Fiche de mathématiques
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Bac Littéraire
Epreuve anticipée de Mathématiques - Informatique
Liban - Session 2007

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Durée de l'épreuve : 1 h 30 - Coefficient 2

Le candidat doit traiter les deux exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'apprécition des copies.
L'usage de la calculatrice est autorisé.
9 points

exercice 1

On a demandé à 2 000 jeunes de compter le nombre de leurs connexions à Internet pour une semaine donnée.
Les résultats sont regroupés en fonction de l’âge des élèves dans le tableau ci-dessous réalisé avec un tableur.

  A B C D E F G
1              
2 âge \ Nombre de connexions 0 à 10 fois 11 à 20 fois 21 à 30 fois 31 à 40 fois 40 fois ou plus Total
3 14 ans 10 22 27 50 38 147
4 15 ans 15 36 47 86 78 262
5 16 ans 22 58 49 80 90 299
6 17 ans 20 58 72 120 80 350
7 18 ans 22 55 70 110 80 337
8 19 ans 17 58 76 110 94 355
9 20 ans 13 49 62 68 58 250
10 Total 119 336 403 624 518 2000


1. a) Interpréter par une phrase la valeur inscrite dans la cellule C4 du tableau ci-dessus.
   b) Quelle formule a-t-on saisi dans la cellule B10 pour obtenir le nombre 119 ?

2. Parmi ces jeunes, quel est le pourcentage de ceux qui ont 18 ans et qui se sont connectés entre 31 et 40 fois dans la semaine ?

3. Parmi les jeunes qui se sont connectés entre 31 et 40 fois, quelle est la part en pourcentage de ceux qui ont 18 ans ?

4. Une autre partie de la même feuille de calcul est représentée ci-dessous.
Les cellules 14 à 20 des colonnes H à M sont au format « Pourcentage, affichage à deux décimales » :

  A H I J K L M
  âge \ Nombre de connexions 0 à 10 fois 11 à 20 fois 21 à 30 fois 31 à 40 fois 40 fois ou plus Total
14 14 ans 6,80% 14,97% 18,37% 34,01% 25,85% 100,00%
15 15 ans 5,73% 13,74% 17,94% 32,82% 29,77% 100,00%
16 16 ans 7,36% 19,40% 16,39% 26,76% 30,10% 100,00%
17 17 ans 5,71% 16,57% 20,57% 34,29% 22,86% 100,00%
18 18 ans 6,53% 16,32% 20,77% 32,64% 23,74% 100,00%
19 19 ans 4,79%     30,99% 26,48% 100,00%
20 20 ans 5,20% 19,60% 24,80% 27,20% 23,20% 100,00%


   a) Préciser par une phrase la signification de la valeur inscrite dans la cellule H14 du tableau précédent.
   b) Parmi les formules suivantes, quelle est celle que vous choisissez d’écrire dans la cellule H14 et qui, par recopie automatique dans les cellules I14 à M14 du tableau de la question 4 permet d’obtenir les pourcentages indiqués ?
\boxed{\text{= B3/G10}} \hspace{15pt} \boxed{\text{= B3/G3}}  \hspace{15pt} \boxed{\text{= B3/\$G\$3}} \hspace{15pt} \boxed{\text{= B3/\$G\$1}}

   c) Calculer le pourcentage qui manque dans la cellule J19. 11 points

exercice 2

PARTIE 1 : Analyse du temps total de transport hebdomadaire pour se rendre à l’usine

On s’intéresse au temps total de transport des 133 employés d’une usine pendant une semaine.
Le tableau ci-dessous donne le temps passé dans les transports pour ces employés.

Temps total de transport hebdomadaire exprimé en heures 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Effectifs 1 2 3 6 8 10 15 24 16 13 12 11 9 3


1. a) Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants (ci-dessous).

Temps total de transport hebdomadaire exprimé en heures 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Effectifs 1 2 3 6 8 10 15 24 16 13 12 11 9 3
Effectifs cumulés croissants                            


   b) À partir de ce tableau, déterminer la médiane Me ainsi que le premier quartile Q1 et le troisième quartile Q3 de cette série statistique. Expliquer la méthode choisie.

2. a) Soient \text{\bar{x}} la moyenne et \sigma l’écart-type de cette série statistique. On donne \text{\bar{x}} = 7,5 et \sigma = 2,8.
Le pourcentage des employés dont le temps total de transport hebdomadaire est dans l’intervalle \left[\text{\bar{x}} - 2\sigma \: ; \: \text{\bar{x}} + 2\sigma\right] est-il supérieur à 95 % de l’effectif total ? Justifier.
   b) La direction de l’usine émet l’hypothèse que les données de cette série statistique sont gaussiennes, cette hypothèse vous paraît-elle possible ? Argumenter.

PARTIE 2 : Évolution d’un salaire

Pierre a été embauché dans cette usine le 1er janvier 2005 avec un salaire mensuel de 2 000 € et son contrat prévoit une augmentation de salaire de 5 % au 1er janvier de chaque année. On note un le salaire mensuel de Pierre en 2005 + n. On a donc u0 = 2000.

1. Quel est le salaire mensuel u1 de Pierre en 2006 ?

2. Quelle est la nature de la suite (un) ?
Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, un = 2000 ×, 1,05n.

3. a) Quel sera le salaire mensuel de Pierre en 2015 ? (arrondir à l'euro)
   b) Est-il vrai que le salaire de Pierre va augmenter de 50 % entre 2005 et 2015 ? Justifier.



exercice 1

1. a) 36 jeunes de 15 ans se sont connectés à Internet 11 à 20 fois dans la semaine.

1. b) Dans la cellule B10, la formule saisie pour obtenir le nombre 119 est : \boxed{\text{=SOMME(B3:B9)}}

2. 110 jeunes sur 2000 ont 18 ans et se sont connectés entre 31 et 40 fois dans la semaine. Ils représentent \frac{110}{2000} \times 100 \% des jeunes, soit 5,5 %.

3. Parmi les 624 jeunes qui se sont connectés 31 à 40 dois dans la semaine, 110 ont 18 ans. Ils représentent \frac{110}{624} \times 100 \% des jeunes qui se sont connectés 31 à 40 fois dans la semaine, soit environ 17,63 %.

4. a) 6,80 % des jeunes de 14 ans se sont connectés 0 à 10 fois à Internet dans la semaine.

4. b) La formule à écrire dans la cellule H14 pour obtenir les pourcentages indiqués dans les cellules I14 à M14 est : \boxed{\text{B3/\$G\$3}}

4. c) Parmi les 355 jeunes de 19 ans, 76 se sont connectés 21 à 30 fois à Internet dans la semaine. Ils représentent \frac{76}{355} \times 100 \% des jeunes de 19 ans, soit environ 21,41 %.
Donc : le pourcentage manquant dans la cellule J19 est 21,41%.

exercice 2

PARTIE 1 : Analyse du temps total de transport hebdomadaire pour se rendre à l’usine

1. a) Complétons le tableau des effectifs cumulés croissants :

Temps total de transport hebdomadaire exprimé en heures 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Effectifs 1 2 3 6 8 10 15 24 16 13 12 11 9 3
Effectifs cumulés croissants 1 3 6 12 20 30 45 69 85 98 110 121 130 133


1. b) L'effectif total est 133.
\frac{133}{2} = 66,5, donc la médiane est la 67eme valeur de la série, soit 7. Donc Me = 7.
\frac{133}{4} = 33,25, donc le quartile 1 est la 34eme valeur de la série, soit 6. Donc Q1 = 6.
\frac{3 \times 133}{4} = 99,75, donc le quartile 3 est la 100eme valeur de la série, soit 10. Donc Q3 = 10.

2. a) On donne \text{\bar{x}} = 7,5 et \sigma = 2,8, donc l'intervalle \left[\text{\bar{x}} - 2\sigma \: ; \: \text{\bar{x}} + 2\sigma\right] correspond à [1,9 ; 13,1]. Cet intervalle contient [2 ; 13]. Or, 130 employés ont un temps total de transport hebdomadaire dans l'intervalle [2 ; 13]. Ce qui représente \frac{130}{133} \times 100 \% de l'effectif total, soit environ 97,74 %.
Donc le pourcentage des employés dont le temps total de transport hebdomadaire est dans l'intervalle \left[\text{\bar{x}} - 2\sigma \: ; \: \text{\bar{x}} + 2\sigma\right] est supérieur à 95 % de l'effectif total.

2. b) Pour que les données de cette série statistique soient gaussiennes, il faut que :
la série soit à peu près symétrique autour de la moyenne \text{\bar{x}},
environ 95 % des données se trouvent dans l'intervalle \left[\text{\bar{x}} - 2\sigma \: ; \: \text{\bar{x}} + 2\sigma\right],
et environ 99% des données se trouvent dans l'intervalle \left[\text{\bar{x}} - 3\sigma \: ; \: \text{\bar{x}} + 3\sigma\right].
Or, environ 97,74 % des données se trouvent dans l'intervalle \left[\text{\bar{x}} - 2\sigma \: ; \: \text{\bar{x}} + 2\sigma\right], donc l'hypothèse de la direction n'est pas possible.

PARTIE 2 : Évolution d’un salaire

1. Déterminons le salaire mensuel u1 de Pierre en 2006 :
Pierre a été embauché dans cette usine le 1er janvier 2005 avec un salaire mensuel de 2 000 €. Son salaire augmente de 5 % au 1er janvier 2006, donc :
\text{u_1} = 2000 + \frac{5}{100} \times 2000 = 1,05 \times 2000 = 2100
Donc : le salaire de Pierre en 2006 est u1 = 2100 euros.

2. Nature de la suite (un) :
Pour tout entier naturel n, \text{u_n = u_{n-1} + \frac{5}{100} \times u_{n-1} = 1,05 u_{n-1}.
Donc : (un) est une suite géomtrique de raison 1,05 et de premier terme u0 = 2000.
D'où : pour tout entier naturel n, un = 2000 ×, 1,05n.

3. a) Déterminons le salaire mensuel de Pierre en 2015 :
On a 2015 = 2005 + 10. Déterminons donc u10 :
u10 = 2000 ×, 1,0510 \approx 3257,78
Donc : le salaire mensuel de Pierre en 2015 sera d'environ 3258 euros.

2. b) Déterminons si le salaire de Pierre va augmenter de 50 % entre 2005 et 2015 :
On a : \text{\frac{u_{10}}{u_0}} = \frac{3258}{2000} = 1,629.
Donc : le salaire de Pierre a augmenté de plus de 50 % entre 2005 et 2015 (62,9 %).
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