Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
La Réunion - Session 2007

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


Les calculatrices de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs tels que a < b.
On désigne par A et par B les points d'abscisses respectives a et b de la courbe \Gamma représentative de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormal (O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j}).
Les points Q et R sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et B sur l'axe des ordonnées.

1. a) Donner l'équation réduite de la tangente (\cal T) au point A à la courbe \Gamma.
   b) Déterminer l'ordonnée du point d'intersection P de (\cal T) avec l'axe des ordonnées.
Calculer la longueur PQ. En déduire une construction simple de (\cal T) ; la réaliser sur la figure en annexe 1.

2. Restitution organisée de connaissances
On suppose connue la propriété :
Pour tout couple (x \: ; \: y) de nombres réels strictement positifs, on a \ln(xy) = \ln(x) + ln(y).
En déduire que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a \ln(\sqrt{m}) = \dfrac12 \ln(m).

3. Utiliser le résultat de la question 2 pour placer sur l'axe des abscisses le point G d'abscisse \sqrt{\text{ab}}.
Expliquer la construction et la réaliser sur la figure de l'annexe (on laissera les traits de construction apparents).

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 1

Annexe 1



4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Soit a un nombre réel tel que -1 < a < 0.
On considère la suite u définie par u0 = a, et pour tout entier naturel n, un+1 = un² + un.

1. Étudier la monotonie de la suite u.

2. a) Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par h(x) = x^2 + x. Etudier le sens de variation de la fonction h.
En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle ]-1 ; 0[, le nombre h(x) appartient aussi à l'intervalle ]-1 ; 0[.
   b) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : -1 < un < 0.

3. Étudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.


6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par : \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} f(x)  &  \dfrac{x e^x}{e^x - 1} \text{ si } x \neq 0  \\  f(0)  &  1 \\ \end{array} \right.
On note \scr{C} la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O \: ; \: \overrightarrow{i} \: , \: \overrightarrow{j}).

1. a) Déterminer la limite de f en -\infty.
    b) Établir que, pour tout nombre réel x non nul, on a f(x) = x\left(1+\dfrac{1}{e^x-1}\right).
En déduire la limite de f en +\infty.

2. Donner, sans démontrer, la limite suivante : \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x -1}{x} et démontrer que f est continue en 0.

3. a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, on a : e^x \geq x + 1, et que l'égalité n'a lieu que pour x = 0.
    b) Calculer la dérivée f' de la fonction f et déterminer la fonction g telle que, pour tout nombre réel x non nul, f'(x) = \dfrac{e^x g(x)}{\left(e^x - 1\right)^2}
    c) Donner le tableau des variations de f.

4. Soient x un nombre réel non nul et les points \text{M}(x ; f(x)) et \text{M}'(-x ; f(-x)) de la courbe \scr{C}.
    a) Établir que f(-x) = \dfrac{x}{e^x - 1} puis déterminer le coefficient directeur de la droite (MM').
    b) On admet que la fonction f est dérivable en 0. Que suggère alors le résultat précédent ?


5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v}).
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = -2\sqrt{3}b = \sqrt{3} - 3\text{i} et c = 2i.

1. a) Ecrire b sous forme exponentielle.
   b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 2


2. On désigne par E le barycentre du système {(A ; 1 ) ; (C ; 3)} et par F le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1)}.
   a) Etablir que l'affixe e du point E est égale à -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac32 \text{i}.
   b) Déterminer l'affixe f du point F.

3. a) Démontrer que le quotient peut s'écrire \dfrac{e-c}{e-b} peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin.
   b) Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin.

4. On désigne par H le barycentre du système {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 6)}.
Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF).
Qu'en déduit-on pour le point H ?


5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O \: ; \: \overrightarrow{u} \: , \: \overrightarrow{v}).
A, B, C désignent les points d'affixes respectives a = -2\sqrt{3}b = \sqrt{3} - 3\text{i} et c = 2i.

1. a) Écrire b sous forme exponentielle.
   b) Les points A et C sont représentés sur la figure ci-dessous. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 2

   c) Déterminer une mesure en radians de l'angle (\overrightarrow{u} \, ; \, \overrightarrow{\text{AB}}) et de l'angle (\overrightarrow{u} \, ; \, \overrightarrow{\text{AC}}).

2. Les points Les points E et F ont pour affixes respectives e = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac32 \text{i} et f = -\sqrt{3} - \text{i}.
    a) Démontrer que les points A, E et C, d'une part, et les points A, F et B, d'autre part, sont alignés.
    b) Démontrer que le quotient \dfrac{e-c}{e-b} peut s'écrire ki où k est un nombre réel à déterminer.
Interpréter géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, \dfrac{f-c}{f-b} peut s'écrire k'i où k' est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer.
    c) Placer les points E et F sur la figure.

3. On désigne par S la similitude indirecte dont l'écriture complexe est z fleche2 \dfrac12 \bar{z} - \sqrt{3}.
Déterminer les images par S des trois points A, B et C.

4. Soit H le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.





exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a) Donnons l'équation réduite de la tangente (\cal T) au point A à la courbe \Gamma :
(\cal{T}) : y = \dfrac{1}{a}(x-a) + \ln(a) c'est l'équation de la tangente au point A(a\, ; \, \ln(a)).

1. b) Déterminons l'ordonnée du point d'intersection P de (\cal T) avec l'axe des ordonnées :
Dans l'équation y = \dfrac{1}{a}(x - a) + \ln(a), on prend x = 0 pour trouver l'ordonnée de P, on obtient y_{\text{P}} = \ln(a) - 1

      Calculons la longueur PQ :
y_{\text{Q}} = y_{\text{A}} = \ln(a) donc PQ = \mid(y_{\text{Q}} - y_{\text{P}})\mid = 1 et y_{\text{P}} < y_{\text{Q}}.
Donc pour dessiner la tangente en A, on place P sur l'axe des y en-dessous de Q à la distance 1 de Q et on joint P à A, c'est la tangente en A (cf figure ci-dessous).

2. Restitution organisée de connaissances
Montrons que, pour tout nombre réel m strictement positif, on a \ln(\sqrt{m}) = \dfrac12 \ln(m) :
Si x = y=\sqrt{m}, la formule donnée s'écrit :
\ln(m) = 2\times \ln(\sqrt{m}) donc en divisant par 2 :
\ln\left(\sqrt{m}\right) = \lbrace \dfrac{\ln(m)}{2}\rbrace

3. Donc en prenant m = \sqrt{ab} ; on a :
\ln\left(\sqrt{ab}\right) = \dfrac{\ln(ab)}{2} \\ \ln\left(\sqrt{ab}\right) = \dfrac{\ln(a) + \ln(b)}{2}
Donc on place W milieu de [QR], ses coordonnées sont : \text{W}\left(0 \, ; \,\ln\left(\sqrt{ab}\right)\right), on trace l'horizontale passant par W, elle rencontre la courbe de ln en un point C de coordonnées \left(\sqrt{ab} \, ; \, \ln\left(\sqrt {ab}\right)\right)
On projette C sur l'axe des abscisses, on obtient le point G d'abscisse \sqrt{ab}
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 3




exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Pour tout entier naturel n on a :
u_{n+1} - u_n = u_n^2 \\ u_n^2 > 0\\ u_{n+1} - u_n \ge 0
Donc la suite u est strictement croissante.

2. a) h(x) = (x + 0,5)^2 - 0,25 donc sur \left]-\infty \, ; \, \dfrac{-1}{2}\right], h est décroissante, alors que sur \left[ \dfrac{-1}{2} \, ; \, +\infty \right[, h est croissante.
Sur ]-1 ; 0[, h passe par son minimum -0,25 et ses limites aux bornes sont 0 et 0 donc l'ensemble de ses valeurs sur cet intervalle est [-0,25 ; 0[ et on a bien [-0,25 \, ; \, 0[ \subset ]-1\, ; \, 0[; donc
si x appartient à ]-1 ; 0[, alors h(x) appartient aussi à cet intervalle.

2. b) On fait une récurrence :
Initialisation : pour n = 0, u_0 \in ]-1 \, ; \, 0[, (énoncé).
Hérédité : soit n dans \mathbb{N}, tel que
-1 < u_n < 0, alors
h(u_n) = u_{n+1}\\ u_n \in ]-1 \, ; \, 0[ \Longrightarrow u_{n+1} \in ]-1 \, ; \, 0[
On a ainsi établi par récurrence que tous les termes de la suite u sont dans ]-1 ; 0[.

3. La suite u est croissante, majorée par 0, donc elle converge.
Et comme c'est une suite récurrente formée avec une fonction continue h, on sait que sa limite \ell est un réel vérifiant \ell = h(\ell).
Or l'équation h(\ell) = \ell s'ecrit \ell^2 = 0. Elle n'a qu'une solution \ell = 0.
La suite u converge vers 0.



exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} (e^x) = 0 \quad \text{ et } \quad \displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}(xe^x) = 0 \quad \text{ donc } \quad \displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{xe^x}{e^x-1}\right) = 0

1. b) \dfrac{e^x}{e^x-1} = \dfrac{\left(e^x - 1\right) + 1}{e^x - 1} = 1 + \dfrac{1}{e^x - 1}
Donc : x \times \dfrac{e^x}{e^x - 1} = x \times \left(1 + \dfrac{1}{e^x - 1}\right)
Donc :
\displaystyle f(x) = x\left(1 + \dfrac{1}{e^x-1}\right) \\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(e^x - 1\right) = +\infty\\ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{e^x-1}\right) = 0\\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(1 + \dfrac{1}{e^x-1}\right) = 1\\ \lim_{x \rightarrow +\infty} \left(x \times \left(1 + \dfrac{1}{e^x-1}\right)\right) = +\infty\\ \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(f(x)\right) = +\infty

2. a) \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\left(\dfrac{e^x-1}{x}\right) = 1 \\ (taux de variation de exp entre 0 et x tend vers exp'(0) = 1 quand x tend vers 0).
Notons \tau(x) = \dfrac{e^x-1}{x}, alors f(x) = \dfrac{e^x}{\tau(x)} donc la limite de f quand x tend vers 0 est 1, et comme f(0) = 1, f est continue en x = 0.

3. a) On étudie une nouvelle fonction
h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ x \mapsto h(x) = e^x - x - 1
Sa dérivée est h'(x) = e^x-1, elle a le même signe que x car e^x - 1 > 0 \Longleftrightarrow x > 0
h est strictement décroissante sur ]-\infty \, ; \, 0]
h est strictement croissante sur [0 \, ; \, +\infty[ donc h admet un minimum en x = 0 et c'est 0. Donc pour tout x non nul,
e^x - x - 1 > 0\\ e^x > x - 1
Donc e^x \ge x + 1, avec égalité uniquement pour x = 0.

3. b) f'(x) = \dfrac{\left(e^x + xe^x\right)\left(e^x - 1\right) - e^x\left(xe^x\right)}{\left(e^x - 1\right)^2}
f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x - 1)^2} \times \left[(1+x) \times (e^x-1) - (xe^x)\right]
f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x - 1\right)^2} \times \left[\left(e^x - 1\right) + \left(xe^x - x\right) - \left(xe^x\right)\right]
f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \times \left[\left(e^x - 1\right) - x\right]
f'(x) = \dfrac{e^x}{\left(e^x-1\right)^2} \times g(x)
Donc vu que g = h et que h est à valeurs strictement positives sauf en x = 0,
f'(x) > 0 \Longleftrightarrow x \not= 0 et on ne sait pas encore si f est dérivable en x = 0.
\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x & -\infty & & 0 & & & & +\infty\\  \hline  \text{signe} \quad f' & & + & ? & & & + & \\ \hline  \hspace{1pt} &  &  &  & & &  & +\infty \\ \hspace{1pt} &  &  &  & &  & \nearrow &  \\ \text{variation \quad f} &  &  & 1 & &  &  &  \\ \hspace{1pt} &  & \nearrow &  & &  &   & \\ \hspace{1pt}  & 0 &  &  & &  & & \\ \hline  \end{array}

4. a) \dfrac{f(x) - f(-x)}{2x} = \dfrac{1}{2} car
f(-x) = \dfrac{-xe^{-x}}{e^{-x}-1}\\ f(-x) = \dfrac{-x}{1-e^x}\\ f(-x) = \dfrac{x}{e^x-1}\\ f(x) - f(-x) = \dfrac{x}{e^x-1} \times (e^x - 1)\\ f(x) - f(-x) = x \\ \dfrac{f(x) - f(-x)}{x - (-x)} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}

4. b) Si f est dérivable en x = 0, alors notons \tau(x) = \dfrac{f(x) - f(0)}{x}
\dfrac{f(x) - f(-x)}{x-(-x)} = \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2} \\ \text{donc } \dfrac{\left(f(x) - f(0)\right) - \left(f(-x) - f(0)\right)}{x - (-x)} = \dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{2} \times \left[\dfrac{f(x) - f(0)}{x} + \dfrac{f(-x) - (f(0)}{-x}\right] = \dfrac{1}{2}
\left(\tau(x) + \tau(-x)\right) = 1 Or \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \tau(h) = f'(0)}
Donc successivement avec h = x \text{ puis } h = -x et en faisant la limite quand h tend vers 0, on en déduit :
2f'(0) = 1 ; \; f'(0) = \dfrac{1}{2}
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 4




exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) \mid b \mid = \sqrt{3+9} = 2\sqrt{3}
Donc b = 2\sqrt{3} \times \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3} \times e^{-\text{i}\dfrac{\pi}{3}}

1. b) On trace la droite horizontale d'équation y = -3, on trace le cercle de rayon OA, il y a deux points d'intersection, B est le point d'abscisse positive.

2. Le point E a pour affixe \dfrac{z_A + 3z_C}{4} = \dfrac{-2 \sqrt{3} + 6\text{i}}{4} = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{3}{2}
sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, La Réunion 2007 - terminale : image 5

Le point F a pour affixe z_F = \dfrac{2z_A + z_}{3} = \dfrac{-4\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3\text{i}}{3}= -\sqrt{3} - \text{i}

3. a) b = -2e donc
\dfrac{e - c}{e - b} = \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{3}{2} - 2\text{i}}{3e}  = 2 \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{-1}{2}}{(-3\sqrt{3} + 9\text{i})} = \dfrac{-\sqrt{3} - \text{i}}{-3\sqrt{3} + 9\text{i}} =  \dfrac{1}{108} \times (-\sqrt{3} - \text{i}) \times (-3\sqrt{3} - 9\text{i}) = \dfrac{1}{108} \times (12\text{i}\sqrt{3})
Donc l'angle \widehat {(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CE})} = \arg\left(\dfrac{12\text{i}\sqrt{3}}{108}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi
Donc \overrightarrow{BE}\perp\overrightarrow{CE}
E est sur (AC) et sur la perpenciculaire à (AC) issue de B donc E est sur la hauteur issue de B du triangle ABC

4. b) On fait de même avec F : \dfrac{f-a}{f-c} = \dfrac{-\sqrt3-\text{i}+2\sqrt3}{-\sqrt3-\text{i}-2\text{i}} = \dfrac{\sqrt3-\text{i}}{-\sqrt3-3\text{i}} = \dfrac{-\sqrt3+\text{i}}{\sqrt3+3\text{i}} = \dfrac{(-\sqrt3+\text{i})\times(\sqrt3-3\text{i})}{12} = \dfrac{4\sqrt{3} \text{i}}{12}
et là encore \overrightarrow{CF}\perp\overrightarrow{AF}
F est sur (AB) et sur la perpenciculaire à (AB) issue de B, donc F est sur la hauteur issue de C du triangle ABC.

4. La somme des masses est 9 donc H existe.
Par l'associativité du barycentre : comme F est barycentre de (A ; 2) (B ; 1), H est barycentre de (F ; 3) (C ; 6), donc H est sur (CF).
De même E est barycentre de (A ; 1) (C ; 3), donc E est barycentre de (A ; 2) (C ; 6), donc H est barycentre de (E ; 8) (B ; 1) donc H est sur (BE).
H est sur deux des trois hauteurs du triangle ABC donc H est l'orthocentre de ABC.



exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) \mid b \mid = \sqrt{3+9} = 2\sqrt{3}
Donc b = 2\sqrt3\times \left(\dfrac12 + \text{i} \dfrac{-\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3} \times e^{-\text{i}\dfrac{\pi}{3}}

1. b) On trace la droite horizontale d'équation y = -3, on trace le cercle de rayon OA , il y a deux points d'intersection, B est le point d'abscisse positive.

1. c) On cherche \widehat {(\vec u;\vec {AB})} = \arg(z_B-z_A) = \arg(3\sqrt{3} - 3\text{i}) = \arg\left(6\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{(-1)}{2}\right)\right) = \dfrac{-\pi}{6} + 2k\pi \quad , k \in Z
De même \widehat {(\vec u;\vec {AC})} = \arg(z_C-z_A) = \arg(2\sqrt3 + 2\text{i}) = \arg\left(4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac12 \right) \right) = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi \quad , k \in Z

2. a) (z_E - z_A) = \dfrac32 \left(\sqrt{3} + \text{i}) = \dfrac34 (z_C-z_A)
Donc \overrightarrow{AE} = \dfrac34 \overrightarrow{AC}
Donc les points A, E et C sont alignés.
De même : (z_F - z_A) = (\sqrt{3} - \text{i}) = \dfrac13 (z_B - z_A)
Donc \overrightarrow{AF} = \dfrac13 \vec {AC}
Donc les points A, F et B sont alignés.

2. b) \dfrac{e-c}{e-b} = \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac32 - 2\text{i}}{3e} = 2 \dfrac{\dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{-1}{2}}{-3\sqrt{3} + 9\text{i}} = \dfrac{-\sqrt{3} - \text{i}}{-3\sqrt{3} + 9\text{i}} = \dfrac{1}{108} \times \left(-\sqrt{3} - \text{i}\right) \times \left(-3\sqrt{3} - 9\text{i}\right) = \dfrac{1}{108} \times (12 \text{i} \sqrt{3})
Donc \widehat {(\overrightarrow{BE};\overrightarrow{CE})} = \arg\left({12i\sqrt{3}}{108}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi
Donc \overrightarrow{BE} \perp \overrightarrow{CE}
E est sur (AC) et sur la perpendiculaire à (AC) issue de B, donc E est sur la hauteur issue de B du triangle ABC.

2. b) On fait de même avec F : \dfrac{f-a}{f-c} = \dfrac{-\sqrt{3} - \text{i} + 2\sqrt{3}}{-\sqrt{3} - \text{i} - 2\text{i}}  = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{-\sqrt{3} - 3\text{i}} = \dfrac{-\sqrt{3} + \text{i}}{\sqrt{3} + 3\text{i}} = \dfrac{(-\sqrt{3}+\text{i}) \times (\sqrt{3} - 3\text{i})}{12} = \dfrac{4\sqrt{3}\text{i}}{12}
et là encore \overrightarrow{CF} \perp \overrightarrow{AF}
F est sur (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) issue de B donc F est sur la hauteur issue de C du triangle ABC.

3. S(A) = A car \dfrac 12 \left(-2\sqrt{3}\right) - \sqrt{3} = -2\sqrt{3}
S(B) = E car \dfrac12 \left(\sqrt{3} - 3\text{i}\right) - \sqrt{3} = \dfrac{-\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac32
S(C) = F car \dfrac12 (2i) - \sqrt{3} = -\sqrt{3} - \text{i}

4. La droite (BE) est perpendiculaire à (AC) donc son image est la perpendiculaire à (AF) passant par E. C'est la hauteur issue de E du triangle AEF.
La droite (CF) est perpendiculaire à (AB), donc son image est la perpendiculaire à (AE) passant par F. C'est la hauteur issue de F du triangle AEF.
H étant l'intersection de (BE) et (AC), il est transformé par S en le point d'intersection de deux des hauteurs du triangle AEF, c'est l'orthocentre du triangle AEF.
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