Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Polynésie Française - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter les quatre exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour réaliser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

Il décide des règles suivantes pour le déroulement d'une partie.

Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le dé :
si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du dé donne 6 ;
si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du dé donne 6.
A la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.

On note B l'évènement " le jeton tiré est blanc " et G l'évènement " le joueur gagne le jeu ".
L'évènement contraire d'un évènement E sera noté $\text{\bar{E}}$ .
La probabilité d'un événement E sera notée p(E).

Partie A

1. Montrer que p(G) = $\dfrac{7}{30}$ . On pourra s'aider d'un arbre pondéré.

2. Quelle est la probabilité que le joueur ait tiré le jeton blanc sachant qu'il a perdu ?

3. Un joueur fait quatre parties de façon indépendante.
Calculer la probabilité qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approchée à 10^-3 près.

4. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à 0,99 ?

Partie B

L'organisateur décide de faire de sa loterie un jeu d'argent :
chaque joueur paie 1 ? par partie ;
si le joueur gagne la partie, il reçoit 5 ? ;
si le joueur perd la partie, il ne reçoit rien.

1. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique (positif ou négatif) du joueur à l'issue d'une partie.
a) Donner la loi de probabilité de X et son espérance E(X).
b) On dit que le jeu est favorable à l'organisateur si E(X) < 0.
Le jeu est-il favorable à l'organisateur ?

2. L'organisateur décide de modifier le nombre n de jetons noirs (n entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc.
Pour quelles valeurs de l'entier n le jeu est-il défavorable à l'organisateur ?

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ . On prendra 1 cm pour unité graphique.
Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Résoudre, dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes, l'équation : $\bar{z} - 3\text{i}z - 3 + 6\text{i} = 0$ , $\bar{z}$ étant le conjugué de $z$ .

2. On considère le point A d'affixe 4 - 2i.
Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point B tel que OAB soit un triangle équilatéral de sens direct.

3. Soit D le point d'affixe 2i.
a) Représenter l'ensemble (E) des points M d'affixe $z$ différente de 2i tels que : $\arg(z - 2i) = \dfrac{\pi}{4} + k \times 2\pi \: (k \in \mathbb{Z})$ .
b) Représenter l'ensemble (F) des points M d'affixe z tels que $z = 2\text{i} + 2\text{e}^{\text{i}\theta}$ , $\theta$ appartenant à $\mathbb{R}$ .

4. A tout point M d'affixe $z \neq -2$ , on associe le point M' d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{z-1}{\bar{z}+2}$ .
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe $z$ différente de -2 tels que $\|z'\| = 1$ .

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j} \: ; \: \overrightarrow{k})$ , on considère les points $\text{A}\left(\frac23 , \: -3, \: 2\right)$ et $\text{B}\left(-\frac43 , \: 0 \: -4\right)$ .
On note I le milieu du segment [AB] et (S) la sphère de diamètre [AB].

1. Soit E le barycentre des points pondérés (A ; 2) et (B ; 1).
    a) Calculer les coordonnées de E.
    b) Montrer que l'ensemble (P) des points M de l'espace tels que $\| 2\overrightarrow{\text{MA}} + \text{\overrightarrow{MB}} \| = 3 \|\overrightarrow{\text{MO}}\|$ est le plan médiateur du segment [OE].
    c) Montrer qu'une équation du plan (P) est y = -1.

2. a) Calculer le rayon de la sphère (S) et la distance du centre I de la sphère au plan (P).
En déduire que l'intersection (C) du plan (P) et de la sphère (S) n'est pas vide.
    b) Montrer qu'une équation de (C) dans le plan (P) est $\left(x + \dfrac13\right)^2 + (z + 1)^2 = 12$ .
En déduire que (C) est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

3. Soit D le point de coordonnées $\left(-\dfrac13, \: -\dfrac12, \: 4\sqrt{3}-1\right)$ .
    a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (ID).
    b) En déduire que la droite (ID) est décante au cercle (C) en un point noté F dont on donnera les coordonnées.

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j} \: ; \: \overrightarrow{k})$ , on considère les points A(1, 3, 2), B(4, 6, -4) et le cône (T) d'axe $(O, \: \overrightarrow{k})$ , de sommet O et contenant le point A.

Partie A

1. Montrer qu'une équation de (T) est $x^2 + y^2 = \dfrac52 z^2$ .

2. Soit (P) le plan parallèle au plan $(xOy)$ et contenant le point B.
a) Déterminer une équation de (P).
b) Préciser la nature de l'intersection (C₁) de (P) et de (T).

3. Soit (Q) le plan d'équation y = 3. On note (C₂) l'intersection de (T) et de (Q).
Sans justification, reconnaître la nature de (C₂) parmi les propositions suivantes :
deux droites parallèles ;
deux droites sécantes ;
une parabole ;
une hyperbole ;
un cercle.

Partie B

Soient $x$ , y et z trois entiers relatifs et M le point de coordonnées ( $x$ , y, z).
Les ensembles (C₁) et (C₂) sont les sections définies dans la partie A.

1. On considère l'équation (E) : $x^2 + y^2 = 40$ où $x$ et y sont des entiers relatifs.
    a) Résoudre l'équation (E).
    b) En déduire l'ensemble des points de (C₁) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

2. a) Démontrer que si le point M de coordonnées ( $x$ , y , z) où $x$ , y et z désignent des entiers relatifs est un point de (T) alors z est divisible par 2 et $x^2 + y^2$ est divisible par 10.
    b) Montrer que si M est un point de (C₂), intersection de (T) et de (Q), alors $x^2 \equiv 1$ modulo 10.
    c) Résoudre, dans l'ensemble des entiers relatifs, l'équation $x^2 \equiv 1$ modulo 10.
    d) Déterminer un point de (C₂), distinct de A, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = 1 + x\ln x$ .
On note $\scr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ .
Toutes les aires considérées dans ce problème seront exprimées en unités d'aire.

Partie A

Le but de cette partie est de déterminer un encadrement de l'aire $\scr{A}$ du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\scr{C}_f$ et les deux droites d'équations $x = 1 \text{ et } x = 2$ .
On note M et N les points de $\scr{C}_f$ d'abscisses respectives 1 et 2, P et Q leurs projetés orthogonaux respectifs sur l'axe des abscisses.
La figure est donnée ci-dessous :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

1. a) Montrer que $f$ est positive sur [1 , 2].
    b) Montrer que le coefficient directeur de la droite (MN) est 2 ln 2.
    c) Soit E le point d'abscisse $\dfrac{4}{\text{e}}$ .
Montrer que, sur l'intervalle [1 ; 2], le point E est l'unique point de $\scr{C}_f$ en lequel la tangente à $\scr{C}_f$ est parallèle à (MN).
    d) On appelle $\scr{T}$ la tangente à $\scr{C}_f$ au point E.
Montrer qu'une équation de $\scr{T}$ est : $y = (2 \ln 2)x - \dfrac{4}{\text{e}} + 1$ .

2. Soit g la fonction définie sur [1 , 2] par : $g(x) = f(x) - \left[(2 \ln 2)x - \dfrac{4}{\text{e}} + 1\right]$ .
    a) Montrer que pour tout $x$ de [1 , 2] : $g'(x) = 1 + \ln\left(\dfrac{x}{4}\right)$ .
    b) Etudier les variations de g sur [1 , 2] et en déduire la position relative de $\scr{C}_f$ et de la tangente $\scr{T}$ sur cet intervalle.

3. Soient M' et N' les points d'abscisses respectives 1 et 2 de la droite $\scr{T}$ .
On admet que la courbe $\scr{C}_f$ reste sous la droite (MN) sur l'intervalle [1 , 2] et que les points M' et N' ont des ordonnées strictement positives.
    a) Calculer les aires des trapèzes MNQP et M'N'QP.
    b) En déduire, à l'aide de la calculatrice, un encadrement de $\scr{A}$ d'amplitude 10^-1.

Partie B

Le but de cette partie est de déterminer la valeur exacte de $\scr{A}$ .

1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle \int_1^2 \: x \ln x \: \text{d}x$ .

2. En déduire la valeur exacte de $\scr{A}$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Le joueur gagne si :
soit il tire un jeton blanc $\displaystyle p(B)=\frac{1}{10}$ et il tire un autre chiffre que 6 au dé $\displaystyle p(d\neq6)=\frac{5}{6}$ ,
soit il tire un jeton noir $\displaystyle p(N)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{9}{10}$ et il tire le chiffre 6 au dé $\displaystyle p(d=6)=\frac{1}{6}$ ;

d'où $\displaystyle p(G)=\frac{1}{10}\times\frac{5}{6}+\frac{9}{10}\times\frac{1}{6}=\frac{14}{60}=\frac{7}{30}$

2. $\displaystyle p(B\cap \bar G)=p(B)p(d=6)=\frac{1}{10}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{60}$

et $\displaystyle p(\bar G)=1-p(G)=1-\frac{7}{30}=\frac{23}{30}$
donc la probabilité que le joueur ait tiré un jeton blanc sachant qu'il a perdu est : $\displaystyle p_{\bar G}(B)=\frac{p(B\cap \bar G)}{p(\bar G)}=\frac{1}{60}\times\frac{30}{23}=\frac{1}{46}$

3. La succession des 4 parties constitue une expérience de Bernouilli de paramètre n=4 et $\displaystyle p=p(G)=\frac{7}{30}$
donc la variable aléatoire X qui donne le nombre de victoires suit une loi binomiale et paramètres n et p :
pour tout entier k entre 0 et n, $\displaystyle p(X=k)=\frac{n!}{(n-k)!k!}p^k(1-p)^{n-k}$

La probabilité que le joueur gagne exactement 2 parties est alors :
$\displaystyle p(X=2)=\frac{4!}{2!2!}(\frac{7}{30})^2(\frac{23}{30})^2=6\frac{7^2\times23^2}{30^4}=0,192$

4. Soit n le plus petit nombre de parties tels que $p(X\ge1)\ge0,99$ .

$\displaystyle p(X\ge1)\ge0,9 \Longleftrightarrow p(X=0)\le0,01$
avec $\displaystyle p(X=0)=(\frac{23}{30})^n$
donc $\displaystyle (\frac{23}{30})^n\le 0,01$
$\displaystyle n\ln(\frac{23}{30})\le \ln(0,01)$
$\displaystyle n\ge \frac{\ln(0,01)}{\ln(\frac{23}{30})}$
$\displaystyle n\ge 17,33$
Le joueur doit donc jouer au moins 18 parties pour que la probabilité d'en gagner au moins une soit supérieure à 0,99.

Partie B

1. a) X peut prendre 2 valeurs :
    X=4 lorsque le joueur gagne (=gain de 5? - ticket de jeu à 1?) : $\displaystyle p(X=4)=p(G)=\frac{7}{30}$
    X=-1 lorsque le joueur perd (=pas de gain - ticket de jeu à 1?) : $\displaystyle p(X=-1)=p(\bar G)=\frac{23}{30}$

L'espérance vaut donc : $\displaystyle E(X)=4\times\frac{7}{30}-1\times\frac{23}{30}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$

    b) E(X)>0 donc le jeu n'est pas favorable à l'organisateur.

2. Si le sac contient 1 jeton blanc et n jetons noirs. Le joueur gagne si :
soit il tire un jeton blanc $\displaystyle p(B)=\frac{1}{n+1}$ et il tire un autre chiffre que 6 au dé $\displaystyle p(d\neq6)=\frac{5}{6}$ ,
soit il tire un jeton noir $\displaystyle p(N)=p(\bar B)=1-p(B)=\frac{n}{1+n}$ et il tire le chiffre 6 au dé $\displaystyle p(d=6)=\frac{1}{6}$ ;

d'où $\displaystyle p(G)=\frac{1}{n+1}\times\frac{5}{6}+\frac{n}{n+1}\times\frac{1}{6}=\frac{5+n}{6(n+1)}$

L'espérance vaut alors : $\displaystyle E(X)=4\times\frac{5+n}{6(n+1)}-1\times(1-\frac{5+n}{6(n+1)}=\frac{19-n}{6(n+1)}$

$\displaystyle E(X)<0 \Longleftrightarrow \frac{19-n}{6(n+1)}<0 \Longleftrightarrow 19-n<0 \Longleftrightarrow n>19$
Le jeu est donc défavorable à l'organisateur pour tout $n\le 19$
NB: on considère que le cas n=19 est défavorable à l'organisateur puisque l'espérance est alors nulle).

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Soit $x,y$ réels tels que $z=x+iy$ alors :
$\bar{z} - 3iz - 3 + 6i = 0 \Longleftrightarrow x - iy - 3i(x +iy)- 3 + 6i = 0 \Longleftrightarrow x-iy-3ix+3y-3+6i=0$
$\Longleftrightarrow \begin{cases} & x+3y-3=0 \\ & -3x-y+6=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} & x+3y-3=0 \\ & 8y-3=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} & x=3-3y \\ & y=\dfrac{3}{8} \end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} & x=3-3\dfrac{3}{8}=\dfrac{24-9}{8}=\dfrac{15}{8} \\ & y=\dfrac{3}{8} \end{cases}$

donc $z=\dfrac{15}{8} + \dfrac{3}{8}i$

2. OAB équilatéral direct donc B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$
donc $\displaystyle z_B=e^{i\frac{\pi}{3}}z_A=(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i)(4-2i)=2-i+2\sqrt3i+\sqrt3=\sqrt3+2+(2\sqrt3-1)i$

3. a) $\displaystyle \arg(z-2i)=\arg(z_M-z_D)=(\vec{u},\overrightarrow{DM})=\frac{\pi}{4} [2\pi]$
donc (E) est la demi-droite passant par D et formant un angle de $\dfrac{\pi}{4}$ avec l'axe des abscisses (donc parallèle à la première diagonale)

b) $\displaystyle z-2i=2e^{i\theta}(\theta\in\mathbb{R})$ donc (F) est le cercle de centre D et de rayon 2.

4. $|z'|=1 \Longleftrightarrow |z-1|=|\bar z+2| \Longleftrightarrow |z-1|=|z+2|$
Soient I et J les points d'affixes 1 et -2 alors $|z_M-z_I|=|z_M-Z_J|$
IM=JM
donc l'ensemble recherché est la médiatrice de [IJ] : c'est la droite d'équation $x=-0,5$

Représentation graphique :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Polynésie Française 2007 - terminale : image 4

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) E barycentre de (A,2)(B,1) donc $\overrightarrow{OE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$
donc $\begin{cases} & x_E=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{4}{3})=0 \\ & y_E=\dfrac{2}{3}\times(-3)+\dfrac{1}{3}\times0=-2 \\ & z_E=\dfrac{2}{3}\times2+\dfrac{1}{3}\times(-4)=0 \end{cases}$

    b) E barycentre de (A,2)(B,1) donc pour tout point M de l'espace : $2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{ME}$
donc $\|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\|=3\|\overrightarrow{MO}\| \, \Longleftrightarrow \, \|3\overrightarrow{ME}\|=3\|\overrightarrow{MO}\| \, \Longleftrightarrow \, ME=MO$
si et seulement si M appartient au plan médiateur du segment [OE]
donc (P) est le plan médiateur du segment [OE].

    c) par définition, le plan médiateur du segment [OE] est le plan orthogonal à la droite (OE) et passant par le milieu du segment, donc :
$\overrightarrow{OE}$ est normal à (P) or les coordonnées de $\overrightarrow{OE}$ sont $(0,-2,0)$ donc l'équation du plan est de la forme -2y+d=0
(P) passe par le milieu de [OE] or le milieu de [OE] a pour coordonnées $(0,-1,0)$ donc 2+d=0 donc d=-2
donc l'équation de (P) est -2y-2=0 ou encore y=-1

2. a) Le rayon de la sphère est $r=\dfrac{AB}{2}$
donc $R=\dfrac{1}{2}\sqrt{(-\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3})^2+(0+3)^2+(-4-2)^2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4+9+36}=\dfrac{7}{2}$

Les coordonnées de I, milieu de [AB] correspondent à la demi-somme des coordonnées de A et B, donc sont $(-\dfrac{1}{3},-\dfrac{3}{2},-1)$ .

La distance de I à (P) est alors donnée par : $d_{I/(P)}=\dfrac{|y_I+1|}{\sqrt{1^2}}=|-\dfrac{3}{2}+1|=\dfrac{1}{2}$

On a donc $d_{I/(P)} < R$ donc l'intersection du plan (P) et de la sphère (S) n'est pas vide.

    b) Soit $M(x,y,z)$ un point de $(C)=(P)\cap (S)$
alors M appartient à (P) donc y_M=-1
et M appartient à (S) donc IM=R ou encore IM²=R²
$\left(x+\dfrac{1}{3} \right)^2+ \left(-1+\dfrac{3}{2} \right)^2+(z+1)^2= \left(\dfrac{7}{2} \right)^2$
$\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+(z+1)^2=12$

donc (C) est un cercle de centre de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3},y,-1\right)= \left(-\dfrac{1}{3},-1,-1\right)$ puisque le centre appartient à (P) et de rayon $\sqrt{12}=2\sqrt3$ .

3. a) Le vecteur $\overrightarrow{ID}$ a pour coordonnées $(0,1,4\sqrt3)$
$M(x,y,z)\in(ID)$ equivaut

il existe un réel t tel que $\overrightarrow{IM}=k\overrightarrow{ID}$
donc : $\begin{cases} & x-(-\dfrac{1}{3})=0 \\ & y-(-\dfrac{3}{2})=t \\ & z-(-1)=4\sqrt3 t \end{cases}$

donc l'écriture paramétrique de (ID) est : $\begin{cases} & x=-\dfrac{1}{3} \\ & y=t-\dfrac{3}{2} \\ & z=4\sqrt3 t-1 \end{cases}$ où $t\in\mathbb{R}$

b) Soit F le point d'intersection, s'il existe de (ID) et (C), alors les coordonnées de F vérifient :
$\begin{cases} & x_F=-\dfrac{1}{3} \\ & y_F=t-\dfrac{3}{2} \\ & z_F=4\sqrt3 t-1 \\ & (x_F+\dfrac{1}{3})^2+(z_F+1)^2=12 \end{cases}$
alors $0+(4\sqrt3t)^2=12$ donc $48t^2=12$
$t^2=\dfrac{1}{4}$ donc $t=\dfrac{1}{2}$
et par suite : $\begin{cases} & x_F=-\dfrac{1}{3} \\ & y_F=\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}=-1 \\ & z_F=4\sqrt3\dfrac{1}{2}-1=2\sqrt3-1 \end{cases}$

exercice 3- Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. $M(x,y,z) \in (T) \Longleftrightarrow (\vec{k},\overrightarrow{OA})=(\vec{k},\overrightarrow{OM}) \Longleftrightarrow \tan(\vec{k},\overrightarrow{OA})= \tan(\vec{k},\overrightarrow{OM})$
$\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{x_A^2+y_A^2}}{z_A}=\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \Longleftrightarrow (x_A^2+y_A^2)z^2=(x^2+y^2)z_A^2$
$\Longleftrightarrow (1+9)z^2=4(x^2+y^2) \Longleftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{5}{2}z^2$

2. a) L'équation du plan (P) est z=z_B donc z=-4

b) Comme le plan (P) est orthogonal à l'axe du cône (T) et (P) ne passe pas par le sommet O du cône (T), l'intersection de (P) et (T) est un cercle.

3. L'intersection du cône (T) et du plan (y=3) parallèle à l'axe du cône est une hyperbole.

Partie B

1. a) Cas 1 : x et y sont des entiers positifs, avec $x\le y$
   si x=0, y²=40 impossible
   si x=1, y²=39 impossible
   si x=2, y²=36 donc y=6
   si x=3, y²=31 impossible
   si x=4, y²=26 impossible
   si x=5, y²=15 impossible
donc une seule solution dans cette configuration : le couple (4,6)

Les autres solutions se déduisent par symétrie et en inversant $x$ et $y$ .
L'ensemble des solutions est donc : S={(2,6),(-2,6),(-2,-6),(2,-6),(6,2),(6,-2),(-6,-2),(-6,2)}

    b) (C1) est l'intersection de (T) et (P), donc : $\begin{cases} & x^2+y^2=\dfrac{5}{2}z^2 \\ & z=-4 \end{cases}$ equivaut

$\begin{cases} & x^2+y^2=40 \\ & z=-4 \end{cases}$
donc les points de (C1) dont les coordonnés sont entières sont les points de coordonnés : (2,6,-4),(-2,6,-4),(-2,-6,-4),(2,-6,-4),(6,2,-4),(6,-2,-4),(-6,2,-4),(-6,-2,-4)

2. a) Les points à coordonnées entières de (T) vérifient : $x^2+y^2=\dfrac{5}{2}z^2$ donc 2(x²+y²)=5z²
donc 2 divise 5z² or 2 et 5 sont premiers entre eux, donc 2 divise z², or 2 est premier donc 2 divise z.
Et alors : 4 divise z² donc il existe un entier k tel que z²=4k alors x²+y²=10k donc 10 divise x²+y².

    b) Les points de (C2) sont des points de (T) donc (d'après la question précédente) : x²+y² est divisible par 10 donc $x^2+y^2\equiv0[10]$
or y=3 donc $x^2+9\equiv0\equiv10[10]$ donc $x^2\equiv1[10]$

    c) $x^2\equiv1[10]$ donc $x^2-1\equiv0[10]$
donc il existe un entier k tel que x²-1=10k ou encore $(x-1)(x+1)=2\times5k$
   cas 1 : 2 et 5 divisent x-1, i.e. x-1=10k', x=10k'+1
   cas 2 : 2 et 5 divisent x+1, i.e. x+1=10k', x=10k'-1
   cas 3 : si 2 divise x-1 (donc x s'écrit x=2k'+1) mais 5 ne divise pas x-1 alors 5 divise x+1=2k'+2=2(k'+1),
donc 5 divise 2(k'+1) or 2 et 5 sont premiers entre eux donc 5 divise k'+1 donc k'+1 s'écrit k'+1=5k'' donc k'=5k''-1 donc x=10k''+1
   cas 4 : si 2 ne divise pas x-1 alors x-1 est impair donc x pair, donc x+1 impair, donc 2 ne divise pas (x-1)(x+1)

Conclusion : $x^2\equiv1[10]$ equivaut

$x\equiv1[10]$ ou $x\equiv-1\equiv9[10]$

d) si x=1, y=3 alors 1+3²=10 donc $\dfrac{5}{2}z^2=10$ donc $z^2=4$ alors z=2 ou z=-2
Les point de coordonnées (1,3,2) est donc un point de (C2) à coordonnées entières.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) $1\le x \Rightarrow 0\le\ln x$
or $0\le 1\le x$ donc $0\le x\ln x$ donc $0\le 1\le1+x\ln x$
donc f est positive sur $[1,+\infty[$ et plus particulièrement sur [1,2]

    b) Soit a le coefficient directeur de la droite (MN)
alors $a=\dfrac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\dfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=f(2)-f(1)=1+2\ln2-(1+1\ln1)=2\ln2$

    c) Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point M(x₀,y₀) est donné par $f'(x_{0})$
or $f'(x)=\ln x+x\dfrac{1}{x}=\ln x+1$
donc $f'(x_0)=\ln x_0+1=2\ln2 \Longleftrightarrow \ln x_0=2\ln2-1 \Longleftrightarrow x_0=e^{2\ln2-1}=\dfrac{e^{2\ln2}}{e}=\dfrac{2^2}{e}=\dfrac{4}{e}$
donc E est le seul point de ]0, $+\infty$ [ et en particulier de [1,2] pour lequel la tangente à la courbe est parallèle à (MN).

    d) L'équation de T est donc du type : $y=(2\ln2)x+b$ où b est une constante réelle à déterminer
or T passe par E donc $f(\dfrac{4}{e})=(2\ln 2)\times\dfrac{4}{e}+b$
donc $\displaystyle b=f(\frac{4}{e})-\frac{8}{e}\ln2=1+\frac{4}{e}\ln(\frac{4}{e})-\frac{8}{e}\ln2=1+\frac{8}{e}\ln2-\frac{4}{e}-\frac{8}{e}\ln2=1-\frac{4}{e}$
donc l'équation de T est $y=(2\ln2)x+1-\dfrac{4}{e}$

2. a) g est dérivable sur [1,2] et sa dérivée vaut :
$\displaystyle g'(x)=f'(x)-2\ln2=\ln x+1-2\ln2=\ln x +1-\ln4=1+\ln(\frac{x}{4})$

    b) g'(x)>0 si et seulement si $\displaystyle 1+\ln(\frac{x}{4})>0 \Longleftrightarrow \frac{x}{4}\ge \frac{1}{e} \Longleftrightarrow x\ge\frac{4}{e}$
donc g est décroissante sur $\left[1,\dfrac{4}{e}\right]$ et croissante sur $\left[\dfrac{4}{e},2\right]$

or $\displaystyle \Longleftrightarrow g(\frac{4}{e})=1+\frac{4}{e}\ln{\frac{4}{e}}-2\ln2\frac{4}{e}+\frac{4}{e}-1=\frac{4}{e}(2\ln2-1)-2\ln2\frac{4}{e}+\frac{4}{e}=0$
donc pour tout x de [1,2], on a : $g(x)\ge0$
donc $f(x)\ge (2\ln2)x-\dfrac{4}{e}+1$
donc la courbe C_f est au-dessus de la tangente T

3. a) $Aire(MNQP)=\dfrac{(MP+NQ)\timesPQ}{2}=\dfrac{(f(1)+f(2))\times1}{2}$
or $f(1)=1+1\ln1=1$ et $f(2)=1+2\ln2$ donc $Aire(MNPQ)=\dfrac{1}{2}(1+1+2\ln2)=1+\ln2\approx1,69$ environ
$Aire(M'N'QP)=\dfrac{(M'P+N'Q)\timesPQ}{2}=\dfrac{1}{2}(2\ln2-\dfrac{4}{e}+1+4\ln2-\dfrac{4}{e}+1)=3\ln2-\dfrac{4}{e}+1\approx1,61$ environ

    b)Aire(M'N'QP) < A < Aire(MNQP) donc 1,6 < A < 1,7

Partie B

1. On pose $u(x)=\ln x$ donc $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=x$ et on choisit $v(x)=\dfrac{x^2}{2}$
alors $\displaystyle \int_1^2x\ln x dx=\left[\frac{x^2}{2}\lnx\right]_1^2-\int_1^2\frac{1}{x}\frac{x^2}{2}dx=2\ln2-\left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2=2\ln2-1+\frac{1}{4}=2\ln2-\frac{3}{4}$

2. $\displaystyle A=\int_1^2 (1+x\lnx)dx=\int_1^2 1dx+\int_1^2x\lnxdx=1+2\ln2-\frac{3}{4}=2\ln2+\frac{1}{4}$
NB: on vérifie que la réponse trouvée est cohérente avec le résultat de la partie A car $2\ln2+\dfrac{1}{4} \approx 1,64$ environ

Publié par Cel/Aurelien le 06-12-2015

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