Fiche de mathématiques
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Bac Economique et Social
Nouvelle Calédonie - Session Novembre 2007

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
L'usage des formulaires de mathématiques n'est pas autorisé.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]0~;~+\infty[, strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle [2~;~+\infty[.
On note f' la fonction dérivée de f sur l'intervalle ]0~;~+\infty[.
La courbe \Gamma représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est tracée ci-dessous.
Elle passe par les points A\left(\dfrac{1}{2}~;~-2\right), B(1 ; 0), C(2 ; 1) et D\left(\dfrac{7}{2}~;~0\right).
E est le point de coordonnées \left(1~;~\dfrac{3}{2}\right).
La courbe \Gamma admet au point C une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La droite (AE) est tangente à la courbe \Gamma au point A.
bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 1

Pour chacune des affirmations ci-dessous, cocher la case V (l'affirmation est vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse).
Les réponses ne seront pas justifiées.

Notation : une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte retire 0,25 point ; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.

AffirmationVF
a) L'équation f(x) = -1 admet exactement deux solutions sur l'intervalle ]0~;~+\infty[.  
b) Le coefficient directeur de la droite (AE) est égal à \dfrac{1}{7}.  
c) Les fonctions f et f' ont le même signe sur l'intervalle [1 ; 2].  
d) Les primitives de la fonction f sont croissantes sur l'intervalle \left[1~;~\dfrac{7}{2}\right].  
e) On peut calculer \ln [f(x)] pour tout réel x de l'intervalle ]0~;~+\infty[.  
f) La fonction g définie sur l'intervalle [2~;~+\infty[ par g(x) =  \text{e}^{f(x)} est croissante sur cet intervalle.  


5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Un club sportif a été créé au début de l'année 2000 et, au cours de cette année-là, 140 adhérents s'y sont inscrits.
Le tableau cl-dessous donne le nombre d'adhérents de 2000 à 2005.
année200020012002200320042005
rang de l'année x_{i}012345
nombre d'adhérents y_{i}140165220240260310

Le détail des calculs statistiques à effectuer à la calculatrice n'est pas demandé.

1. Représenter dans un repère orthogonal (O~;~\vec{i},\vec{j}) le nuage des points \text{M}_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right) associé à cette série statistique.
On prendra comme unités graphiques : 2 cm pour 1 année en abscisse et 1 cm pour 10 adhérents en ordonnées. Sur l'axe des ordonnées, on commencera la graduation à 120.

2. Un premier ajustement du nuage des points \text{M}_{i}\left(x_{i}~;~ y_{i}\right).
    a) On désigne par G1 le point moyen des trois points M1, M2 et M3 du nuage et par G2 le point moyen des trois points M4, M5 et M6 du nuage.
Calculer les coordonnées respectives de G1 et de G2 dans le repère (O~;~\vec{i},\vec{j}).
    b) Déterminer l'équation réduite y = Ax +B de la droite (G1G2) dans le repère (O~;~\vec{i},\vec{j}), les coefficients A et B seront donnés sous la forme de fractions irréductibles.
Tracer la droite (G_{1}G_{2}) sur le graphique.
    c) En utilisant la droite (G1G2) comme droite d'ajustement du nuage, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.

3. Dans cette question, on utilise la droite des moindres carrés.
    a) Soit \Delta la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Donner, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite \Delta dans le repère (O~;~\vec{i},\vec{j}).
    b) En utilisant la droite \Delta, calculer le nombre d'adhérents au club sportif que l'on peut prévoir pour l'année 2007.

4. a) Si le taux d'augmentation du nombre d'adhérents d'une année à l'autre était fixe et égal à t %, quelle serait la valeur de t arrondie au centième qui donnerait la même augmentation du nombre d'adhérents entre 2000 et 2005 ?
    b) Avec ce même taux d'augmentation t, quel serait le nombre d'adhérents, arrondi à l'unité, pour l'année 2007 ?


5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur le graphe ci-dessous, les sept sommets A, B, C, D, E, F et G correspondent à sept villes. Une arête reliant deux de ces sommets indique l'existence d'une liaison entre les deux villes correspondantes.
bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 2

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.

1. Est-il possible de trouver un trajet, utilisant les liaisons existantes, qui part d'une des sept villes et y revient en passant une fois et une seule fois par toutes les autres villes ?

2. On note M la matrice associée au graphe ci-dessus. Les sommets sont rangés suivant l'ordre alphabétique.
On donne \text{M}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 6 & 1 & 0 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 1 & 10 & 9 & 1 & 5 \\ 6 & 1 & 0 & 9 & 8 & 0 & 3 \\ 1 & 10 & 9 & 2 & 1 & 7 & 5 \\ 0 & 9 & 8 & 1 & 0 & 6 & 3 \\ 4 & 1 & 0 & 7 & 6 & 0 & 2 \\ 2 & 5 & 3 & 5 & 3 & 2 &	2\\ \end{pmatrix}
Donner le nombre de chemins de longueur 3 qui relient le sommet A au sommet F.
Les citer tous. Aucune justification n'est demandée.

3. On donne ci-dessous et sur le graphe ci-dessous les distances exprimées en centaines de kilomètres entre deux villes pour lesquelles il existe une liaison :
AB : 5 ; AC : 7 ; BD : 8 ; BE: 15 ; BG : 6 ; CD : 10 ; CE : 15 ; DF : 20 ; DG : 10 ; EF : 5.
bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 3

Un représentant de commerce souhaite aller de la ville A à la ville F.
En expliquant la méthode utilisée, déterminer le trajet qu'il doit suivre pour que la distance parcourue soit la plus courte possible et donner cette distance.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une étude réalisée auprès des élèves d'un lycée a permis d'établir que 55 % des élèves possèdent un ordinateur. Parmi les élèves qui ont un ordinateur, 98 % possèdent un téléphone portable.
De plus, parmi ceux qui possèdent un téléphone portable, 60 % possèdent un ordinateur.
Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats au centième donc les pourcentages à l'unité.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A :

On choisit au hasard un élève de ce lycée.
On note :
    M l'évènement : « L'élève possède un ordinateur » ;
    T l'évènement : « L'élève possède un téléphone portable » ;
    \overline{\text{M}} l'évènement contraire de M ;
    \overline{\text{T}} l'évènement contraire de T.

1. a) Calculer la probabilité que l'élève possède un ordinateur et un téléphone portable.
    b) En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable.

2. a) On prend 0,90 comme valeur de la probabilité de l'évènement T.
Calculer la probabilité que l'élève ne possède pas d'ordinateur mais possède un téléphone portable.
    b) En déduire la probabilité que l'élève possède un téléphone portable sachant qu'il ne possède pas d'ordinateur.

Partie B :

On choisit trois élèves au hasard, indépendamment les uns des autres.
On note E l'évènement : « Exactement deux des trois lycéens choisis possèdent un ordinateur ».
Calculer la probabilité de l'évènement E.


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

On considère la fonction h définie et dérivable sur \mathbb{R} par   h(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^{x} +6. On note h' sa fonction dérivée.

1. a) Calculer la limite de la fonction h en - \infty.
    b) Calculer la limite de la fonction h en + \infty.
(on pourra utiliser l'égalité vraie pour tout réel x~:~ h(x) = \text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} -  7 + 6\text{e}^{-x}\right)).

2. Calculer h\left(\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right),~ h(0) puis h(\ln 6).

3. Déterminer par le calcul l'image h'(x) d'un réel x par la fonction h' et étudier les variations de la fonction h.
Dresser le tableau de variations de la fonction h et faire figurer les résultats des questions précédentes dans ce tableau.

4. En déduire le tableau des signes de la fonction h.

Partie B

On considère les fonctions f et g définies sur \mathbb{R} par     f(x) = 6 - 6\text{e}^{-x} \text{ et } g(x)= \text{e}^{x} - 1.
On note \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère du plan d'unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.
Les courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g} sont données en annexe.

1. Démontrer que le point de coordonnées (\ln 6~;~ 5) est un point d'intersection des courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g}.

2. a) Démontrer que, pour tout réel x,~ f(x) - g(x) = \dfrac{- h(x)}{\text{e}^{x}}.
    b) Déterminer, par le calcul, la position relative des courbes \mathcal{C}_{f} et \mathcal{C}_{g}.

3. On note \mathcal{D} le domaine du plan limité par les courbes \mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{g} et les droites d'équations respectives x= 0 et x= \ln 6.
    a) Hachurer le domaine \mathcal{D} sur le graphique donné en annexe.
    b) Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine \mathcal{D} en cm² puis en donner une valeur approchée arrondie au centième.
Annexe :
bac ES Nouvelle Calédonie Novembre 2007 - terminale : image 4
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