Fiche de mathématiques
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Bac Economique et Social
Métropole - La Réunion
Session Septembre 2007

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule réponse est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point.
Une réponse fausse enlève 0,25 point.
L'absence de réponse n'ajoute ni n'enlève aucun point.

Une fonction f est définie et dérivable sur l'ensemble ]-6 \, ; \, -3[ \cup ]-3 \, ; \, +\infty[. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant :
bac ES métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 1


1. On peut affirmer que :
Réponse A : \displaystyle \lim_{x \to 5} f(x) = +\infty Réponse B : \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 5
Réponse C : \displaystyle \lim_{x \to -6} f(x) = -\infty Réponse D : \displaystyle \lim_{x \to -3\\ x < -3 } f(x) = 0


2. La courbe représentative de f admet pour asymptotes les droites d'équation :
Réponse A : x = 5 et y = -3 Réponse B : x = -3 et y = 5
Réponse C : y = 8 et y = 3 Réponse D : x = -6 et y = 5


3. Dans l'ensemble ]-6 \, ; \, -3[ \cup ]-3 \, ; \, +\infty[, l'équation f(x) = 4 admet :
Réponse A : 0 solution Réponse B : 1 solution
Réponse C : 2 solutions Réponse D : 3 solutions


4. On considère le nombre réel I = \displaystyle \int_2^4 f(x) \text{d}x. On peut affirmer que :
Réponse A : 0 \le I \le 3 Réponse B : 6 \le I \le 10
Réponse C : 3 \le I \le 6 Réponse D : I \ge 10



5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne, en milliers, le nombre de Pactes Civils de Solidarité (PACS) signés chaque année en France :
Années 2000 2001 2002 2003 2004
Rang de l'année x_i 0 1 2 3 4
Nombres de PACS en milliers, yi 22,1 19,4 25 31,1 39,6

Source INSEE



1. Calculer, à 0,1 près, le pourcentage d'augmentation du nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité entre 2000 et 2004.

2. On envisage un ajustement affine.
    a) A l'aide de la calculatrice, donner l'équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés, sous la forme y = ax + b.
Par la suite, on pose f(x) = ax + b.
    b) En supposant que cet ajustement affine est valable jusqu'en 2007, donner une estimation du nombre de milliers de Pactes Cicils de Solidarité signés en 2007.

3. On envisage un autre type d'ajustement.
On modélise le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés durant l'année 2000 + x (x entier) à l'aide de la fonction g définie par g(x) = 1,6x^2 - 1,8x + 21,4.
    a) En utilisant ce second modèle, calculer le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2007.
    b) On suppose que l'évolution se poursuit selon ce modèle jusqu'en 2015.
Le nombre de milliers de Pactes Civils de Solidarité signés en 2010 sera-t-il supérieur à 100 000 ? Justifier.

4. Comparaison des deux ajustements.
Pour chacun des deux modèles, on calcule ci-dessous le tableau des carrés des écarts entre les valeurs réelles et les valeurs calculées à l'aide de chacun de ces deux ajustements.
x_i 0 1 2 3 4
\left(y_i - f(x_i)\right)^2 16 11,36 5,95 1,02 7,95


x_i 0 1 2 3 4
\left(y_i - g(x_i)\right)^2 0,49        

    a) Recopier et compléter le deuxième tableau, les valeurs étant arrondies au centième.
    b) Lequel de ces deux ajustements semble le plus proche de la réalité ? Justifier.


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie I

Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.
bac ES métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 2


1. Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
2. Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.

Partie II

Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.
bac ES métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 3


1. Ecrire la matrice M associée à ce graphe.
(On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).

2. a) Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?
    b) Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ?


7 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

La courbe(C) donnée ci-dessous est la représentatuion graphique dans un repère orthogonal d'une fonction f définie et dérivable sur \mathbb{R}. On note f' sa fonction dérivée.
Les points A(3 ; e) et B(4 ; 2) appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 6.
bac ES métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 4


Partie I : Lecture graphique

Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier.
1. Pour quelles valeurs du nombre réel x de l'intervalle [3 ; 10] a-t-on f(x) \le 2 ?
2. Déterminer f'(3) et f'(4).

Partie II : Etude de la fonction

La fonction f représentée ci-dessus est la fonction définie sur l'intervalle [0 \, ; \, +\infty[ par f(x) = (x-2)e^{-x+4}.

1. a) Calculer f(0). Donner la valeur décimale arrondie à l'unité.
    b) On donne \displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0. Donner une interprétation graphique de ce résultat.

2. a) Pour tout nombre x de l'intervalle [0 \, ; \, +\infty[, calculer f'(x) et montrer que f'(x) = (3-x)e^{-x+4}
    b) Sur l'intervalle [0 \, ; \, +\infty[, étudier le signe de f'(x), puis dresser le tableau de variations de la fonction f.

3. On admet que la fonction g définie sur l'intervalle [0 \, ; \, +\infty[ par g(x) = (1-x)e^{-x+4} est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 \, ; \, +\infty[.
En déduire la valeur moyenne m de f sur l'intervalle [2 ; 10]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au millième.
Rappel : Soit f une fonction et [a ; b] un intervalle sur lequel f est définie et dérivable.
La valeur moyenne m de f sur l'intervalle [a ; b] est le nombre m tel que : m = \frac{1}{b-a} \displaystyle \int_a^b f(x) \text{d}x

Partie III : Etude d'un bénéfice

Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour (1,8 \le x \le 4,5).
Le bénéfice en milliers d'euros réalisé, par jour, par l'entreprise lorsqu'elle vend x centaines de litres est donné par f(x) pour x \in [1,8 \, ; \, 4,5]. On suppose que pour des raisons techniques et commerciales l'entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres.

1. Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres (soit 4 centaines de litres).

2. Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal.
Quel est ce bénéfice maximal en euros ? (Donner la réponse arrondie à 1 €).

3. A partir de quelle quantité journalière l'entreprise ne vend pas à perte ?


4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Jean s'amuse régulièrement sur un terrain de football avec le gardien de but. Chaque partie consiste à tirer successivement deux tirs au but.

Au vu des résultats obtenus au cours de l'année, on admet que :
la probabilité que Jean réussisse le premier tir au but est égale à 0,8 ;
s'il réussit le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,7 ;
s'il manque le premier, alors la probabilité de réussir le second est 0,5.
On note :
    R_1 l'évènement : "le premier tir au but est réussi" et \bar{R_1}son évènement contraire.
    R_2 l'évènement: "le second tir au but est réussi" et \bar{R_2} son évènement contraire.

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que les deux tirs au but soient réussis.

3. a) Calculer la probabilité que le second but soit réussi.
    b) Les évènements R_1 et R_2 sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

4. On note A l'évènement : "Jean a réussi exactement un tir au but". Montrer que p_A = 0,34.
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Aurelien_
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