Bac Scientifique
Pondichéry - Session 2007
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnments entreront pour une part importante dans l'apprécition des copies.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
4 points exercice 1 - Commun à tous les candidats
L'espace est raporté au repère orthonormal
)
.
On considère le plan
P d'équation

et les points A de coordonnées (3, 2, 6), B de coordonnées (1, 2, 4), et C de coordonnes (4, -2, 5).
1. a) Vérifier que les points A, B et C définissent un plan.
b) Vérifier que ce plan est le plan
P.
2. a) Montrer que le triangle ABC est rectangle.
b) Ecrire un système d'équations paramétriques de la droite

passant par O et perpendiculaire au plan
P.
c) Soit
K le projeté orthogonal de O sur
P. Calculer la distance OK.
d) Calculer le volume du tétraèdre OABC.
3. On considère, dans cette question, le système de points pondérés S = {(O, 3), (A, 1), (B, 1), (C, 1)}.
a) Vérifier que ce système admet un barycentre, qu'on notera G.
b) On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à (OI).
c) Déterminer la distance de G au plan
P.
4. Soit

l'ensemble des points M de l'espace vérifiant :

.
Déterminer

. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs à
P et

?
5 points exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct
)
. Soit
R la rotation du plan de centre

, d'affixe

et d'angle de mesure

. L'image par
R d'un point du plan est donc définie de la manière suivante :
pour tout M du plan, distinct de

, l'image M' de M est définie par

et
![\left(\overrightarrow{\Omega M} \: , \: \overrightarrow{\Omega M'}\right) \: [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\overrightarrow{\Omega M} \: , \: \overrightarrow{\Omega M'}\right) \: [2\pi])
.
On rappelle que, pour des points A et B d'affixes respectives a et b, AB = |b - a| et
![(\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{AB}) = \arg(b - a) \left[2\pi\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{AB}) = \arg(b - a) \left[2\pi\right])
.
Question : Montrer que les affixes z et z' d'un point quelconque M du plan et de son image M' par la rotation
R, sont liés par la relation
2. On considère les points I et B d'affixes respectives z
I = 1 + i et z
B = 2 + 2i. Soit
R la rotation de centre B et d'angle de mesure

.
a) Donner l'écriture complexe de
R.
b) Soit A l'image de I par
R. Calculer l'affixe z
A de A.
c) Montrer que O, A et B sont sur un même cercle de centre I. En déduire que OAB est un triangle rectangle en A. Donner une mesure de l'angle
)
.
d) En déduire une mesure de l'angle
)
.
3. Soit T la translation de vecteur

. On pose A' = T(A).
a) Calculer l'affixe z
A' de A'.
b) Quelle est la nature du quadrilatère OIAA' ?
c) Montrer que

est un argument de z
A'.
5 points exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. Dans cette question, il est demandé au candidat d'exposer des connaissances
On suppose connus les résultats suivants :
la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ;
la transformation réciproque d'une similitude plane est une similitude plane ;
une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l'identité du plan.
Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s' deux similitudes du plan telles que :
s(A) = s'(A), s(B) = s'(B) et s(C) = s'(C).
Montrer que s = s'.
2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal
)
. La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d'affixe 2, E d'affixe 1 + i, F d'affixe 2 + i et G d'affixe
3 + i.
a) Calculer des longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables.
b) Montrer que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l'écriture complexe de S.
c) Soit h l'homothétie de centre O et de rapport

. On pose A' = h(A) et G' = h(G), et on appelle I le milieu de [EA']. On note

la symétrie orthogonale d'axe (OI). Montrer que

.
5 points exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère la fonction

définie sur [0, +

[ par
 = \dfrac{\ln(x + 3)}{x + 3})
.
1. Montrer que

est dérivable sur [0, +

[. Etudier le signe de sa fonction défivée

, sa limite éventuelle en +

, et dresser le tableau de ses variations.
2. On définit la suite
_{n \geq 0})
par son terme général
 \text{d}x)
.
a) Justifier que, si

, alors
 \leq f(x) \leq f(n))
.
b) Montrer, sans chercher à calculer u
n, que, pour tout entier naturel n,
 \leq u_n \leq f(n))
.
c) En déduire que la suite (u
n) est convergente et déterminer sa limite.
3. Soit F la fonction définie sur [0 , +

[ par
 = \left(\ln(x + 3)\right)^2)
.
a) Jusifier la dérivabilité sur [0, +

[ de la fonction F et déterminer, pour tout réel positif

, le nombre
)
.
b) On pose, pour tout entier naturel n, I
n =
 \text{d}x)
.
Calculer I
n.
4. On pose, pour tout entier naturel n, S
n = u
0 + u
1 + ... + u
n-1.
Calculer S
n. La suite (S
n) est-elle convergente ?
6 points exercice 4 - Commun à tous les candidats
Pour réaliser une enquête, un employé interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de répondre.
1. Dans cette question, on suppose que la probabilité qu'une personne choisie au hasard accepte de répondre est 0,1. L'employé interroge 50 personnes de manière indépendante. On considère les événements :
A : " au moins une personne accepte de répondre "
B : " moins de trois personnes acceptent de répondre "
C : " trois personnes ou plus acceptent de répondre "
Calculer les probabilités des événements A, B et C. On arrondira au millième.
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. Dans cette question, on suppose que la variable aléatoire X qui, à tout groupe de n personnes interrogées indépendamment, associe le nombre de personnes ayant accepté de répondre, suit la loi de probabilité définie par :
a) Montrer que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par :
 = 1 - e^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right))
.
b) Calculer
)
. En donner l'arrondi au millième. Cette modélisation donne-t-elle un résultat voisin de celui obtenu à la question 1 ?
3. On conserve le modèle de la question 2. On souhaite déterminer le nombre minimum de personnes à interroger pour que la probabilité que trois d'entre elles au moins répondent soit supérieure ou égale à 0,95.
a) Etudier les variations de la fonction

définie sur

par
 = 1 - \text{e}^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right))
ainsi que sa limite en

. Dresser son tableau de variations.
b) Montrer que l'équation
 = 0,95)
admet une solution unique sur

, et que cette solution est comprise entre 6,29 et 6,3.
c) En déduire le nombre minimum de personnes à interroger.
exercice 1 - Commun à tous les candidats
1. a) Vérifions que les points A, B et C définissent un plan :
Les vecteurs

ne sont pas colinéaires puisque ces vecteurs ont pour coordonnées :
 \text{ et } \overrightarrow{\text{AC}} (1 \, ; \, -4 \, ; \, -1))
.
Les points A, B et C définissent donc un plan, le plan (ABC).
1. b) Vérifions que ce plan est le plan P :
Il faut vérifier que les points A, B, C appartiennent au plan
P :
Ainsi, les trois points A, B, C appartiennent au plan
P, on peut donc dire que le plan
P est le plan (ABC).
2. a) Montrons que le triangle ABC est rectangle :
D'aprés les coordonnées des vecteurs, on a :
Les vecteurs

sont donc orthogonaux, les droites (AB) et (AC) sont donc perpendiculaires et le triangle ABC est par conséquent rectangle en A.
2. b) Déterminons un système d'équations paramétriques de la droite
:
De maniere générale, le vecteur
)
est un vecteur normal au plan d'équation
Dans notre cas, on a donc :
)
, ce vecteur normal au plan
P est un vecteur directeur de la droite
)
.
Ainsi, on a :
 \Longleftrightarrow \overrightarrow{\text{OM}} = \lambda \overrightarrow{\text{n}})
ce qui se traduit par le système :
2. c) Calculons la distance OK :
On a : (OK)
P et (OK) =
)
. Le point K est donc commun au plan
P et à la droite
)
.
Comme K appartient au plan
P, ses coordonnées vérifient l'équation du plan :
 + 4 = 0 \: \Longleftrightarrow \:)

.
On obtient donc les coordonnées de
.)
Cela permet de calculer OK² :
D'où on a

.
2. d) Calculons le volume du tétraèdre OABC :
La base du tétraèdre est (ABC) et la hauteur [OK].
On a : AB² = 4 + 4 = 8 donc AB =

, de même AC² = 1 + 16 + 1 = 18 donc AC =

.
D'où :

et par conséquent, on en déduit que :
} = \dfrac{6 \times \text{OK}}{3} = \dfrac{8}{3} \text{ cm}^3)
.
3. a) Le barycentre G des points O, A, B, C existe si et seulement si la somme des coefficients affectés à ces points est non nulle :
3 + 1 + 1 + 1 = 6, donc G existe et G par définition est tel que :

.
3. b) I centre de gravité du triangle (ABC)

I isobarycentre des points pondérés : (A , 1), (B , 1) , (C , 1).
Alors, d'aprés l'associativité du barycentre, G est le barycentre et même l'isobarycentre du système de points pondérés {(O , 3) , (I , 3)}.
G est donc le milieu du segement [OI] d'où G appartient à la droite (OI).
3. c) Déterminons la distance de G au plan P :
On a
)
.
D'où
 \text{ et } \text{G}\left(\dfrac{4}{3} \, ; \, \dfrac{1}{3} \, ; \, \dfrac{5}{2}))
.
Par ailleurs, on a :
4. Déterminons
:
D'après la relation de Chasles, on a :

.
On a alors :

.
L'ensemble

est donc la sphère de centre G et de rayon

.
D'aprés la question
3. c) la distance du point G au plan
P est

l'ensemble des points communs à P et à cette sphère est donc un cercle.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Montrons que les affixes z et z' d'un point quelconque M du plan et de son image M' par la rotation R, sont liés par la relation
:
Soit M un point du plan d'affixe
z et M' d'affixe
z' tel que
R(M) = M'. On a donc :
Donc

est un nombre complexe de module 1 et d'argument
On en conclut que :
D'où :
2. a) Donnons l'écriture complexe de R :
R est la rotation de centre B et d'angle

, donc l'écriture complexe de
R est :
D'où :
2. b) Calculons l'affixe zA de A :
En appliquant la relation établie à la question précédente à l'affixe du point I, on obtient :
2. c) Montrons que les points O, A et B sont sur un même cercle :
Donc : OI = AI = BI. Les points O, A et B apaprtiennent donc au cercle de centre I, milieu du segment [OB].
Le point A appartient au cercle de diamètre [OB], donc le triangle AOB est rectangle en A.
Donnons une mesure de l'angle
:
A est l'image de I par la rotation
R, donc
Le triangle OAB est rectangle en A, donc
Or, la somme des angles d'un triangle est égale à

radians, donc :
2. d) Déduisons-en une mesure de l'angle
:
3. a) Calculons l'affixe zA' de A' :
A' =
T(A), donc

ce qui se traduit par :
3. b) Déterminons la nature du quadrilatère OIAA' :
Comme A' =
T(A), alors par définition,
Donc OIAA' est un parallélogramme.
De plus, on a vu à la question
2. c) que OI = AI. Le parallélogramme OIAA' a donc deux côtés consécutifs de même longueur, donc OIAA' est un losange.
3. c) Montrons que
est un argument de zA' :
D'après la relation de Chasles, on a :
OIAA' est un losange, donc (OA) est un axe de symétrie du losange. Donc (OA) est une bissectrice de l'angle
.)
Donc :
![(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = -\dfrac{\pi}{6} \, [2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(\overrightarrow{\text{OA}} \, , \, \overrightarrow{\text{OA'}}) = -\dfrac{\pi}{6} \, [2\pi])
(cf question
2. c)
D'où :
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. Montrons que s = s' :
On a s(A) = s'(A) et s(B) = s'(B) et s(C) = s'(C)
Donc, on a :
 \circ s^{\prime -1}(\text{A}) = (s \circ s^{\prime -1})(\text{A}) = (s \circ s^{-1})(\text{A}) = \text{A})
, de même pour B et C.
On en déduit que
soit
2. a) Montrons que les triangles OAG et OEF sont semblables :
Dans le triangle OAG, on a :
Dans le triangle OEF, on a :
On a donc :

, les triangles OAG et AEF sont donc semblables.
2. b) Montrons que OEF est l'image de OAG par une similitude indirecte S :
Supposons que cette similitude S existe, son écriture complexe est de la forme :

où
Ici, on a :
 = O \\ S(G) = F\\ S(A) = E\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{rcl} b & = & 0 \\ a & = & \dfrac{1}{2}(1+\text{i})\\ a & = & \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}}=\dfrac{1}{2}(1 + \text{i}) \\ \end{array} \right.)
Donc S a pour écriture complexe :
2. c) Montrons que
:
L'écriture complexe de l'homothétie h de centre O et de rapport

est :

.
A' = h(A), donc :

.
A' a pour affixe
G' = h(G), donc :
 = \dfrac{3\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2})
.
G' a pour affixe
I est le milieu de [EA'], donc :
I a pour affixe
Ainsi on a :
I est le milieu de [EA'] et les droites (OI) et (EA') sont perpendiculaires, donc (OI) est la médiatrice de [EA'].
Donc E est donc l'image de A' par la symétrie

d'axe (OI).
D'où :
Soit J le milieu de [FG'], donc :
Donc le point J a pour affixe
Montrons que les points O, I et J sont alignés :
I a pour affixe

et J a pour affixe

.
Or,
Donc les vecteurs

sont colinéaires. Les points O, I et J sont donc alignés. Donc le point J, milieu du segment [FG'] appartient à la droite (OI).
De plus,
Donc les droites (OI) et (FG') sont perpendiculaires. F est donc l'image de G' par la symétrie

d'axe (OI).
D'où :
De plus, le point O appartient à la droite (OI), donc O est sa propre image par la symétrie

d'axe (OI).
D'où :
On a donc :
Donc d'après la question
1., on a

.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. Montrons que
est dérivable sur [0 , +
[ :
La fonction affine

est dérivable et strictement positive sur [0 , +

[. La fonction

est dérivalbe sur ]0 , +

[.
Donc par compsée de fonctions dérivables,
)
est dérivable sur [0 , +

[.
De plus,

ne s'annule pas sur [0 , +

[ et est dérivable sur [0 , +

[.
D'où : par quotient de fonctions dérivables,

est dérivable sur [0 , +

[.
 = \dfrac{\ln(x+3)}{x+3})
est de la forme

avec
 = \ln(x+3) \text{ et } v(x) = x + 3)
fonctions définies et dérivables sur [0 , +

[. On a :
Pour tout réel

de [0 , +

[, on a :
Etudions le signe de
:
La dérivée est du signe de
)
(car un carré est toujours positif donc pour tout réel
^2 \geq 0)
).
On a :
Or, e - 3 < 0, donc pour tout réel
Donc

est décroissante sur [0 , +

[.
On a :
Déterminons la limite de
en +
:
Dressons le tableau des variations de
:
2. a) Justifions l'encadrement de
:
Pour tout

, si

alors par décroissance de

sur [0 , +

[, on a :
2. b) Montrons l'encadrement de un :
Pour tout entier naturel n,
 \leq f(x) \leq f(n))
.
Donc en intégrant de n à n + 1 l'inégalité, on obtient :
D'où : pour tout entier naturel n,
2. c) Déduisons-en que la suite (un) est convergente :
On a :
Donc : (u
n) est encadrée par deux suites qui tendent vers zéro. D'après le théorème des gendarmes, on en déduit que :
D'où : la suite (u
n) converge vers 0.
3. a) Justifions la dérivabilité sur [0 , +
[ de la fonction F :
On a vu à la question
1. que
)
est dérivable sur [0 , +

[.
La fonction

est dérivable sur [0 , +

[.
Donc par composée de fonctions dérivables, F est dérivable sur [0 , +

[.
F est de la forme

avec
Pour tout réel

de [0 , +

[, on a :
D'où : pour tout réel

de [0 , +

[,
3. b) Calculons In :
Pour tout entier naturel n,
D'où : pour tout entier naturel n,
4. Calculons Sn :
Pour tout entier naturel n,
Déterminons si la suite (Sn) est convergente :
D'où :
Donc la suite (S
n) n'est donc pas convergente.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. Calculons les probabilités des événements A, B et C :
Soit

la variable qui associe le nombre de personnes acceptant de répondre. Les personnes sont choisies de manière indépendante. Une personne choisie au hasard soit accpete de répondre avec la probbilité 0,1, soit refuse de répondre avec la probabilité 1 - 0,1 = 0,9.

suit une loi binomiale de paramètres

et

. Donc pour
A : " au moins une personne accepte de répondre "
On a : p(A) = 1 - p(X = 0) =
 0,1^0 \times 0,9^{50} \approx 0,995)
à 10
-3 près.
Il y a donc 99,5 % de chance qu'au moins une personne parmi les 50 accepte de répondre.
B : " moins de trois personnes acceptent de répondre "
Donc : soit aucune personne ne répond, soit une personne répond, soit deux personnes répondent.
Donc : B = (X = 0)

(X = 1)

(X = 2) avec les événements (X = 0), (X = 1) et (X = 2) incompatibles. Donc :
p(B) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) = p(X < 3)
 = \left(^{50}_0\right) 0,1^0 \times 0,9^{50} + \left(^{50}_1\right) 0,1^1 \times 0,9^{49} + \left(^{50}_2\right) 0,1^2 \times 0,9^{48} \approx 0,112)
à 10
-3 près.
Il y a donc 11,2% de chance que moins de trois personnes parmi les 50 acceptent de répondre.
C : " trois personnes ou plus acceptent de répondre "
 = p(X \geq 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - p(B) \approx 0,888)
à 10
-3 près.
Il y a donc 88,8 % de chance que trois personnes ou plus acceptent de répondre.
2. a) Montrons que la probabilité qu'au moins trois personnes répondent est donnée par
:
D'où :
2. b) Calculons
:
 \approx 0,875)
à 10
-3 près.

donc pour a = 5, n = 50.
Donc :
)
correspond à la probabilité que parmi 50 personnes interrogées, au moins 3 répondent. Il y a 87,5 % de chance qu'au moins trois personnes lui répondent. A la question
1., il avait 88,8 % de chance. On retrouve donc un résultat voisin de celui obtenu à la question
1..
3. a) Etudions les varaitions de la fonction
:

est définie et dérivable sur

et pour tout

, on a :
Pour tout réel
Donc pour tout rel

est donc croissante sur
On a :
Déterminons la limite de
en +
:
Pour tout
Donc :
Dressons le tableau de variations :
3. b) Montrons que l'équation
admet une unique solution unique sur
:
Sur

,

est continue et strictement croissante.
De plus,
Or, 0,95

[0 , 1], donc : l'équation
 = 0,95)
admet une solution unique sur
D'où : cette unique solution

est comprise entre 6,29 et 6,3.
3. c) Déduisons-en le nombre minimum de personnes à interroger :
On cherche le nombre n minimum de personnes à interroger tel que
ce qui équivaut à
Or, d'après la question précédente,
 \geq 0,95)
équivaut à
Le nombre de personnes interrogées doit donc au minimum être égal à n = 6,3 × 10, soit 63 personnes.