Bac Littéraire
Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Amérique du Nord - Session 2007

Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

Le candidat doit traiter les deux exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'apprécition des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.

8 points

exercice 1

Dans un lycée on étudie les moyennes trimestrielles du premier trimestre de deux classes appelées respectivement Jaune et Rouge.

Partie 1

Les 25 élèves de la classe Jaune ont obtenu les moyennes trimestrielles suivantes au premier trimestre :
3; 4; 5; 7; 7; 10; 10; 10; 10; 10; 11; 11; 12; 12; 12; 12; 12; 13; 13; 13; 14; 15; 15; 16; 18.
La moyenne trimestrielle de la classe s'obtient à partir des notes moyennes de chaque élève.

1. Déterminer la médiane Me, le premier quartile Q₁ et le troisième quartile Q₃ de cette série statistique de moyennes trimestrielles.

2. Représenter, sur l'annexe 1 ci-dessous, le diagramme en boîte correspondant en faisant apparaître les valeurs extrêmes.

Diagramme en boîte " Moyennes trimestrielles de la classe Jaune "

sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Amérique du Nord 2007 - terminale : image 1

Diagramme en boîte "Moyennes trimestrielles de la classe Rouge"

Annexe 1

3. Calculer la moyenne trimestrielle de la classe jaune.

Partie 2

Les indicateurs de la classe Rouge permettant de résumer la série statistique des moyennes du premier trimestre sont les suivants :
Minimum = 3 ; premier quartile Q'₁ = 8 ; Médiane Me' = 10 ; Troisième quartile Q'₃ = 12 ; Maximum = 17.

1. Représenter, sur l'annexe 1, le diagramme en boîte correspondant.

2. Parmi les affirmations suivantes lesquelles sont vraies, fausses ou indécidables ?
(Indécidable signifie que l'on ne peut pas conclure avec les éléments connus).
Justifier votre réponse dans chacun des cas.
    a) 50% des élèves de la classe Rouge ont une note comprise entre 10 et 12.
    b) 75% des élèves des la classe Rouge ont une note inférieure ou égale à 12.
    c) Au moins 50% des élèves de la classe Rouge ont une note inférieure ou égale à la note médiane de la série de la classe Jaune.

12 points

exercice 2

Le premier janvier 2000, deux bébés viennent au monde : Urbain et Victor. Leurs familles respectivent décident alors d'épargner pour leur enfant.

La famille d'Urbain verse 3 000 euros le jour de la naissance de leur fils, sur un compte où le taux d'intérêt annuel est de 2,75 %. Aucun retrait ni dépôt ne s'effectuent pendant les années suivantes. Le taux d'intérêt reste fixe.

La famille de Victor place 1 000 euros dans une tirelire le 01/01/2000 et y verse ensuite, chaque premier janvier suivant, 240 euros sans jamais effectuer de retrait.

1. Calculer l'argent disponible sur le compte de chaque enfant le jour de leur premier anniversaire.

On appelle u_n le montant en euros du compte d'Urbain le premier janvier de l'année 2000 + n.
On appelle v_n le montant en euros de la tirelire de Victor le premier janvier de l'année 2000 + n.

Sur l'annexe 2 ci-dessous, on a représenté la situation dans une feuille de calcul d'un tableur.

	A	B	C	D
1	Année	Rang du terme de chaque suite	Compte d'Urbain Suite u_n	Tirelire de Victor Suite v_n
2	2000	0	3000,00	1000,00
3	2001	1	3082,50	1240,00
4	2002	2	3167,27	1480,00
5	2003	3	3254,37	1720,00
6	2004	4	3343,83	1960,00
7	2005	5	3435,82	2200,00
8	2006	6	3530,31	2440,00
9	2007	7	3627,39	2680,00
10	2008	8	3727,14	2920,00
11	2009	9	3829,64	3160,00
12	2010	10	3934,95	3400,00
13	2011	11	4043,16	3640,00
14	2012	12
15	2013	13
16	2014	14
17	2015	15
18	2016	16
19	2017	17
20	2018	18

Annexe 2

2. a) Quelle formule peut-on écrire dans la cellule C3 si l'on veut obtenir par recopie vers le bas les valeurs de la suite (u_n) ?
    b) Quelle formule contient alors la cellule C7 ?

3. a) Quelle formule peut-on écrire dans la cellule D3 si l'on veut obtenir par recopie vers le bas les valeurs de la suite (v_n) ?
    b) Quelle formule contient alors la cellule D8 ?

4. a) Quelle est la nature de la suite (u_n) et ses éléments caractéristiques ?
    b) Exprimer u_n en fonction de n.
    c) Quelle est la nature de la suite (v_n) et ses éléments caractéristiques ?
    d) Exprimer v_n en fonction de n.

5. Compléter le tableau de l'annexe 2.

6. A partir de quelle date anniversaire Victor aura-t-il plus d'argent dans sa tirelire qu'Urbain sur son compte ?

7. Victor peut disposer de la totalité de sa tirelire après son dix huitième anniversaire. Sa famille poursuit les versements annuels.
    a) Avec la somme disponible dans sa tirelire, pourra-t-il s'acheter une voiture d'une valeur de 6000 euros dès le 2 janvier 2018 ?
    b) Déterminer le nombre minimum d'années nécessaire pour que sa tirelire présente un solde suffisant permettant d'acheter la voiture ?

Voir la correction

exercice 1

Partie 1

1. Déterminons la médiane Me, le premier quartile Q₁ et le troisième quartile Q₃ de cette série statistique de moyennes trimestrielles :
Les notes sont ordonnées.
L'effectif total est 25. La médiane est donc la treizième note, soit 12.
Donc : Me = 12
$\dfrac{25}{4} = 6,25$ , donc le premier quartile est la septième note. D'où le premier quartile est 10.
$\dfrac{3 \times 25}{4} = 18,75$ , donc le troisième quartile est la dix-neuvième note. D'où le troisième quartile est 13.

2. Représentons, le diagramme en boîte correspondant en faisant apparaître les valeurs extrêmes :
Le minimum est 3, le maximum est 18.

Diagramme en boîte " Moyennes trimestrielles de la classe Jaune "

sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Amérique du Nord 2007 - terminale : image 2

3. Calculons la moyenne trimestrielle de la classe jaune :
$\dfrac{3 \times 1 + 4 \times 1 + 5 \times 1 + 7 \times 2 + 10 \times 5 + 11 \times 2 + 12 \times 5 + 13 \times 3 + 14 \times 1 + 15 \times 2 + 16 \times 1 + 18 \times 1}{25}$ $= \dfrac{275}{25} = 11$
La moyenne trimestrielle de la classe jaune est 11.

Partie 2

1. Représentons le diagramme en boîte :

Diagramme en boîte "Moyennes trimestrielles de la classe Rouge"

sujet de l'épreuve anticipée du bac littéraire Amérique du Nord 2007 - terminale : image 3

2. a) La médiane est de 10, donc au moins 50 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 10. Le troisième quartile est 12, donc au moins 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 12.
Donc 25 % des élèves de la classe Rouge ont une note comprise entre 10 et 12.
L'affirmation est donc fausse.

2. b) Le troisième quartile est 12, donc au moins 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 12.
L'affirmation est donc vraie.

2. c) La note médiane de la classe Jaune est 12. Le troisième quartile de la classe Rouge est 12, donc au moins 75 % des élèves ont une note inférieure ou égale à 12.
L'affirmation est donc vraie.

exercice 2

1. Calculons l'argent disponible sur le compte de chaque enfant le jour de leur premier anniversaire :
sur le compte d'Urbain :
Le jour de sa naissance, les parents d'Urbain versent 3 000 euros sur son compte. Le taux d'intérêt annuel est de 2,75 %, donc au bout d'un an, Urbain disposera de :
$3000 + \dfrac{2,75}{100} \times 3000 = 3082,50$ euros.

sur le compte de Victor :
Le jour de sa naissance, les parents de Victor versent 1 000 euros sur son compte. A son premier anniversaire, ils versent 240 euros. Il disposera alors de 1 240 euros.

2. a) La formule à écrire dans la cellule C3 si l'on veut obtenir par recopie vers le bas les valeurs de la suite (u_n) est : $\boxed{=\$ \text{C}2+\$ \text{C}2 \times 2,75/100}$ ou $\boxed{=1,0275 \times \$ \text{C}2}$

2. b) La cellule C7 contient alors la formule : $\boxed{=\$\text{C}6+\$\text{C}6 \times 2,75/100}}$ ou $\boxed{=1,0275 \times \$\text{C}6}$

3. a) La formule à écrire dans la cellule D3 si l'on veut obtenir par recopie vers le bas les valeurs de la suite (v_n) est : $\boxed{=\$\text{D}2+240}$

3. b) La cellule D8 contient alors la formule suivante : $\boxed{= \$ \text{D}7+240}$

4. a) Déterminons la nature de la suite (u_n) et ses éléments caractéristiques :
Pour tout entier naturel n, on a :
$u_n = u_{n-1} + \dfrac{2,75}{100} \times u_{n-1}} = 1,0275 u_{n-1}$
Donc (u_n) est une suite géométrique de raison 1,0275 et de premier terme u₀ = 3000.

4. b) De la question précédente, on en déduit que pour tout entier naturel n, u_n = u₀ × 1,0275ⁿ = 3000 × 1,0275ⁿ.

4. c) Déterminons la nature de la suite (v_n) et ses éléments caractéristiques :
Pour tout entier naturel n, v_n = v_n-1 + 240
Donc (v_n) est une suite arithmétique de raison 240 et de premier terme v₀ = 1000.

4. d) De la question précédente, on en déduit que pour tout entier naturel n, v_n = v₀ + 240n = 1000 + 240n.

5. Complétons le tableau :

	A	B	C	D
1	Année	Rang du terme de chaque suite	Compte d'Urbain Suite u_n	Tirelire de Victor Suite v_n
2	2000	0	3000,00	1000,00
3	2001	1	3082,50	1240,00
4	2002	2	3167,27	1480,00
5	2003	3	3254,37	1720,00
6	2004	4	3343,83	1960,00
7	2005	5	3435,82	2200,00
8	2006	6	3530,31	2440,00
9	2007	7	3627,39	2680,00
10	2008	8	3727,14	2920,00
11	2009	9	3829,64	3160,00
12	2010	10	3934,95	3400,00
13	2011	11	4043,16	3640,00
14	2012	12	4154,35	3880,00
15	2013	13	4268,59	4120,00
16	2014	14	4385,98	4360,00
17	2015	15	4506,59	4600,00
18	2016	16	4630,52	4840,00
19	2017	17	4757,86	5080,00
20	2018	18	4888,70	5320,00

6. A l'aide du tableau, on constate qu'à partir de son quinzièmz anniversaire, Victor aura plus d'argent dans sa tirelire qu'Urbain sur son compte.

7. a) D'après le tableau, le 2 janvier 2018, Victor disposera de 5320 euros dans sa tirelire. Il ne pourra donc pas s'acheter une voiture d'une valeur de 6 000 euros.

7. b) Déterminons le nombre minimum d'années nécessaire pour que sa tirelire présente un solde suffisant permettant d'acheter la voiture :
On cherche n tel que v_n > 6000, ce qui équivaut à :
1000 + 240n > 6000
$\Longleftrightarrow 240\text{n} > 5000 \\ \Longleftrightarrow n > \dfrac{5000}{240}$
Or, $\dfrac{5000}{240} \approx 20,83$ , donc le nombre minimum d'années nécessaire pour que sa tirelire présente un solde suffisant permettant d'acheter la voiture est de 21.

Publié par Cel/Estelle le 09-06-2007

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