&0&+& \\ \hline &h(1) & & & & h(50)\\ h(x)& & \searrow & & \nearrow & \\ & & & h\left(\dfrac{59}{10}\right) & & \\ \hline \end{array}$
Avec : $\left \lbrace \begin{array}{l} h(1)\approx -106,2 \\ h(5,9)\approx -189,2 \\ h(50)\approx 2124,3 \\ \end{array} \right.$

2. c) D'après la calculatrice,
$h(17,31)\approx -0,27 \\ h(17,32)\approx 0,034$
Donc $h(17,31)<h(\alpha)<h(17,32)$ . Comme h est croissante sur [17 ; 18] on en conclut que :
$\boxed{\alpha \approx 17,32}$

2. d) h est décroissante sur [1 ; 5,9] et h(1) < 0. Ainsi h est négative sur cet intervalle.
h est croissante sur [5,9 ; $\alpha$ ] avec $h(\alpha) = 0$ . Donc h est négative sur cet intervalle.
h est croissante sur [ $\alpha$ ; 50] avec $h(\alpha) = 0$ . h est ainsi positive sur cet intervalle.

3. a) $g \: : \: x[ \mapsto x + \dfrac{72 \ln(10x+1)}{x}$ est dérivable sur [1 ; 50] et pour tout $x$ de cet intervalle,
$g' (x) = 1 + 72 \left[\dfrac{\dfrac{10x}{10x+1}- \ln(10x+1)}{x^2}\right] = \dfrac{x^2 + \dfrac{720x}{10x+1} - 72 \ln(10x+1)}{x^2} = \dfrac{h(x)}{x}$

3. b) $g' (x)$ est donc du signe de $h(x)$ . D'après la question 2. d), on en déduit que g' est négative sur [1 ; $\alpha$ ] et est positive sur [ $\alpha$ ; 50].
g est donc décroissante sur [1 ; $\alpha$ ] et est croissante sur [ $\alpha$ ; 50].
La fonction g admet donc bien un minimum en $\alpha$ .

3. c) En dérivant, on obtient :
$g'(x) = \dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2}$ . Et d'après la question précédente, on a $g' (\alpha) = 0$ . Ce qui nous ramène à :
$\alpha f' (\alpha) - f(\alpha) = 0 \: \Longleftrightarrow \: f' (\alpha) = \frac{f(\alpha)}{\alpha}$ . Donc finalement,
$\boxed{f'(\alpha) = g(\alpha)}$

Partie B.

1. Pour une production de $x$ tonnes, le coût moyen de production d'une tonne est $g(x)$ . Or on voit sur le graphique que le minimum de $g$ vaut environ 38. Autrement dit les coûts de production de $x$ tonnes sont de 38 000 euros la tonne, donc l'entreprise doit vendre sa production au minimum à 38 000 euros la tonne pour espérer faire un bénéfice.

2. Pour que l'entreprise réalise des bénéfices en vendant sa production 45 000 € la tonne, il faut que le coût moyen de production soit quant à lui inférieur à 45 000 €. D'après la représentation graphique de g, cela se produit pour $x \in$ [8 ; 32]. (Pour être rigoureux, il faudrait tracer la droite d'équation y = 45, puis regarder les points d'intersection, ... et enfin conclure).
L'entreprise doit donc produire entre 8 et 32 tonnes.

Publié par Cel/Schumi1 le 19-01-2008

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