Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
La Réunion - Session 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.
On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives a et b de la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ .
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées.

1. a) Donner l'équation réduite de la tangente $(\cal T)$ au point A à la courbe $\Gamma$ .
b) Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de $(\cal T)$ avec l'axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de $(\cal T)$ ; la réaliser sur la figure en annexe 1.

2. Restitution organisée de connaissances
On suppose connue la propriété :
Pour tout couple $(x \: ; \: y)$ de nombres réels strictement positifs, on a $\ln(xy) = \ln(x) + ln(y)$ .
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a $\ln(\sqrt{m}) = \dfrac12 \ln(m)$ .

3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse $\sqrt{\text{ab}}$ .
Expliquer la construction et la réaliser sur la figure de l'annexe (on laissera les traits de construction apparents).

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 1

Annexe 1

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Soit a un nombre réel tel que -1 < a < 0.
On considère la suite u définie par u₀ = a, et pour tout entier naturel n, u_n+1 = u_n² + u_n.

1. Étudier la monotonie de la suite u.

2. a) Soit h la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = x^2 + x$ . Etudier le sens de variation de la fonction h.
En déduire que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]-1 ; 0[, le nombre $h(x)$ appartient aussi à l'intervalle ]-1 ; 0[.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : -1 < u_n < 0.

3. Étudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(x) & \dfrac{x e^x}{e^x - 1} \text{ si } x \neq 0 \\ f(0) & 1 \\ \end{array} \right.$
On note $\scr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j})$ .

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$ .
    b) Établir que, pour tout nombre réel $x$ non nul, on a $f(x) = x\left(1+\dfrac{1}{e^x-1}\right)$ .
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ .

2. Donner, sans démontrer, la limite suivante : $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x -1}{x}$ et démontrer que $f$ est continue en 0.

3. a) Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ , on a : $e^x \geq x + 1$ , et que l'égalité n'a lieu que pour $x = 0$ .
    b) Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel $x$ non nul, $f'(x) = \dfrac{e^x g(x)}{\left(e^x - 1\right)^2}$
    c) Donner le tableau des variations de $f$ .

4. Soient $x$ un nombre réel non nul et les points $\text{M}(x ; f(x))$ et $\text{M}'(-x ; f(-x))$ de la courbe $\scr{C}$ .
    a) Établir que $f(-x) = \dfrac{x}{e^x - 1}$ puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM').
    b) On admet que la fonction $f$ est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ .
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = $-2\sqrt{3}$ , b = $\sqrt{3} - 3\text{i}$ et c = 2i.

1. a) Ecrire b sous forme exponentielle.
b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 2

2. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1 ) ; (C ; 3)} et par F le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}.
   a) Etablir que l'affixe e du point E est égale à $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac32 \text{i}$ .
   b) Déterminer l'affixe f du point F.

3. a) Démontrer que le quotient peut s'écrire $\dfrac{e-c}{e-b}$ peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.
   b) Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.

4. On désigne par H le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}.
Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF).
Qu'en déduit-on pour le point H ?

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v})$ .
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = $-2\sqrt{3}$ , b = $\sqrt{3} - 3\text{i}$ et c = 2i.

1. a) Écrire b sous forme exponentielle.
b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).

   c) Déterminer une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{u} \, ; \, \overrightarrow{\text{AB}})$ et de l'angle $(\overrightarrow{u} \, ; \, \overrightarrow{\text{AC}})$ .

2. Les points Les points E et F ont pour affixes respectives $e = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac32 \text{i}$ et $f = -\sqrt{3} - \text{i}$ .
    a) Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés.
    b) Démontrer que le quotient $\dfrac{e-c}{e-b}$ peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, $\dfrac{f-c}{f-b}$ peut s'écrire k'i où k' est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer.
    c) Placer les points E et F sur la figure.

3. On désigne par S la similitude indirecte dont l'écriture complexe est $z$ fleche2

$\dfrac12 \bar{z} - \sqrt{3}$ .
Déterminer les images par S des trois points A, B et C.

4. Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) Donnons l'équation réduite de la tangente $(\cal T)$ au point A à la courbe $\Gamma$ :
$(\cal{T})$ : $y = \dfrac{1}{a}(x-a) + \ln(a)$ c'est l'équation de la tangente au point $A(a\, ; \, \ln(a))$ .

1. b) Déterminons l'ordonnée du point d'intersection P de $(\cal T)$ avec l'axe des ordonnées :
Dans l'équation $y = \dfrac{1}{a}(x - a) + \ln(a)$ , on prend $x = 0$ pour trouver l'ordonnée de P, on obtient $y_{\text{P}} = \ln(a) - 1$

Calculons la longueur PQ :
$y_{\text{Q}} = y_{\text{A}} = \ln(a)$ donc PQ = $\mid(y_{\text{Q}} - y_{\text{P}})\mid = 1$ et $y_{\text{P}} < y_{\text{Q}}$ .
Donc pour dessiner la tangente en A, on place P sur l'axe des y en-dessous de Q à la distance 1 de Q et on joint P à A, c'est la tangente en A (cf figure ci-dessous).

2. Restitution organisée de connaissances
Montrons que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a $\ln(\sqrt{m}) = \dfrac12 \ln(m)$ :
Si $x = y=\sqrt{m}$ , la formule donnée s'écrit :
$\ln(m) = 2\times \ln(\sqrt{m})$ donc en divisant par 2 :
$\ln\left(\sqrt{m}\right) = \lbrace \dfrac{\ln(m)}{2}\rbrace$

3. Donc en prenant $m = \sqrt{ab}$ ; on a :
$\ln\left(\sqrt{ab}\right) = \dfrac{\ln(ab)}{2} \\ \ln\left(\sqrt{ab}\right) = \dfrac{\ln(a) + \ln(b)}{2}$
Donc on place W milieu de [QR], ses coordonnées sont : $\text{W}\left(0 \, ; \,\ln\left(\sqrt{ab}\right)\right)$ , on trace l'horizontale passant par W, elle rencontre la courbe de ln en un point C de coordonnées $\left(\sqrt{ab} \, ; \, \ln\left(\sqrt {ab}\right)\right)$
On projette C sur l'axe des abscisses, on obtient le point G d'abscisse $\sqrt{ab}$

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 3

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$u_{n+1} - u_n = u_n^2 \\ u_n^2 > 0\\ u_{n+1} - u_n \ge 0$
Donc la suite $u$ est strictement croissante.

2. a) $h(x) = (x + 0,5)^2 - 0,25$ donc sur $\left]-\infty \, ; \, \dfrac{-1}{2}\right]$ , h est décroissante, alors que sur $\left[ \dfrac{-1}{2} \, ; \, +\infty \right[$ , h est croissante.
Sur ]-1 ; 0[, h passe par son minimum -0,25 et ses limites aux bornes sont 0 et 0 donc l'ensemble de ses valeurs sur cet intervalle est [-0,25 ; 0[ et on a bien $[-0,25 \, ; \, 0[ \subset ]-1\, ; \, 0[$ ; donc
si $x$ appartient à ]-1 ; 0[, alors $h(x)$ appartient aussi à cet intervalle.

2. b) On fait une récurrence :
Initialisation : pour n = 0, $u_0 \in ]-1 \, ; \, 0[$ , (énoncé).
Hérédité : soit n dans $\mathbb{N}$ , tel que
$-1 < u_n < 0$ , alors
$h(u_n) = u_{n+1}\\ u_n \in ]-1 \, ; \, 0[ \Longrightarrow u_{n+1} \in ]-1 \, ; \, 0[$
On a ainsi établi par récurrence que tous les termes de la suite u sont dans ]-1 ; 0[.

3. La suite u est croissante, majorée par 0, donc elle converge.
Et comme c'est une suite récurrente formée avec une fonction continue h, on sait que sa limite $\ell$ est un réel vérifiant $\ell = h(\ell)$ .
Or l'équation $h(\ell) = \ell$ s'ecrit $\ell^2 = 0$ . Elle n'a qu'une solution $\ell = 0$ .
La suite u converge vers 0.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} (e^x) = 0 \quad \text{ et } \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}(xe^x) = 0 \quad \text{ donc } \quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{xe^x}{e^x-1}\right) = 0$

1. b) $\dfrac{e^x}{e^x-1} = \dfrac{\left(e^x - 1\right) + 1}{e^x - 1} = 1 + \dfrac{1}{e^x - 1}$
Donc : $x \times \dfrac{e^x}{e^x - 1} = x \times \left(1 + \dfrac{1}{e^x - 1}\right)$
Donc :
$\displaystyle f(x) = x\left(1 + \dfrac{1}{e^x-1}\right) \\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(e^x - 1\right) = +\infty\\ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{e^x-1}\right) = 0\\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{e^x-1}\right) = 1\\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(x \times \left(1 + \dfrac{1}{e^x-1}\right)\right) = +\infty\\ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(f(x)\right) = +\infty$

2. a) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right) = 1 \\$ (taux de variation de exp entre 0 et $x$ tend vers exp'(0) = 1 quand $x$ tend vers 0).
Notons $\tau(x) = \dfrac{e^x-1}{x}$ , alors $f(x) = \dfrac{e^x}{\tau(x)}$ donc la limite de $f$ quand $x$ tend vers 0 est 1, et comme $f(0) = 1$ , $f$ est continue en $x = 0$ .

3. a) On étudie une nouvelle fonction
$h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto h(x) = e^x - x - 1$
Sa dérivée est $h'(x) = e^x-1$ , elle a le même signe que $x$ car $e^x - 1 > 0 \Longleftrightarrow x > 0$
$h$ est strictement décroissante sur $]-\infty \, ; \, 0]$
$h$ est strictement croissante sur $[0 \, ; \, +\infty[$ donc $h$ admet un minimum en $x = 0$ et c'est 0. Donc pour tout $x$ non nul,
$e^x - x - 1 > 0\\ e^x > x - 1$
Donc $e^x \ge x + 1$ , avec égalité uniquement pour $x = 0$ .

3. b) $f'(x) = \dfrac{\left(e^x + xe^x\right)\left(e^x - 1\right) - e^x\left(xe^x\right)}{\left(e^x - 1\right)^2}$
$f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x - 1)^2} \times \left[(1+x) \times (e^x-1) - (xe^x)\right]$
$f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x - 1\right)^2} \times \left[\left(e^x - 1\right) + \left(xe^x - x\right) - \left(xe^x\right)\right]$
$f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \times \left[\left(e^x - 1\right) - x\right]$
$f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \times g(x)$
Donc vu que $g = h$ et que $h$ est à valeurs strictement positives sauf en $x = 0$ ,
$f'(x) > 0 \Longleftrightarrow x \not= 0$ et on ne sait pas encore si $f$ est dérivable en $x = 0$ .
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & & & +\infty\\ \hline \text{signe} \quad f' & & + & ? & & & + & \\ \hline \hspace{1pt} & & & & & & & +\infty \\ \hspace{1pt} & & & & & & \nearrow & \\ \text{variation \quad f} & & & 1 & & & & \\ \hspace{1pt} & & \nearrow & & & & & \\ \hspace{1pt} & 0 & & & & & & \\ \hline \end{array}$

4. a) $\dfrac{f(x) - f(-x)}{2x} = \dfrac{1}{2}$ car
$f(-x) = \dfrac{-xe^{-x}}{e^{-x}-1}\\ f(-x) = \dfrac{-x}{1-e^x}\\ f(-x) = \dfrac{x}{e^x-1}\\ f(x) - f(-x) = \dfrac{x}{e^x-1} \times (e^x - 1)\\ f(x) - f(-x) = x \\ \dfrac{f(x) - f(-x)}{x - (-x)} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$

4. b) Si $f$ est dérivable en $x = 0$ , alors notons $\tau(x) = \dfrac{f(x) - f(0)}{x}$
$\dfrac{f(x) - f(-x)}{x-(-x)} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2} \\ \text{donc } \dfrac{\left(f(x) - f(0)\right) - \left(f(-x) - f(0)\right)}{x - (-x)} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{2} \times \left[\dfrac{f(x) - f(0)}{x} + \dfrac{f(-x) - (f(0)}{-x}\right] = \dfrac{1}{2}$
$\left(\tau(x) + \tau(-x)\right) = 1$ Or $\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \tau(h) = f'(0)}$
Donc successivement avec $h = x \text{ puis } h = -x$ et en faisant la limite quand $h$ tend vers 0, on en déduit :
$2f'(0) = 1 ; \; f'(0) = \dfrac{1}{2}$

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 4

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $\mid b \mid = \sqrt{3+9} = 2\sqrt{3}$
Donc $b = 2\sqrt{3} \times \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3} \times e^{-\text{i}\dfrac{\pi}{3}}$

1. b) On trace la droite horizontale d'équation y = -3, on trace le cercle de rayon OA, il y a deux points d'intersection, B est le point d'abscisse positive.

2. Le point E a pour affixe $\dfrac{z_A + 3z_C}{4} = \dfrac{-2 \sqrt{3} + 6\text{i}}{4} = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{3}{2}$

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 5

Le point F a pour affixe $z_F = \dfrac{2z_A + z_}{3} = \dfrac{-4\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3\text{i}}{3}= -\sqrt{3} - \text{i}$

3. a) $b = -2e$ donc
$\dfrac{e - c}{e - b} = \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{3}{2} - 2\text{i}}{3e} = 2 \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{-1}{2}}{(-3\sqrt{3} + 9\text{i})} = \dfrac{-\sqrt{3} - \text{i}}{-3\sqrt{3} + 9\text{i}} = \dfrac{1}{108} \times (-\sqrt{3} - \text{i}) \times (-3\sqrt{3} - 9\text{i}) = \dfrac{1}{108} \times (12\text{i}\sqrt{3})$
Donc l'angle $\widehat {(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CE})} = \arg\left(\dfrac{12\text{i}\sqrt{3}}{108}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
Donc $\overrightarrow{BE}\perp\overrightarrow{CE}$
E est sur (AC) et sur la perpenciculaire à (AC) issue de B donc E est sur la hauteur issue de B du triangle ABC

4. b) On fait de même avec F : $\dfrac{f-a}{f-c} = \dfrac{-\sqrt3-\text{i}+2\sqrt3}{-\sqrt3-\text{i}-2\text{i}} = \dfrac{\sqrt3-\text{i}}{-\sqrt3-3\text{i}} = \dfrac{-\sqrt3+\text{i}}{\sqrt3+3\text{i}} = \dfrac{(-\sqrt3+\text{i})\times(\sqrt3-3\text{i})}{12} = \dfrac{4\sqrt{3} \text{i}}{12}$
et là encore $\overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{AF}$
F est sur (AB) et sur la perpenciculaire à (AB) issue de B, donc F est sur la hauteur issue de C du triangle ABC.

4. La somme des masses est 9 donc H existe.
Par l'associativité du barycentre : comme F est barycentre de (A ; 2) (B ; 1), H est barycentre de (F ; 3) (C ; 6), donc H est sur (CF).
De même E est barycentre de (A ; 1) (C ; 3), donc E est barycentre de (A ; 2) (C ; 6), donc H est barycentre de (E ; 8) (B ; 1) donc H est sur (BE).
H est sur deux des trois hauteurs du triangle ABC donc H est l'orthocentre de ABC.

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $\mid b \mid = \sqrt{3+9} = 2\sqrt{3}$
Donc $b = 2\sqrt3\times \left(\dfrac12 + \text{i} \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3} \times e^{-\text{i}\dfrac{\pi}{3}}$

1. b) On trace la droite horizontale d'équation y = -3, on trace le cercle de rayon OA , il y a deux points d'intersection, B est le point d'abscisse positive.

1. c) On cherche $\widehat {(\vec u;\vec {AB})} = \arg(z_B-z_A) = \arg(3\sqrt{3} - 3\text{i}) = \arg\left(6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{(-1)}{2}\right)\right) = \dfrac{-\pi}{6} + 2k\pi \quad , k \in Z$
De même $\widehat {(\vec u;\vec {AC})} = \arg(z_C-z_A) = \arg(2\sqrt3 + 2\text{i}) = \arg\left(4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac12 \right) \right) = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \quad , k \in Z$

2. a) $(z_E - z_A) = \dfrac32 \left(\sqrt{3} + \text{i}) = \dfrac34 (z_C-z_A)$
Donc $\overrightarrow{AE} = \dfrac34 \overrightarrow{AC}$
Donc les points A, E et C sont alignés.
De même : $(z_F - z_A) = (\sqrt{3} - \text{i}) = \dfrac13 (z_B - z_A)$
Donc $\overrightarrow{AF} = \dfrac13 \vec {AC}$
Donc les points A, F et B sont alignés.

2. b) $\dfrac{e-c}{e-b} = \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac32 - 2\text{i}}{3e} = 2 \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{-1}{2}}{-3\sqrt{3} + 9\text{i}} = \dfrac{-\sqrt{3} - \text{i}}{-3\sqrt{3} + 9\text{i}} = \dfrac{1}{108} \times \left(-\sqrt{3} - \text{i}\right) \times \left(-3\sqrt{3} - 9\text{i}\right) = \dfrac{1}{108} \times (12 \text{i} \sqrt{3})$
Donc $\widehat {(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CE})} = \arg\left({12i\sqrt{3}}{108}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
Donc $\overrightarrow{BE} \perp \overrightarrow{CE}$
E est sur (AC) et sur la perpendiculaire à (AC) issue de B, donc E est sur la hauteur issue de B du triangle ABC.

2. b) On fait de même avec F : $\dfrac{f-a}{f-c} = \dfrac{-\sqrt{3} - \text{i} + 2\sqrt{3}}{-\sqrt{3} - \text{i} - 2\text{i}} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{-\sqrt{3} - 3\text{i}} = \dfrac{-\sqrt{3} + \text{i}}{\sqrt{3} + 3\text{i}} = \dfrac{(-\sqrt{3}+\text{i}) \times (\sqrt{3} - 3\text{i})}{12} = \dfrac{4\sqrt{3}\text{i}}{12}$
et là encore $\overrightarrow{CF} \perp \overrightarrow{AF}$
F est sur (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) issue de B donc F est sur la hauteur issue de C du triangle ABC.

3. S(A) = A car $\dfrac 12 \left(-2\sqrt{3}\right) - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
S(B) = E car $\dfrac12 \left(\sqrt{3} - 3\text{i}\right) - \sqrt{3} = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac32$
S(C) = F car $\dfrac12 (2i) - \sqrt{3} = -\sqrt{3} - \text{i}$

4. La droite (BE) est perpendiculaire à (AC) donc son image est la perpendiculaire à (AF) passant par E. C'est la hauteur issue de E du triangle AEF.
La droite (CF) est perpendiculaire à (AB), donc son image est la perpendiculaire à (AE) passant par F. C'est la hauteur issue de F du triangle AEF.
H étant l'intersection de (BE) et (AC), il est transformé par S en le point d'intersection de deux des hauteurs du triangle AEF, c'est l'orthocentre du triangle AEF.

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Publié par Cel/sloreviv le 16-04-2008

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