Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Littéraire
Épreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Polynésie Française - Session 2007

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

Le candidat doit traiter les deux exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'apprécition des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
10 points

exercice 1

Monsieur et Madame Dupond souhaitent emprunter 200 000 € afin d'acheter une maison.
Ils étudient les propositions de deux banques pour des prêts d'une durée de 15 ans à partir du 1er janvier 2007.
    Les mensualités de remboursement du prêt proposé par la banque Crédit du Soleil sont de 1500 € pendant la totalité de la durée du prêt.
    Les mensualités de remboursement du prêt proposé par la banque Caisse Azur sont de 1230 € la première année puis augmentent de 3% chaque année.

1. Dans cette question, on s'intéresse au prêt proposé par la banque Crédit du Soleil.
   a) Quel est le montant total que devront verser Monsieur et Madame Dupond à la banque Crédit du Soleil en 2007 s'ils souscrivent ce prêt ?
   b) Au bout de 15 ans, quelle somme auront remboursée Monsieur et Madame Dupond s'ils souscrivent ce prêt ? Cette somme est appelée valeur réelle du prêt.

2. Dans cette question, on s'intéresse au prêt proposé par la banque Caisse Azur.
Les résultats seront arrondis si nécessaire au centime d'euro.
   a) Calculer le montant des mensualités que Monsieur et Madame Dupond devront rembourser en 2008 s'ils souscrivent ce prêt.

On note u0 le montant en euros des mensualités en 2007, u1 le montant en euros des mensualités en 2008 et, plus généralement, un le montant en euros des mensualités en 2007+n, n étant un entier compris entre 0 et 14.
Ainsi : u0 = 1230.

   b) Donner u1. Calculer u2.
   c) Quelle est la nature de la suite (un) ? Justifier votre réponse.
   d) Exprimer un en fonction de n pour les entiers n compris entre 0 et 14.
Quel sera le montant des mensualités de Monsieur et Madame Dupond en 2016 s'ils souscrivent le prêt proposé par la banque Caisse Azur ?
   e) Une représentation graphique de la suite (un), pour les entiers n compris entre 0 et 14, est donnée ci-dessous.
Épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2007 et son corrigé - terminale : image 1

Déterminer graphiquement à partir de quelle année les mensualités de remboursement demandées à Monsieur et Madame Dupond par la banque Caisse Azur seront supérieures à celles demandées par la banque Crédit du Soleil.

3. Avant d'effectuer leur choix pour l'une ou l'autre des deux banques, Monsieur et Madame Dupond veulent également connaître la valeur réelle du prêt proposé par la banque Caisse Azur.
Pour cela ils utilisent un tableur. On donne ci-dessous leur feuille de calcul, dans laquelle le contenu de certaines cases a été masqué.

  A B C D
1 Rang n Année 2007+n Mensualités un versés à la banque Caisse Azur (arrondies au centième d'euro) Montant annuel versé à la banque Caisse Azur (arrondi au centième d'euro)
2 0 2007 1230.00  
3 1 2008    
4 2 2009    
5 3 2010 1344.05 16128.65
6 4 2011 1384.38 16612.51
7 5 2012 1425.91 17110.89
8 6 2013 1468.68 17624.21
9 7 2014 1512.74 18152.94
10 8 2015 1558.13 18697.53
11 9 2016   19258.45
12 10 2017 1653.02 19836.21
13 11 2018 1702.61 20431.29
14 12 2019 1753.69 21044.23
15 13 2020 1806.30 21675.56
16 14 2021 1860.49 22325.82
17     valeur réelle du prêt : 274519.97


   a) Compléter les cases C3, C4, D2, D3 et D4 du tableau ci-dessus.
On ne demande pas de justification.
   b) Quelle formule peut avoir été écrite en cellule C3 pour obtenir, après recopie vers le bas jusqu'à la cellule C16, les termes de la suite (un) dans la colonne C ?
   c) Quelle formule peut avoir été écrite en cellule D2 pour obtenir, après recopie vers le bas jusqu'à la cellule D16, le montant annuel des sommes versés dans la colonne D ?
   d) Monsieur et Madame Dupond ont calculé dans la cellule D17 la valeur réelle du prêt que leur propose la banque Caisse Azur. Quelle formule ont-ils pu écrire en cellule D17 pour cela ?


10 points

exercice 2

Partie 1 :
Dans le réseau ferroviaire français, les trains " Grandes Lignes " sont de deux types : Corail ou TGV (Train à Grande Vitesse) et l'on propose aux clients de voyager en seconde ou première classe.

Une enquête est réalisée dans une gare de province durant la première semaine du mois de juillet 2006.
Sur les 2450 billets vendus, 82% sont des billets de seconde classe.
Sur les 850 billets TGV vendus, 14% sont des billets de première classe.

1. Compléter le tableau suivant :

  Billets Corail Billets TGV Total
Billets Seconde classe      
Billets Première classe      
Total   850 2450


2. Vérifier que le pourcentage des billets de première classe parmi les billets Corail vendus durant la première semaine du mois de juillet 2006 est 20% (arrondi à l'unité).

3. Le directeur de la gare peut-il déduire de cette enquête que 34% environ des billets vendus dans sa gare durant la première semaine du mois de juillet 2006 sont des billets de première classe ? Justifier.

Partie 2 :
1. En 2005, la gare a réalisé un chiffre d'affaires annuel en milliers d'euros (K€), arrondi à l'unité de 4108 K€. la série statistique des chiffres d'affaires mensuels réalisés cette année là est représentée par un diagramme en boîte donné ci-dessous.

Épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2007 et son corrigé - terminale : image 2


Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses.
Affirmation 1 : 50% au moins des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2005 sont inférieurs ou égaux à 340 K€.
Affirmation 2 : sur les douze mois de l'année 2005, deux seulement ont généré pour la gare un chiffre d'affaires mensuel inférieur ou égal à 310 K€.

2. Les chiffres d'affaires mensuels et le chiffre d'affaire annuel de la gare en 2006, en milliers d'euros (K€) et arrondis à l'unité, sont donnés ci-dessous.

Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin
Chiffres d'affaires 330 K€ 342 K€ 360 K€ 372 K€ 375 K€ 385 K€


Juillet Août Septembre Octobre Novembre Décembre Année 2006
415 K€ 410 K€ 424 K€ 430 K€ 391 K€ 350 K€ 4584 K€


   a) Quel est le pourcentage d'évolution du chiffre d'affaires annuel de la gare, arrondi au millier d'euros, entre les années 2005 et 2006 ? Arrondir au dixième.
   b) Déterminer le minimum, le maximum, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série statistique des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2006.
   c) Construire, sur le graphique, le diagramme en boîte de la série statistique des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2006.
   d) Quelles conclusions le directeur de la gare peut-il tirer de la comparaison des deux diagrammes en boîte représentés ?



exercice 1

1. a) Déterminons le montant total que devront verser Monsieur et Madame Dupond à la banque Crédit du Soleil en 2007 :
Les mensualités de remboursement du prêt proposé par la banque Crédit du Soleil sont de 1500 € pendant la totalité de la durée du prêt.
En 2007, monsieur et madame Dupond devront donc verser 12 × 1500 €, soit 18 000 €.

1. b) Déterminons la somme remboursée au bout de 15 ans :
Au bout de 15 ans, monsieur et madame Dupond auront remboursé 18 000 × 15 €, soit 270 000 €.
La valeur réelle du prêt proposé par la banque Crédut du Soleil est donc de 270 000 euros.

2. a) Déterminons le montant des mensualités que Monsieur et Madame Dupond devront rembourser en 2008 s'ils souscrivent le prêt de la banque Caisse Azur :
Les mensualités su prêt proposé par la banque Caisse Azur sont de 1230 € en 2007, puis elles augmentent de 3 % en 2008. Elles sont alors de : 1230 + 1230 \times \dfrac{3}{100} = 1266,9 euros.
En 2008, les mensualités seront de 1266,90 euros.

2. b) A l'aide du calcul précédent, on en déduit que u1 = 1266,90.
Calculons u2 :
En 2009, les mensualités augmentent de nouveau de 3 %, donc : \text{u_2 = u_1 + \frac{3}{100} = 1,03 u_1} = 1,03 \times 1266,90 \approx 1304,91
Donc : u2 \approx 1304,91

2. c) Pour tout entier naturel n, on a :
u_n = u_{n-1} + \dfrac{3}{100} \times u_{n-1} = 1,03u_{n-1}
Donc (un) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme u0 = 1230.

2. d) De la question précédente, on en déduit que pour les entiers n compris entre 0 et 14, un = 1230 × 1,03n
      Montant des mensualités de Monsieur et Madame Dupond en 2016 :
On a 2016 = 2007 + 9, donc u9 = 1230 × 1,039 \approx 1604,87.
Le montant des mensualités de Monsieur et Madame Dupond en 2016 s'ils souscrivent le prêt proposé par la banque Caisse Azur sera d'environ 1604,87 euros.
Épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2007 et son corrigé - terminale : image 1


2. e) Les mensualités du prêt proposé par la banque Crédit du Soleil sont de 1500 €. On trace donc sur le graphique la droite d'équation y = 1500. Le premier point situé au-dessus de cette droite est le point correspondant à n = 7.
Donc en 2007 + 7, c'est-à-dire en 2014, les mensualités du prêt proposé par la banque Caisse Azur seront supérieurs à celles demandées par la banque Crédit du Soleil.

Épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2007 et son corrigé - terminale : image 3


3. a) Complétons les cases C3, C4, D2, D3 et D4 du tableau ci-dessous :
A l'aide de ce qui précède :
Case C3 : u1 = 1266,90
Case C4 : u2 = 1304,91
D2 = u0 × 12 = 1230 × 12 = 14760
D3 = u1 × 12 = 1266,90 × 12 = 15202,80
D4 = u2 × 12 = 1304,91 × 12 = 15658,92

  A B C D
1 Rang n Année 2007+n Mensualités un versés à la banque Caisse Azur (arrondies au centième d'euro) Montant annuel versé à la banque Caisse Azur (arrondi au centième d'euro)
2 0 2007 1230.00 14760
3 1 2008 1266,90 15202,80
4 2 2009 1304,91 15658,92
5 3 2010 1344.05 16128.65
6 4 2011 1384.38 16612.51
7 5 2012 1425.91 17110.89
8 6 2013 1468.68 17624.21
9 7 2014 1512.74 18152.94
10 8 2015 1558.13 18697.53
11 9 2016   19258.45
12 10 2017 1653.02 19836.21
13 11 2018 1702.61 20431.29
14 12 2019 1753.69 21044.23
15 13 2020 1806.30 21675.56
16 14 2021 1860.49 22325.82
17     valeur réelle du prêt : 274519.97


3. b) La formule à écrire en cellule C3 pour obtenir, après recopie vers le bas jusqu'à la cellule C16, les termes de la suite (un) dans la colonne C est : \boxed{\text{=C2 \times 1,03}}

3. c) La formule à écrire en cellule D2 pour obtenir, après recopie vers le bas jusqu'à la cellule D16, le montant annuel des sommes versés dans la colonne D est : \boxed{\text{=C2 \times 12}}

3. d) La formule à écrire dans la formule D17 est : \boxed{\text{=SOMME(D2:D16)}}




exercice 2

Partie 1 :

1. Complétons le tableau :
On sait que sur les 2450 billets vendus, 82 % sont des billets de seconde classe. Cela représente 2450 \times \dfrac{82}{100} des billets vendus, soit 2009 billets.
Donc 2450 - 2009 billets sont des billets de première classe, soit 441.
Sur les 850 billets TGV vendus, 14 % sont des billets de première classe. Cela représente \dfrac{14}{100} \times 850 billets, c'est-à-dire 119 billets.
Il y a donc 850 - 119 billets TGV de seconde classe, soit 731.
Il y a 2009 - 731 billets Corail de seconde classe, soit 1278.
Il y a 441 - 119 billets Corail de première classe, soit 322.
Il y a au total 1278 + 322 billets Corail, soit 1600.

  Billets Corail Billets TGV Total
Billets Seconde classe 1278 731 2009
Billets Première classe 322 119 441
Total 1600 850 2450


2. Pendant la première semaine du mois de juillet 2006, parmi les 1600 billets Corail, 322 billets Corail première classe ont été vendus. Cela représente \dfrac{322}{1600} \times 100 \%, soit environ 20 % (arrondi à l'unité).

3. Pendant la première semaine du mois de juillet 2006, sur les 2450 billets vendus, 82 % sont des billets de seconde classe. Donc 18 % sont des billets de première classe.
Le directeur de la gare ne peut donc pas déduire de cette enquête que 34% environ des billets vendus dans sa gare durant la première semaine du mois de juillet 2006 sont des billets de première classe.

Partie 2 :

1. Affirmation 1 :
Sur le diagramme en boîte, on constate que la médiane est égale à 340 K€.
Donc au moins 50 % des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2005 sont inférieurs ou égaux à 340 K€.
Donc l'affirmation 1 est vraie.

   Affirmation 2 :
Sur le diagramme en boîte, on constate que le premir quartile est égale à 310 K€.
Cela signifie qu'au moins 25% des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2005 sont inférieurs ou égaux à 310 K€.
Donc sur les douze mois de l'année 2005, trois ont généré pour la gare un chiffre d'affaires mensuel inférieur ou égal à 310 K€.
Donc l'affirmation 2 est fausse.

2. a) Déterminons le pourcentage d'évolution du chiffre d'affaires annuel de la gare entre les années 2005 et 2006 :
En 2005, le chiffre d'affaires annuel est 4108 K€, en 2006, il est de 4584 K€.
Cela représente une augmentation de \dfrac{4584-4108}{4108} \times 100 \%, soit environ 11,6 % (arrondi au dixième).

2. b) Déterminons le minimum, le maximum, la médiane, le premier quartile et le troisième quartile de la série statistique des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2006 :
On commence par ordonner les douze chiffres d'affaires :
330 K€ - 342 K€ - 350 K€ - 360 K€ - 372 K€ - 375 K€ - 385 K€ - 391 K€ - 410 K€ - 415 K€ - 424 K€ - 430 K€.
Le minimum est 330 K€, le maximum est 430 K€.
La médiane est la moyenne du sixième et du septième chiffre d'affaires : \text{Me} = \dfrac{385 + 415}{2} = 400. Donc la médiane est 400 K€.
\dfrac{12}{4} = 3, donc le premier quartile est le troisième chiffre d'affaires. D'où le premier quartile est 350 K€.
\dfrac{3 \times 12}{4} = 9, donc le troisième quartile est le neuvième chiffre d'affaires. D'où le troisième quartile est 410 K€.

2. c) Construisons le diagramme en boîte de la série statistique des chiffres d'affaires mensuels de la gare en 2006 :

Épreuve anticipée du bac littéraire Polynésie Française 2007 et son corrigé - terminale : image 4

2. d) Pour l'année 2005, l'écart interquartile est de 60 et l'étendue est de 110. Pour l'année 2006, l'écart interquartile est de 60 et l'étendue est de 100.
Le directeur de la gare peut donc en conclure que les deux diagrammes en boîte ont pratiquement la même forme. Le deuxième diagramme est décalé vers la droite. Donc le chiffre d'affaires a augmenté régulièrement chaque mois entre 2005 et 2006 (il n'y a pas quelques mois avec une grosse augmentation).
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