Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
QCM Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
NOTATION :une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
On considère une fonction définie et dérivable sur , de dérivée . Son tableau de variations est donné ci-dessous. On nomme la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthogonal.
1. On peut affirmer que :
Réponse A : .
Réponse B : .
Réponse C : .
2. La courbe admet :
Réponse A : la droite d'équation pour asymptote.
Réponse B : la droite d'équation pour asymptote.
Réponse C : la droite d'équation pour asymptote.
3. Dans l'équation admet :
Réponse A : une unique solution
Réponse B : deux solutions distinctes.
Réponse C : trois solutions distinctes.
4. Dans l'inéquation
Réponse A : n'a pas de solution.
Réponse B : a toutes ses solutions positives.
Réponse C : a toutes ses solutions négatives.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution du prix (en euros) du m3 d'eau, dans une ville, entre 2002 et 2006.
Années
2002
2003
2004
2005
2006
Rang de l'année
0
1
2
3
4
Prix en euros du m3 d'eau
2,64
2,76
2,81
2,95
3,39
I. Calculer le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006. Donner le résultat arrondi à 0,1 %.
II. Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous :
Evolution du prix du m3 d'eau d'une ville
L'allure du nuage suggère deux types d'ajustement.
1. Ajustement affine a) Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième.
b) Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m3 d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
2. Ajustement exponentiel On pose .
On prend pour équation de la droite d'ajustement de en obtenue par la méthode des moindres carrés, avec .
a) En déduire qu'une relation entre et s'écrit alors sous la forme .
b) Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m3 d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignemant de spécialité
Une île imaginaire dont la carte est représentée ci-dessous, est composée de six provinces, notées A, B, C, D, E et F.
On s'intéresse aux frontières séparant ces provinces. On traduit cette situation par un graphe dont les sommets sont les provinces et où chaque arête représente une frontière entre deux provinces.
On admet que le graphe ci-dessous représente cette situation :
1. a) Donner l'ordre du graphe , puis le degré de chacun de ses sommets.
b) Peut-on visiter cette île en franchissant une et une seule fois chacune des dix frontières ? Justifier.
Si oui, proposer un parcours possible
2. a) Le graphe possède-t-il un sous-graphe complet d'ordre 3 ? Si oui, en citer un.
Préciser, sans justification, si le graphe possède un sous graphe complet d'ordre 4.
Quelle conséquence cela a-t-il sur le nombre chromatique du graphe ?
b) Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux provinces qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes (on peut remplacer les couleurs par différents hachurages).
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A :
Sur son trajet habituel pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs dont les fonctionnements sont supposés indépendants.
Ces feux sont réglés de telle sorte que la probabilité pour un automobiliste de rencontrer le feu au vert est à l'orange et au rouge .
On note :
R1 l'évènement : le premier feu rencontré est au rouge
V1 l'évènement : le premier feu rencontré est au vert
O1 l'évènement : le premier feu rencontré est à l'orange
et on définit de même R2, V2, O2 pour le deuxième feu rencontré.
1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?
2. Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert.
Partie B :
On règle le deuxième feu afin de rendre la circulation des véhicules plus fluide.
L'arbre suivant modélise la nouvelle situation dans laquelle les fonctionnements des deux feux ne sont plus indépendants.
1. Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?
2. Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ?
7 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre 100 et 600 pièces. Elle vend tout ce qui est produit.
On considère la fonction définie sur l'intervalle [1 ; 6] par
représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, obtenu pour la vente de centaines de pièces.
La fonction est dérivable sur l'intervalle [1 ; 6]. On note sa fonction dérivée.
Les questions 1 et 2 sont indépendantes. 1. a) Montrer que pour tout nombre reel appartenant à l'intervalle [1 ; 6],
b) Etudier le signe de sur l'intervalle [1 ; 6].
c) En déduire le tableau de variations de la fonction sur l'intervalle [1 ; 6].
d) Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.
2. a) Prouver que la fonction définie sur l'intervalle par est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle .
b) En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle [1 ; 6].
c) Calculer la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [1 ; 6] (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
Rappel : Soit une fonction et un intervalle sur lequel est définie et dérivable.
La valeur moyenne de sur un l'intervalle , est le nombre tel que :
Publié par Cel/
le
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