Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.
On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives a et b de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal .
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées.
1. a) Donner l'équation réduite de la tangente au point A à la courbe .
b) Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de avec l'axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de ; la réaliser sur la figure en annexe 1.
2. Restitution organisée de connaissances On suppose connue la propriété :
Pour tout couple de nombres réels strictement positifs, on a .
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a .
3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse .
Expliquer la construction et la réaliser sur la figure de l'annexe (on laissera les traits de construction apparents).
Annexe 1
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Soit a un nombre réel tel que -1 < a < 0.
On considère la suite u définie par u0 = a, et pour tout entier naturel n, un+1 = un² + un.
1. Étudier la monotonie de la suite u.
2. a) Soit h la fonction définie sur par . Etudier le sens de variation de la fonction h.
En déduire que pour tout appartenant à l'intervalle ]-1 ; 0[, le nombre appartient aussi à l'intervalle ]-1 ; 0[.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : -1 < un < 0.
3. Étudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie sur par : On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal .
1. a) Déterminer la limite de en .
b) Établir que, pour tout nombre réel non nul, on a .
En déduire la limite de en .
2. Donner, sans démontrer, la limite suivante : et démontrer que est continue en 0.
3. a) Démontrer que, pour tout nombre réel , on a : , et que l'égalité n'a lieu que pour .
b) Calculer la dérivée de la fonction et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel non nul, c) Donner le tableau des variations de .
4. Soient un nombre réel non nul et les points et de la courbe .
a) Établir que puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM').
b) On admet que la fonction est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = , b = et c = 2i.
1. a) Ecrire b sous forme exponentielle.
b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
2. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1 ) ; (C ; 3)} et par F le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}.
a) Etablir que l'affixe e du point E est égale à .
b) Déterminer l'affixe f du point F.
3. a) Démontrer que le quotient peut s'écrire peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.
b) Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.
4. On désigne par H le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}.
Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF).
Qu'en déduit-on pour le point H ?
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct .
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = , b = et c = 2i.
1. a) Écrire b sous forme exponentielle.
b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
c) Déterminer une mesure en radians de l'angle et de l'angle .
2. Les points Les points E et F ont pour affixes respectives et .
a) Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés.
b) Démontrer que le quotient peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, peut s'écrire k'i où k' est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer.
c) Placer les points E et F sur la figure.
3. On désigne par S la similitude indirecte dont l'écriture complexe est .
Déterminer les images par S des trois points A, B et C.
4. Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.
1. a)Donnons l'équation réduite de la tangente au point A à la courbe : : c'est l'équation de la tangente au point .
1. b)Déterminons l'ordonnée du point d'intersection P de avec l'axe des ordonnées : Dans l'équation , on prend pour trouver l'ordonnée de P, on obtient
Calculons la longueur PQ : donc PQ = et .
Donc pour dessiner la tangente en A, on place P sur l'axe des y en-dessous de Q à la distance 1 de Q et on joint P à A, c'est la tangente en A (cf figure ci-dessous).
2. Restitution organisée de connaissances Montrons que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a : Si , la formule donnée s'écrit :
donc en divisant par 2 :
3. Donc en prenant ; on a :
Donc on place W milieu de [QR], ses coordonnées sont : , on trace l'horizontale passant par W, elle rencontre la courbe de ln en un point C de coordonnées On projette C sur l'axe des abscisses, on obtient le point G d'abscisse
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1. Pour tout entier naturel on a :
Donc la suite est strictement croissante.
2. a) donc sur , h est décroissante, alors que sur , h est croissante.
Sur ]-1 ; 0[, h passe par son minimum -0,25 et ses limites aux bornes sont 0 et 0 donc l'ensemble de ses valeurs sur cet intervalle est [-0,25 ; 0[ et on a bien ; donc
si appartient à ]-1 ; 0[, alors appartient aussi à cet intervalle.
2. b) On fait une récurrence :
Initialisation : pour n = 0, , (énoncé).
Hérédité : soit n dans , tel que
, alors
On a ainsi établi par récurrence que tous les termes de la suite u sont dans ]-1 ; 0[.
3. La suite u est croissante, majorée par 0, donc elle converge.
Et comme c'est une suite récurrente formée avec une fonction continue h, on sait que sa limite est un réel vérifiant .
Or l'équation s'ecrit . Elle n'a qu'une solution .
La suite u converge vers 0.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1.
1. b) Donc : Donc :
2. a) (taux de variation de exp entre 0 et tend vers exp'(0) = 1 quand tend vers 0).
Notons , alors donc la limite de quand tend vers 0 est 1, et comme , est continue en .
3. a) On étudie une nouvelle fonction
Sa dérivée est , elle a le même signe que car est strictement décroissante sur est strictement croissante sur donc admet un minimum en et c'est 0. Donc pour tout non nul,
Donc , avec égalité uniquement pour .
3. b) Donc vu que et que est à valeurs strictement positives sauf en ,
et on ne sait pas encore si est dérivable en .
4. a) car
4. b) Si est dérivable en , alors notons Or Donc successivement avec et en faisant la limite quand tend vers 0, on en déduit :
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Donc
1. b) On trace la droite horizontale d'équation y = -3, on trace le cercle de rayon OA, il y a deux points d'intersection, B est le point d'abscisse positive.
2. Le point E a pour affixe
Le point F a pour affixe
3. a) donc
Donc l'angle Donc E est sur (AC) et sur la perpenciculaire à (AC) issue de B donc E est sur la hauteur issue de B du triangle ABC
4. b) On fait de même avec F : et là encore F est sur (AB) et sur la perpenciculaire à (AB) issue de B, donc F est sur la hauteur issue de C du triangle ABC.
4. La somme des masses est 9 donc H existe.
Par l'associativité du barycentre : comme F est barycentre de (A ; 2) (B ; 1), H est barycentre de (F ; 3) (C ; 6), donc H est sur (CF).
De même E est barycentre de (A ; 1) (C ; 3), donc E est barycentre de (A ; 2) (C ; 6), donc H est barycentre de (E ; 8) (B ; 1) donc H est sur (BE).
H est sur deux des trois hauteurs du triangle ABC donc H est l'orthocentre de ABC.
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. a) Donc
1. b) On trace la droite horizontale d'équation y = -3, on trace le cercle de rayon OA , il y a deux points d'intersection, B est le point d'abscisse positive.
1. c) On cherche De même
2. a) Donc Donc les points A, E et C sont alignés.
De même : Donc Donc les points A, F et B sont alignés.
2. b) Donc Donc E est sur (AC) et sur la perpendiculaire à (AC) issue de B, donc E est sur la hauteur issue de B du triangle ABC.
2. b) On fait de même avec F : et là encore F est sur (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) issue de B donc F est sur la hauteur issue de C du triangle ABC.
3. S(A) = A car S(B) = E car S(C) = F car
4. La droite (BE) est perpendiculaire à (AC) donc son image est la perpendiculaire à (AF) passant par E. C'est la hauteur issue de E du triangle AEF.
La droite (CF) est perpendiculaire à (AB), donc son image est la perpendiculaire à (AE) passant par F. C'est la hauteur issue de F du triangle AEF.
H étant l'intersection de (BE) et (AC), il est transformé par S en le point d'intersection de deux des hauteurs du triangle AEF, c'est l'orthocentre du triangle AEF.
Publié par Cel/sloreviv
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