Fiche de mathématiques

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Bac Littéraire
Session 2007

Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 3

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1

Le dessin ci-dessous représente une maison en perspective parallèle.

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 1

ABCDEFGH est un pavé droit dont les faces ABCD et EFGH sont horizontales et constituent respectivement le sol et le plafond de la maison. L'arête [AE] est donc verticale.
Les deux faces ABCD et EFGH sont des carrés.

EFGHNL est un prisme droit ; la base EFN de ce prisme droit est un triangle isocèle en N dont la hauteur [NM] est telle que NM = AE.

Dans cet exercice, on convient de noter un point de l'espace avec une lettre majuscule et de noter son image dans une perspective centrale avec une lettre minuscule (ainsi a est l'image de A, b l'image de B).

Les représentations données en annexe 1 et 2 sont à compléter.
Aucune justification des constructions n'est attendue mais on laissera visibles les traits de construction.

1. Une représentation en perspective centrale de cette maison est commencée sur l'annexe 1.
Sont tracés la ligne d'horizon et le point de fuite principal W. Le mur ABFE est supposé dans un plan frontal.
   a) A l'aide de la représentation des diagonales des carrés ABCD et EFGH, construire sur le dessin de l'annexe 1 les points de distance d₁ et d₂ de cette représentation en perspective centrale.
   b) Compléter sur l'annexe 1 la représentation de la maison dans cette perspective centrale.
   c) Placer l'image i du milieu I de [AE] ainsi que l'image j du milieu J de [CG]. Par quel point la droite (ij) doit-elle passer ?

2. Une autre représentation en perspective centrale de la maison est commencée sur l'annexe 2. Les points w et w' sont les points de fuite respectifs des droites (AB) et (BC). Achever sur l'annexe 2 la représentation de la maison dans cette nouvelle perspective centrale.

3. Citer deux propriétés de la perspective parallèle qui ne sont pas vérifiées par une perspective centrale. Les illustrer en faisant référence à la représentation donnée en début d'exercice et à celles complétées dans les annexes 1 et 2.

ANNEXE 1 :

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 2

ANNEXE 2 :

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 3

9 points

exercice 2

On considère la suite (u_n) géométrique de premier terme u₀ = 2 et de raison 3.

1. a) Déterminer les termes u₁, u₂, u₃ et u₄.
   b) Donner l'écriture en base 7 de u₂.
   c) Montrer que l'écriture en base 7 de u₃ est $\bar{105}^7$ .
   d) Pour obtenir l'écriture en base 7 de u₄, un élève a effectué la multiplication ci-dessous. Dire s'il a ou non raison et expliquer pourquoi.

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 4

2. a) Montrer que u₅ = 486.
b) On considère l'algorithme suivant :

Entrée : a un entier naturel.

Initialisation :
L liste vide ;
Affecter la valeur a à x.

Traitement :
Tant que x > 0 ;
Effectuer la division euclidienne de x par 7 ;
Affecter son reste à r et son quotient à q ;
Mettre la valeur de r au début de la liste L ;
Affecter q à x.

Sortie : Afficher les éléments de la liste L.

Faire fonctionner cet algorithme pour a = 486. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complètera :

	r	q	L	x
Initialisation			vide	486
Fin étape 1
Fin étape 2
...
...
...

Expliquer le lien entre les éléments de la liste L et l'écriture de u₅ en base 7.

3. On a divisé le terme u₁₀ de la suite (u_n) par un certain entier. On obtient le quotient Q dont l'écriture décimale est Q = 14,72727272727272... écriture dans laquelle les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini.

On note (v_n) la suite géométrique de premier terme 0,72 et de raison 0,01.
   a) Calculer v₀ + v₁ + v₂.
   b) On pose S_n = v₀ + v₁ + v₂ + ... + v_n où n est un entier naturel non nul.
Calculer S_n. En déduire $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}$ S_n .
   c) En déduire une écriture de 0,727272...où les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini sous la forme du quotient de deux entiers.
   d) Quel est le nombre par lequel on a divisé u₁₀ ? 5 points

exercice 3

Dans chacune des questions suivantes, plusieurs choix sont proposés et un seul choix est correct.
Pour chacune de ces questions, on indiquera sur la copie le choix retenu. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne exacte rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point.
Une absence de réponse est notée 0.
Si, à la fin de l'exercice, le total des points obtenus est négatif, la note sera ramenée à 0.

1. On considère l'égalité $\ln(\frac{1}{x})=\ln(x)$ .
Cette égalité est vérifiée :
   a) Pour une seule valeur du nombre réel $x$ .
   b) Pour n'importe quelle valeur du nombre réel $x$ .
   c) Pour deux valeurs du nombre réel $x$ .
   d) Pour aucune valeur du nombre réel $x$ .

2. On considère l'arbre de probabilité incomplet suivant :

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 5

Alors $p(\text{A} \cap \text{B})$ la probabilité de l'événement $\text{A} \cap \text{B}$ est égale à :
   a) 0,8
   b) 0,32
   c) 0,12
   d) 0,4

3. La fonction g est définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x)=xe^{2x}$ . La fonction dérivée $g^{\prim}$ de la fonction g est telle que, pour tout nombre réél $x$ :
   a) $g^{\prim}(x)=e^{2x} + x\times e^{2x}$
   b) $g^{\prim}(x)=1\times e^{2x} + x\times 2 \times e^{2x}$
   c) $g^{\prim}(x)=1\times e^{2x}$
   d) $g^{\prim}(x)=1\times e^{2x} - x\times 2 \times e^{2x}$

4. La fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel strictement positif $x$ , par : $f(x) = x \ln(x) + 3$
On donne ci-dessous une représentation graphique de la fonction $f$ obtenue grâce à un tableur.

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 6

La fonction $f$ présente un minimum en :
   a) 2,7.
   b) $\frac{1}{e}$ .
   c) 0,37.
   d) e.

5. La courbe ci-dessous représente graphiquement une fonction $f$ .
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ .

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 7

La courbe représentant la fonction $f'$ se trouve parmi l'une des quatre courbes données ci-dessous.
Laquelle ?

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 8

Voir la correction

exercice 1

1. a) b) c)

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 9

(IJ) // (AC) donc l'image (ij) de (IJ) doit passer par le point de distance d₁.

2.

sujet du bac L spécialité France Métropolitaine 2007 - terminale : image 10

3. La représentation donnée en début d'énoncé est une perspective parallèle, celles des annexes 1 et 2 sont des perspectives centrales.
La perspective parallèle conserve tous les parallélismes, pas la perspective centrale : par exemple (AB)//(CD) sur la perspective parallèle mais (ab) et (cd) ne sont pas parallèles sur l'annexe 2.
La perspective parallèle conserve les proportions, en particulier les milieux : voir par exemple l'image du milieu de la diagonale [AC] dans l'annexe 1.

exercice 2

1. a) Il s'agit d'une suite géométrique de raison 3, donc on multiplie chaque terme par 3 pour obtenir le terme suivant :
u₁ = 3u₀ = 3 × 2 = 6
u₂ = 3u₁ = 3 × 6 = 18
u₃ = 3u₂ = 3 × 18 = 54
u₄ = 3u₃ = 3 × 54 = 162

1. b) $u_2 = 18 = 14 + 4 = 2 \times 7 + 4 = \bar{24}^7$

1. c) $u_3 = 54 = 49 + 0 + 5 = 1 \times 7^2 + 0 \times 7 + 5 = \bar{105}^7$

1. d) Il a tort, cette méthode n'est valable qu'en base 10.

2. a) u₅ = 3u₄ = 3 × 162 = 486

2. b)

	r	q	L	x
Initialisation			vide	486
Fin étape 1	3	69	{3}	69
Fin étape 2	6	9	{6,3}	9
Fin étape 3	2	1	{2,6,3}	1
Fin étape 4	1	0	{1,2,6,3}	0
FIN

Les éléments de la liste L correspondent à l'écriture de u₅ en base 7, car :
u₅ = 486 = 7 × 69 + 3 = 7 × (7 × 9 + 6) + 3 = 7^2 × 9 + 7 × 6 + 3 = 7^2 × (7 × 1 + 2) + 7 × 6 + 3 = 7³ × 1 + 7² × 2 + 7 × 6 + 3
Donc $u_5=\bar{1263}^7$

3. a) v₀ + v₁ + v₂ = v₀ + 0,01v₀ + 0,01v₁ = v₀ + 0,01v₀ + 0,01²v₀ = (1 + 0,01 + 0,0001)v₀ = 1,0101v₀ = 1,0101 × 0,72 = 0,727 272

3. b) Il s'agit de calculer la somme des n premiers termes de la suite géométrique (v_n) de premier terme v₀ = 0,72 et de raison q = 0,01 :
$S_n = v_0+v_1+...+v_n = v_0\frac{1-q^n}{1-q} = 0,72\frac{1-0,01^n}{1-0,01} = 0,72\frac{1-0,01^n}{0,99}$
$\displaystyle \lim_{n\to+\infty} S_n = lim_{n\to+\infty} 0,72\frac{1-0,01^n}{0,99} = \frac{0,72}{0,99}$ car $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a^n = 0$ si $|a|<1$ .

3. c) Or $S_n = v_0+v_1+...+v_n = (1+0,01+...+0,01^n)v_0 = \underb{1,01...01}_{\rm~''01''~n~fois}\times0,72 = \underb{0,72...72}_{\rm~''72''~n+1~fois}$
donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}S_n = \underb{0,727272...}_{\rm~''72''~une~infinite~de~fois} = \frac{0,72}{0,99} = \frac{72}{99}$

3. d) On a donc divisé u₁₀ par 99 ou un multiple de 99.
Soit N le nombre cherché. On sait que u₁₀ =3¹⁰ × 2 = 118 098 et $u_{10} = 14,727 272 ... \times N = (14 + \frac{72}{99})N = \frac{1458}{99} N$
Donc $118 098 = \frac{1458}{99}N$ et alors $N = 118098 \frac{99}{1458} = 81 \times 99 = 8019$
On a donc divisé u₁₀ par 8 019.

exercice 3

1. $\ln\left(\frac{1}{x}\right) = \ln(x) \: \Longleftrightarrow \: \frac{1}{x} = x$ et $x_0 \: \Longleftrightarrow \: x^2 = 1$ et $x_0 \: \Longleftrightarrow \: x = 1$ (la solution $x = -1$ n'est pas acceptable).
La bonne réponse est donc la réponse a : l'égalité est vraie pour une seule valeur du nombre x.

2. On a $p\left(\bar A\right) = 0,6$ donc $p(A) = 1 - p\left(\bar A\right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et $p_A\left(\bar B\right) = 0,2$ donc $p_A(B) = 1 - p_A\left(\bar B\right) = 1 - 0,2 = 0,8$ .
D'où : $p(A\cap B) = p(A)p_A(B) = 0,4 \times 0,8 = 0,32$
La bonne réponse est donc la réponse b.

3. On pose $u(x) = x$ et $v(x) = e^{2x}$ . On a alors $g = uv$ donc $g' = (uv)' = u'v + uv'$ .
Or $u(x) = x$ donc $u'(x) = 1$ et $v(x) = e^{2x}$ donc $v'(x) = 2e^{2x}$ en utilisant la formule $(e^u)' = u'e^u$
D'où : $g'(x) = 1 \times e^{2x} + x \times 2 \times e^{2x}$
La bonne réponse est donc la réponse b.

4. Si la courbe admet un minimum en a, alors $f'(x) = 0$
Or $f'(x) = 1 \times \ln(x) + x \times \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$ (en utilisant la formule de dérivation d'un produit)
On a donc : $f'(2,7) = \ln(2,7) + 1 = 1,99$
$f'(\frac{1}{e}) = \ln(\frac{1}{e})+1=-\ln(e)+1=-1+1=0\\ f'(0,37)= \ln(0,37)+1=0,00357\\ f'(e)= \ln(e)+1=1+1=2$
La bonne réponse est donc la réponse b.
Remarque : Plutôt que de vérifier, on peut aussi résoudre l'équation $f'(x) = 0$ :
$f'(x) = 0 \, \Longleftrightarrow \, \ln x + 1 = 0 \, \Longleftrightarrow \, \ln x = -1 \, \Longleftrightarrow \, x = e^{-1} \, \Longleftrightarrow \, x = \frac{1}{e}$

5. Quand f est croissante, f ' est positive ; quand f est décroissante, f ' est négative.
La seule courbe vérifiant ces conditions est la courbe c).
La bonne réponse est donc la réponse c.

Publié par Pascal/Aurélien le 01-05-2008

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