Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Amérique du Nord - Session 2007

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'apprécition des copies.
3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des trois propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et donner une justification de la réponse choisie.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.


1. L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j} \: , \: \overrightarrow{k}).
Soit (P) le plan dont une équation est : 2x + y - 3z + 1 = 0.
Soit A le point de coordonnées (1 ; 11 ; 7).
Proposition 1 :
"le point H, projeté orthogonal de A sur (P), a pour coordonnées (0 ; 2; 1)".

2. On considère l'équation différentielle (E) : y' = 2 - 2y.
On appelle u la solution de (E) sur \mathbb{R} vérifiant u(0) = 0.
Proposition 2 : "on a u\left(\frac{\ln 2}{2}\right) = \frac12".

3. On considère la suite (un) définie par u0 = 2 et, pour tout entier naturel n, un+1 = \sqrt{7u_n}.
Proposition 3 : "pour tout entier naturel n, on a 0 \leq u_n \leq 7". 5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v}) (unité graphique : 4 cm).
Soit A le point d'affixe zA = i et B le point d'affixe zB = \text{e}^{-i\frac{5\pi}{6}}.

1. Soit r la rotation de centre O et d'angle \frac{2\pi}{3}. On appelle C l'image de B par r.
   a) Déterminer une écriture complexe de r.
   b) Montrer que l'affixe de C est zC = \text{e}^{-i\frac{\pi}{6}.
   c) Ecrire zB et zC sous forme algébrique.
   d) Placer les points A, B et C.

2. Soit D le barycentre des points A, B et C affectés respectivement des coefficients 2, -1 et 2.
   a) Montrer que l'affixe de D est zD = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac12 i. Placer le point D.
   b) Montrer que A, B, C et D sont sur un même cercle.

3. Soit h l'homothétie de centre A et de rapport 2. On appelle E l'image de D par h.
   a) Déterminer une écriture complexe de h.
   b) Montrer que l'affixe de E est zE = \sqrt{3}. Placer le point E.

4. a) Calculer le rapport \frac{z_{\text{D}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{E}} - z_{\text{C}}}. On écrire le résultat sous forme exponentielle.
   b) En déduire la nature du triangle CDE. 5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v}) (unité graphique : 1 cm).
On fera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.

Soient A, B et C les points d'affixes respectives a = 3 + 5i, b = -4 + 2i et c = 1 + 4i.

Soit f la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' définie par z' = (2 - 2i)z + 1.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.

2. a) Déterminer l'affixe du point B' image du point B par f.
   b) Montrer que les droites (CB') et (CA) sont orthogonales.

3. Soit M le point d'affixe z = x + iy, où on suppose que x et y sont des entiers relatifs.
Soit M' l'image de M par f.
Montrer que les vecteurs \overrightarrow{\text{CM'}} et \overrightarrow{\text{CA}} sont orthogonaux si et seulement si x + 3y = 2.

4. On considère (E) : x + 3y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
   a) Vérifier que le couple (-4 ; 2) est une solution de (E).
   b) Résoudre l'équation (E).
   c) En déduire l'ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l'intervalle [-5 ; 5] et tels que les vecteurs \overrightarrow{\text{CM}'} et \overrightarrow{\text{CA}} soient orthogonaux.
Placer ces points sur la figure. 5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.
La probabilité que le joueur perde la première partie est 0,2.
Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
    s'il gagne, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
    s'il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.

1. On appelle :
    E1 l'évènement " le joueur perd la première partie " ;
    E2 l'évènement " le joueur perd la deuxième partie " ;
    E3 " le joueur perd la troisième partie ".

On appelle X la variable alatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.

On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

    a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
    b) Montrer que la probabilité de l'évènement (X = 2) est égale à 0,031 et que celle de l'évènement (X = 3) est égale à 0,002.
    c) Déterminer la loi de probabilité de X.
    d) Calculer l'espérance de X.

2. Pour tout entier naturel n non nul, on note En l'évènement : "le joueur perd la n-ième partie", \bar{\text{E}_n} l'évènement contraire, et on note pn la probabilité de l'évènement En.
    a) Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, les probabilités des évèvenements En \capEn+1 et \bar{\text{E_n}} \cap E_{n+1} en fonction de pn.
    b) En déduire que pn+1 = 0,05pn + 0,05 pour tout entier naturel n non nul.

3. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn - \frac{1}{19}
    a) Montrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
    b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, un puis pn en fonction de n.
    c) Calculer la limite de pn quand n tend vers +\infty. 7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Réstitution organisée de connaissances
L'objet de cette question est de démontrer que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: \frac{e^x}{x} = +\infty.
On supposera connus les résultats suivants :
    la fonction exponentielle est dérivable sur \mathbb{R} et est égale à sa fonction dérivée ;
    e0 = 1 ;
    pour tout réel x, on a e^x > x.
    Soient deux fonctions \phi et \psi définies sur l'intervalle [A ; +\infty[ où A est un réel positif.
Si pour tout x de [A ; +\infty[ \psi(x) \leq \phi(x) et si \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \psi (x) = +\infty alors \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \phi (x) = +\infty.

   a) On considère la fonction g définie sur [0 ; +\infty[ par g(x) = e^x - \frac{x^2}{2}.
Montrer que pour tout réel x de [0 ; +\infty[, g(x) \geq 0.
   b) En déduire que \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty.

2. On appelle f la fonction définie sur [0 ; +\infty[ par f(x) = \frac14 x e^{-\frac{x}{2}}.
On appelle \scr{C} sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O \: ; \: \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}).
La courbe \scr{C} est représentée ci-dessous.

Bac scientifique Amérique du Nord 2007 - terminale : image 1


   a) Montrer que f est positive sur [0 ; +\infty[.
   b) Déterminer la limite de f en +\infty. En déduire une conséquence graphique pour \scr{C}.
   c) Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +\infty[.

3. On considère la fonction F définie sur [0 ; \infty[ par F(x) = \displaystyle \int_0^x \: f(t) \text{d}t.
   a) Montrer que F est une fonction strictement croissante sur [0 ; +\infty[.
   b) Montrer que F(x) = 1 - e^{-\frac{x}{2}} - \frac{x}{2} e^{-\frac{x}{2}}.
   c) Calculer la limite de F en +\infty et dresser le tableau de variations de F sur [0 ; +\infty[.
   d) Justifier l'existence d'un unique réel positif \alpha tel que \text{F}(\alpha) = 0,5.
A l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de \alpha à 10-2 près par excès.

4. Soit n un entier naturel non nul. On note An l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan située entre l'axe des abscisses, la courbe de f et les droites d'équations x = 0 et x = n.
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que \text{A}_n \geq 0,5.
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