Fiche de mathématiques
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Bac Economique et Social
Centres étrangers - Session Juin 2007

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Questionnaire à choix multiples
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. L'exercice consiste à cocher la réponse exacte sans justification. Une bonne réponse apporte 0,5 point, une mauvaise enlève 0,25 point. L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à 0.

Partie A

1. \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left(e^{-x^2+3}\right) est égale à : +\infty
0
e3
2. e^{\ln(2)} + e - 4 est égal à : e - 2
ln(2) + e - 4
-2
3. \ln(1 - x) \geq 1 est équivalente à : x \leq 1 - e
x < 0
x > -e
4. La fonction f définie sur ]0 ; +\infty[ par f(x) = \ln(x) + 2 a pour primitive la fonction F définie sur ]0 ; +\infty[ par : F(x) = x \ln(x)
F(x) = x\ln(x) - x
F(x) = x \ln(x) + x


Partie B

Soient a et b deux réels strictement positifs. A et B sont deux évènements associés à une expérience aléatoire. On sait que P(\text{A}) = a^2, \, \, P(\text{B}) = b^2 \text{ et } P(\text{A} \cap \text{B}) = 2ab. Alors,
5. P\left(\overline{\text{A}}\right) est égale à : (1 - a)(1 + a)
a² - 1
b² - a²
6. P\left(\text{A} \cup \text{B}\right) est égale à : (a + b
(a - b
a² + b²
7. P_{\text{B}}\left(\text{A}\right) est égale à : \dfrac{a}{2b}
\dfrac{2b}{a}
\dfrac{2a}{b}


Partie C

Soit \left(U_{n}\right)_{n \geq 0}, la suite géométrique de premier terme U_{0} = 2 et de raison \dfrac{1}{2}. Alors,
8. U_{n+1} est égale à : U_n + \dfrac12
\dfrac12 U_n
\left(U_n\right)^{\frac12}
9. U_n est égale à : 2 + \frac12 n
2^{(1-n)}
2^{(n+1)}
10. U_0 + U_1 + U_2 + U_3 + U_4 est égale à : \dfrac{31}{8}
15
\dfrac{15}{8}



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère une fonction f définie et dérivable sur I = [0 ; 4] ; sa courbe représentative est donnée ci-dessous dans un repère orthogonal. On note f' la fonction dérivée de f.
Sont également tracées les tangentes à la courbe aux points d'abscisse 0 et 2 , ainsi que la droite (d) d'équation y = x + 2. Aux points d'abscisses 1 et 3 les tangentes à la courbe sont parallèles à l'axe des abscisses.
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 1


1. Par lecture graphique, déterminer :
    a) f(0) et f'(0).
    b) f(1) et f'(1).
    c) f(2) et f'(2).
    d) l'ensemble des réels x tels que f(x) \leq x + 2.

2. a) Par lecture graphique, dresser le tableau de variations de f sur I ; on indiquera le signe de f'(x).
    b) En déduire le tableau de variations de la fonction g définie sur [0 ; 4] par g(x) =  \ln [f(x)].

3. On appelle \mathcal{A} l'aire du domaine hachuré exprimée en unités d'aire. Parmi les trois propositions suivantes, déterminer celle qui est exacte, en la justifiant par des arguments géométriques :
    a) 0 \leq \mathcal{A} \leq 1
    b) 1 \leq \mathcal{A} \leq 6
    c) 6 \leq \mathcal{A} \leq 8

4. On suppose que f(x) =  mx^3 + nx^2 + px + q, où m, n, p et q sont des réels.
    a) En utilisant les résultats de la question 1. a), déterminer p et q.
    b) En utilisant les résultats de la question 1. b), déterminer m et n.

5. On admet que f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2.
    a) Démontrer que les tangentes à la courbe aux points d'abscisses 0 et 4 sont parallèles.
    b) Calculer, en unités d'aire, l'aire \mathcal{A} du domaine hachuré.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B sont indépendantes
L'objet d'étude est le réseau des égouts d'une ville. Ce réseau est modélisé par le graphe ci-dessous : les sommets représentent les stations et les arêtes, les canalisations.
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 2


Partie A

1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ?

2. Justifier que le nombre chromatique de ce graphe est compris entre 4 et 6.

Partie B

sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 3
Le graphe pondéré ci-dessus donne, en minutes, les durées des trajets existant entre les différentes stations du réseau des égouts.

1. Un ouvrier doit se rendre par ce réseau de la station E à la station S. Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet le plus rapide pour aller de E à S et préciser sa durée.

2. Ayant choisi le trajet le plus rapide, l'ouvrier arrivant en C, apprend que les canalisations CG et CS sont fermées pour cause de travaux et qu'il ne peut les utiliser.
    a) Comment peut-il terminer, au plus vite, son trajet jusqu'à S ? Combien de temps le trajet entre E et S prendra-t-il dans ce cas ?
    b) S'il avait su dès le départ que les canalisations CG et CS étaient impraticables, quel trajet aurait choisi l'ouvrier pour se rendre, au plus vite de E à S ? Combien de temps ce trajet aurait-il pris ?


3 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On suppose que, pour tous les jours de septembre, la probabilité qu'il pleuve est \dfrac{1}{4}.
S'il pleut, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est \dfrac{1}{3}.
S'il ne pleut pas, la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure à son travail est \dfrac{5}{6}.

1. Représenter par un arbre de probabilité la situation ci-dessus.

2. Quelle est la probabilité qu'un jour de septembre donné, il pleuve et que Monsieur X arrive à l'heure à son travail ?

3. Montrer que la probabilité qu'un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail est \dfrac{17}{24}.

4. Un jour de septembre donné, Monsieur X arrive à l'heure à son travail. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ce jour là ?

5. Sur une période de 4 jours de septembre, quelle est la probabilité que Monsieur X arrive à l'heure au moins une fois ? On arrondira le résultat à 10-3 près.


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On s'intéresse à la production mensuelle d'une certaine catégories d'articles par une entreprise E. On sait que le nombre d'articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût marginal, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle [0 ; 5] par C(x) = 4x + (1 -  2x) \text{e}^{-2x + 3}x représente le nombre de centaines d'articles fabriqués.

1. On sait que la fonction coût total, notée C_{T}, est la primitive de la fonction C sur [0 ; 5] qui s'annule pour x =0.
Justifier que C_{T}(x) = 2x^2 + x \text{e}^{-2x + 3}.

2. La fonction coût moyen, notée C_{M} est la fonction définie sur ]0 ; 5] par : C_{M}(x) = \dfrac{C_{T}(x)}{x}.
Donner une expressionde C_{M}(x), en fonction de x.

3. a) Déterminer C_{M}'(x)C_{M}' désigne la fonction dérivée de C_{M}.
    b) Résoudre dans \mathbb{R} l'équation : 1 - \text{e}^{-2x + 3} =  0.
    c) Résoudre dans \mathbb{R} l'inéquation : 1 - \text{e}^{-2x + 3} >  0.
    d) En déduire le sens de variations de C_{M} sur ]0 ; 5].

4. Pour quelle production l'entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût en euros ?

5. Chaque centaine d'articles est vendue 7 000 ?. La recette totale pour x centaines d'articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R_{T}(x) = 7x en milliers d'euros.
Le bénéfice est donc défini par B(x) = R_{T}(x) - C_{T}(x).
    a) Les fonctions C_{T} et R_{T} sont représentées ci-dessous.
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 4
Par lecture graphique déterminer :
le coût moyen minimal,
l'intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E,
la production x_{0} pour laquelle le bénéfice est maximal.
On fera apparaître les constructions nécessaires.
    b) Avec l'aide de votre calculatrice, affiner l'intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu'il y ait un bénéfice positif de l'entreprise E.








exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. 2ème réponse,
car \displaystyle \lim_{x\to-\infty}-x^2+3=-\infty donc \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^{-x^2+3}=\displaystyle \lim_{X\to-\infty}e^X=0

2. 1ère réponse,
car e^{ln(2)}+e-4=2+e-4=e-2

3. 1ère réponse,
car ln(1-x) \ge 1 \, \Longleftrightarrow \, 1 - x \ge e^{1} \, \Longleftrightarrow \, 1 - x \ge e \, \Longleftrightarrow \, 1 - e \ge x

4. 3ème réponse, car :
Si F(x) = x \ln x alors F'(x) = 1\times \ln x + x \dfrac{1}{x} = \ln x + 1
Si F(x) = x \ln x - x alors F'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x
Si F(x) = x \ln x + x alors F'(x) = \ln x + 1 + 1 = \ln x + 2

Partie B

5. 1ère réponse,
car P(\bar{\text{A}}) = 1 - P(\text{A}) = 1 - a^2 = (1 - a)(1 + a)

6. 2ème réponse,
car P(\text{A} \cup \text{B}) = P(\text{A}) + P(\text{B}) - P(\text{A} \cap \text{B}) = a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2

7. 3ème réponse,
car P_{\text{B}}(\text{A}) = \displaystyle \frac{P(\text{A} \cap \text{B})}{P(\text{B})} = \displaystyle \frac{2ab}{b^2} = \displaystyle \frac{2a}{b}

Partie C

8. 2ème réponse,
car par définition d'une suite géométrique de raison q \, : \, U_{n+1} = qU_n

9. 2ème réponse,
car l'expression du n-ième terme en fonction du premier est donné par : U_n = U_0 \times q^{n} = 2 \times \left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^n = \displaystyle \frac{2}{2^n} = 2^{1-n}

10. 3ème réponse,
car l'expression des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique de raison q \neq 1 est : S_n = U_0 \displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q} donc S_4 = U_0 + \cdots + U_4 = 2 \displaystyle \frac{1 - \left(\displaystyle \frac{1}{2} \right)^5}{1 - \displaystyle \frac{1}{2}} = 4 \left(1 - \displaystyle \frac{1}{32} \right) = 4-\displaystyle \frac{1}{8} = \displaystyle \frac{31}{8}




exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) \boxed{f(0)=2}
f'(0) est donné par le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 donc \boxed{f'(0)=9}

1. b) \boxed{f(1)=6}
Au point d'abscisse 1, la courbe admet une tangente horizontale, donc \boxed{f'(1)=0}

1. c) \boxed{f(2)=4}
f'(2) est donné par le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2 donc \boxed{f'(2)=-3}

1. d) La courbe est en-dessous de la droite d'équation y = x + 2 pour x\in[2;4].
Donc \boxed{f(x) \le x+2 \, \Longleftrightarrow \, x \in [2;4]}

2. a) f' est positive lorsque f est croissante et négative lorsque f est décroissante, donc :
\begin{tabvar}{|C|LCCCCCR|} \hline x & 0 & & 1 & & 3 & & 4 \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\ \hline \niveau{1}{1} f(x) & 2 & \croit & 6 & \decroit & 2 & \croit &  6 \\ \hline \end{tabvar}

2. b) La fonction ln est strictement croissante. La composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante est décroissante et la composée de deux fonctions croissantes est croissante. La fonction g = \ln \circ f a donc les mêmes variations que la fonction f :
\begin{tabvar}{|C|LCCCCCR|} \hline x & 0 & & 1 & & 3 & & 4 \\ \hline  \niveau{1}{1} f(x) & 2 & \croit & 6 & \decroit & 2 & \croit & 6 \\ \hline \niveau{1}{1} g(x) = \ln[f(x)] & \ln 2 & \croit & \ln 6 & \decroit & \ln 2 & \croit & \ln 6 \\ \hline \end{tabvar}

3. On procède en comptant le nombre d'unités d'aires (= de carreaux) occupés par l'aire :
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 6

le rectangle rouge contient 8 carreaux et \mathcal{A} est complètement inclus dans ce rectangle, donc \mathcal{A} \le 8
le triangle bleu contient 2 carreaux et \mathcal{A} est complètement inclus dans le rectangle rouge privé du triangle bleu donc \mathcal{A} \le 6
on peut dessiner une unité d'aire (rectangle vert) à l'intérieur de \mathcal{A} donc A \ge 1
Conclusion : \boxed{1 \le \mathcal{A} \le 6}

4. a) f(0) = 2. Or f(x)=mx^3+nx^2+px+q donc f(0)=q donc \boxed{q=2}
f'(0)=9. Or f(x)=mx^3+nx^2+px+q donc f'(x)=3mx^2+2nx+p donc f'(0)=p donc \boxed{p=9}

4. b) f(1)=6. Or f(x)=mx^3+nx^2+9x+2 donc f(1)=m+n+9+2=m+n+11 donc m+n+11=6 donc m+n=-5
f'(1)=0. Or f'(x)=3mx^2+2nx+9 donc f'(1)=3m+2n+9 donc 3m+2n+9=0 donc 3m+2n=-9
Or m+n=-5 donc m=-5-n, en remplaçant : 3(-5-n)+2n=-9; -15-3n+2n=-9; \boxed{n=-6}
et m=-5-n=-5-(-6) donc \boxed{m=1}
Conclusion : \boxed{f(x)=x^3-6x^2+9x+2}

5. a) f(x)=x^3-6x^2+9x+2 donc f'(x)=3x^2-12x+9
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 est donné par f'(0) : f'(0)=9
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4 est donné par f'(4) : f'(4)=3\times4^2-12\times4+9=48-48+9=9
Les tangentes aux points d'abscisses 0 et 4 ont donc le même coefficient directeur : elles sont donc parallèles.

5. b) L'aire du domaine hachuré est donné par \mathcal{A} = \displaystyle \int_2^4(x+2-f(x))dx :
\mathcal{A} = \displaystyle \int_2^4(x+2-x^3+6x^2-9x-2)dx = \displaystyle \int_2^4(-x^3+6x^2-8x)dx = \left[-\dfrac{x^4}{4}+2x^3-4x^2 \right]_2^4 \\ = \left(-\dfrac{4^4}{4}+2\times4^3-4\times4^2 \right) - \left(-\dfrac{2^4}{4}+2\times2^3-4\times2^2 \right)=4 \\ \boxed{\mathcal{A} =4 \text{ unités d'aires}}




exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Un graphe admet une chaîne eulérienne si les degrés de tous ses sommets sauf éventuellement deux sont pairs.
deg(A)=4 ; deg(B)=4 ; deg(C)=5 ; deg(D)=5 ; deg(E)=2 ; deg(G)=3 ; deg(S)=3

Ce n'est donc pas le cas ici. Le graphe n'admet pas de chaîne eulérienne.

2. Le nombre chromatique est inférieur ou égal à r + 1, où r est le plus grand degré de ses sommets.
Ici, r = 5, donc c \le 6
Le nombre chromatique d'un graphe est supérieur ou égal au nombre chromatique de chacun de ses sous-graphes.
Ceci est un sous-graphe du graphe ci-dessous :
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 7

Il s'agit d'un graphe complet d'ordre 4, son nombre chromatique est donc 4. Donc c \ge 4
Conclusion : \boxed{4 \le c\le 6}

Partie B

1. On utilise l'algorithme de Dijkstra :
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 8

On trouve que le plus court chemin entre E et S est : E,A,B,C,S et que la longueur de ce plus court chemin est 19.

2. a) Pour arriver jusqu'en C par le plus court chemin, l'ouvrier est passé par E,A,B,C par un chemin de longueur 11.
Il s'agit ensuite de déterminer le plus court chemin de C à S en considérant CG et CS fermés. A nouveau, on utilise l'algorithme de Dijkstra :
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 9

De C à S, l'ouvrier emprunte donc le chemin le plus court C,D,S , de longeur 11.
Le chemin emprunté depuis E est alors E,A,B,C,D,S, de longueur 11 + 11= 22.

2. b) S'il l'avait su dès le départ : il s'agit de trouver le plus court chemin de E à S, en sachant que CG et CS sont fermés. A nouveau, on utilise l'algorithme de Dijkstra :
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 10

Cette fois, l'ouvrier aurait emprunté le chemin E,A,B,D,S, de longueur 20.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Arbre :
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 5


2. p(P\cap H)=p(P).p_P(H) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{12}
La probabilité que, un jour de septembre donné, il pleuve et Monsieur X arrive à l'heure est de \dfrac{1}{12}.

3. p(H) = p(P \cap H) + p(\bar P \cap H) = p(P \cap H) + p(\bar P).p_{\bar P}(H)
= \dfrac{1}{12} + \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{6} \\ = \dfrac{1}{12} + \dfrac{15}{24} = \dfrac{17}{24}
La probabilité que Monsieur X arrive à l'heure un jour de septembre donné est de \dfrac{17}{24}.

4. p_H(P) = \dfrac{p(P\cap H)}{p(H)}=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{17}{24}}=\dfrac{2}{17}
La probabilité qu'il pleuve sachant que Monsieur X arrive à l'heure un jour donnée de septembre est de \dfrac{2}{17}.

5. Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de fois où Monsieur X arrive à l'heure au travail sur une période de 4 jours de septembre.
p(Y\ge 1)=1-p(Y=0)
Or l'évènement "Y = 0" correspond à l'évènement "Monsieur X n'arrive jamais à l'heure sur ces 4 jours", donc :
p(Y=0) = p(\bar H)^4=(1-p(H))^4= \left(1 - \dfrac{17}{24} \right)^4 = \left(\dfrac{7}{24} \right)^4
D'où \boxed{p(Y \ge 1) = 1 - \left(\dfrac{7}{24} \right)^4\approx 0,993}




exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Soit f(x) = 2x^2 + xe^{-2x+3}. On calcule sa dérivée, en utilisant les formules (uv)' = u'v + uv' et (e^u)' = u'e^u :
f'(x) = 4x + e^{-2x+3} + x(-2e^{-2x+3}) = 4x+(1-2x)e^{-2x+3} = C(x)
Donc f est une primitive de C.
De plus, f(0)=2\times0+0\times e^3=0 donc f est la primitive de C qui s'annule pour x=0, donc C_T=f.
\boxed{C_T(x)=2x^2+xe^{-2x+3}}

2. C_M(x) = \dfrac{C_T(x)}{x} = \dfrac{2x^2+xe^{-2x+3}}{x} = \boxed{2x+e^{-2x+3}}

3. a) \boxed{C'_M(x) = 2-2e^{-2x+3}}

3. b) 1-e^{-2x+3}=0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-2x+3} = 1
\Longleftrightarrow \, -2x + 3 = \ln(1) = 0 \\ \Longleftrightarrow x = \dfrac{3}{2}
Donc : \boxed{S = \left \lbrace  \frac{3}{2} \right \rbrace }

3. c) 1-e^{-2x+3} > 0 \, \Longleftrightarrow \, e^{-2x+3} < 1
\Longleftrightarrow \, -2x + 3 < 0 (car la fonction ln est croissante)
\Longleftrightarrow \, -2x < -3 \\ \Longleftrightarrow \, x > \dfrac{3}{2}
Donc : \boxed{S = ]\dfrac{3}{2};+\infty[}

3. d) C'_M(x) = 2(1-e^{2x+3}) est du signe de 1-e^{-2x+3}. On en déduit le tableau de signe de C'_M et de variations de C_M :
{\begin{tabvar}{|C|LCCCR|} \hline x & 0 & & \dfrac{3}{2} & & 5 \\ \hline C'_M(x) & & - & 0 & + & \\ \hline  \niveau{2}{2} C_M(x) & e^3 = 20 & \decroit & 4 & \croit & 10 + e^{-7} = 10 \\ \hline \end{tabvar}

4. D'après le tableau de variation, l'entreprise a un coût moyen minimal pour une production de \dfrac{3}{2} centaines = 150 produits. Ce coût vaut alors C_M \left(\dfrac{3}{2}\right) = 2 \times \dfrac{3}{2}+e^{-2\times\frac{3}{2}+3}=3+1=4 milliers d'euros , soit 4 000 ?.

5. a)
sujet du bac ES obligatoire et spécialité Centres étrangers 2007 - terminale : image 11

Pour avoir un bénéfice postif, il faut : B(x)=R(x)-C_T(x)>0 donc R(x)>C_T(x). La courbe représentative de R doit être au-dessus de la courbe représentative de C_T. C'est le cas pour x\in[0,6;3,5].
L'entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit entre 60 et 350 pièces.
Le bénéfice maximal est réalisé pour x_0=2, c'est-à-dire pour 200 pièces produites.

5. b) On calcule :
B(0,6)=-0,149 ; B(0,7)=0,453 ; B(0,65)=0,146 ; B(0,62)=-0,032 ; B(0,63)=0,027. Le minimum de pièces à produire est donc de 63.
B(3,5)=-0,064 ; B(3,4)=0,603 ; B(3,45)=0,275 ; B(3,48)=0,073 ; B(3,49)=0,004. Le maximum de pièces à produire est donc de 349.
Pour réaliser un bénéfice, il faut donc produire entre 63 et 349 pièces.
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