Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Métropole - La Réunion
Session de remplacement Septembre 2007

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité) Durée : 4 heures

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.
On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
P : Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , de dérivée $f'$ donnée sur $\mathbb{R}$ par : $f'(x) = nx^{n-1}$ .
Q : Soit u une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f = u^n$ ; alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , de dérivée $f'$ donnée par $f' = nu^{n-1}$ .

2. On désigne par g la fonction définie sur ] -1 ; 1[ par g(0) = 0 et $g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ où $g'$ désigne la dérivée de la fonction g sur ]-1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter $g(x)$ .
On considère alors la fonction composée h définie sur $]-\pi ~;~ 0[$ par $h(x) = g\left(\\cos x\right)$ .
a) Démontrer que pour tout $x$ de $]-\pi~;~ 0[$ on a $h'(x) = 1$ , où $h'$ désigne la dérivée de h.
b) Calculer $h\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ puis donner l'expression de $h(x)$ .

6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. La suite u est définie par : $u_{0} = 2 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_{n} + \dfrac{23}{27}$ pour tout entier naturel n.
    a) On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d'équation $y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{23}{27}$ et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.
    b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est $\ell = \dfrac{23}{18}$ .
    c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : $u_{n} \geq \dfrac{23}{18}$ .
   d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

2. a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{10^k} = \frac{1}{90}\left(1 - \frac{1}{10^n}\right)$ c'est-à-dire que $\dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \cdots + \dfrac{1}{10^{n+1}} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)$
    b) La suite v est définie par $v_{n} = 1,2777\ldots7$ avec n décimales consécutives égales à 7.
Ainsi v₀ = 1,2, v₁ = 1,27 et v₂ = 1,277.
En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c'est-à-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

bac S métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 1

5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit les nombres complexes : $z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{6}, \, z_{2} = 2 + 2\text{i} \quad \text{ et } \quad Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ .
    a) Ecrire $Z$ sous forme algébrique.
    b) Donner les modules et arguments de $z_{1} , \, z_{2} \text{ et } Z$ .
    c) En déduire $\cos \dfrac{\pi}{12} \text{ et } \sin \dfrac{\pi}{12}$ .
    d) Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2} \text{ et } Z$ . Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
e) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe $Z^{2\:007}$ .

5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On considère l'ensemble A₇ = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
    a) Pour tout élément a de A₇, écrire dans le tableau figurant à la fin de l'exercice l'unique élément y de A₇ tel que ay $\equiv$ 1 (modulo 7).
    b) Pour $x$ entier relatif, démontrer que l'équation $3x \equiv 5$ (modulo 7) équivaut à $x \equiv 4$ (modulo 7).
    c) Si a est un élément de A₇, montrer que les seuls entiers relatifs $x$ solutions de l'équation $ax \equiv 0$ (modulo 7) sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble A_p = {1 ; 2 ; ... ; p - 1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de A_p.
    a) Vérifier que a^{p - 2} est une solution de l'équation $ax \equiv 1$ (modulo p).
    b) On note r le reste dans la division euclidienne de a^{p - 2} par p. Démontrer que r est l'unique solution $x$ dans A_p, de l'équation $ax \equiv 1$ (modulo p).
    c) Soient $x$ et y deux entiers relatifs. Démontrer que $xy \equiv 0$ (modulo p) si et seulement si $x$ est un multiple de p ou y est un multiple de p.
    d) Application : p = 31. Résoudre dans A₃₁ les équations : $2x \equiv 1$ (modulo 31) et $3x \equiv 1$ (modulo 31). A l'aide des résultats précédents, résoudre dans $\mathbb{Z}$ l'équation $6x^2 - 5x + 1 \equiv 0$ (modulo 31).

a	1	2	3	4	5	6
y						6

4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur $\left]-\dfrac{\pi}{2} \, ; \, \dfrac{\pi}{2} \right[$ :
(E) : $y' + (1 + \tan x) y = \cos x$
(E₀) : $y' + y = 1$ .

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E₀).

2. Soient $f$ et g deux fonctions dérivables sur $\left]-\dfrac{\pi}{2} \, ; \, \dfrac{\pi}{2} \right[$ et telles que $f(x) = g(x) \cos x$ .
Démontrer que la fonction $f$ est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E₀).

3. Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0) = 0$ .

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée des connaissances
P est vraie. Montrons-le par récurrence.
pour n=2 : $f(x) = x^2 = x \times x$ . On suppose connu que la dérivée de $x$ est 1. On utilise la formule de dérivation d'un produit de fonctions : $f'(x) = 1 \times x + x \times 1 = 2x = 2x^{2-1}$ . La propriété est vraie au rang 2.
On suppose que pour n donné, la dérivée de la fonction $x^n$ est $nx^{n-1}$ (la propriété est supposée vraie au rang n). Soit $f(x)=x^{n+1}=x\times x^n$ . En utilisant la formule de dérivation d'un produit de fonctions : $f'(x)=1\times x^n+x\times nx^{n-1}=x^n+nx^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}$ . La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 2 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\ge2$ .

Q est fausse. La vraie propriété est Q' : la dérivée de la fonction $u^n$ est $nu'u^{n-1}$ . Montrons-le par récurrence.
pour n=2 : $f=u^2=u\times u$ . On utilise la formule de dérivation d'un produit de fonctions : $f'=u'u+uu'=2u'u=2u'u^{2-1}$ . La propriété est vraie au rang 2.
On suppose la propriété vraie au rang n. Soit $f=u^{n+1}=u\times u^n$ . Alors, en utilisant le formule de dérivation d'un produit de fonctions : $f'=u'\times u^n+u\times nu'u^{n-1}=u'u^n+nu'u^n=(n+1)u'u^n=(n+1)u'u^{(n+1)-1}$ . La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 2 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\ge2$ .

2. a) $h = g \circ \cos$
Or la dérivée de $v \circ u$ est $(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$ donc $h' = -\sin \times g' \circ \cos$
Donc, pour tout $x \in ]-\pi,0[$ , $\cos(x) \in ]-1;1[$ et $h'(x) = -\sin x \times g'(\cos x)$
Or $g'(\cos x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \cos^2x}} = \dfrac{1}{\sqrt{\sin^2 x}} = \dfrac{1}{|\sin x|}$ . Or sur $]-\pi,0[ \, , \, \sin x < 0$ , donc $|\sin x| = -\sinx$ et $g'(\cos x) = -\dfrac{1}{\sin x}$
D'où $h'(x) = -\sin x \times \left(-\dfrac{1}{\sin x} \right) = 1$
$\boxed{\text{pour tout } x \in ]-\pi;0[ \, , \, h'(x) = 1}$

2. b) $h \left(-\dfrac{\pi}{2} \right) = g \left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right) = g(0) = 0$
$\boxed{h \left(-\frac{\pi}{2} \right) = 0}$
Pour tout $x \in ]-\pi;0[ \, , \, h'(x) = 1$ donc $h(x) = x+k$ où $k$ est un réel à déterminer.
On a : $h\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) = 0$ donc $k = \dfrac{\pi}{2}$ donc $\boxed{h(x) = x + \dfrac{\pi}{2}}$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a)

bac S métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 2

1. b) Si la suite admet une limite, elle est définie par : $\ell = \dfrac{1}{3} \ell + \dfrac{23}{27} \, \Longleftrightarrow \, \dfrac{2}{3} \ell = \dfrac{23}{27} \, \Longleftrightarrow \, \boxed{\ell = \frac{23}{18}}$

1. c) Démonstration par récurrence :
pour n = 0, $u_0 = 2\ge \dfrac{23}{18}$ . La propriété est vraie au rang 0.
supposons la propriété vraie au rang n : $u_n \ge \dfrac{23}{18}$ . Alors $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{23}{27}$
Or $u_n \ge \dfrac{23}{18} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n\ge \dfrac{23}{54} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{23}{27} \ge \dfrac{23}{54} + \dfrac{23}{27} = \dfrac{69}{54} = \dfrac{23}{18}$ donc $u_{n+1}\ge \dfrac{23}{18}$ . La propriété est héréditaire.
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n \ge 0$ : $\boxed{\forall n\ge0,u_n\ge \frac{23}{18}}$

1. d) $\forall n\ge0,u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{23}{27}-u_n=\dfrac{23}{27}-\dfrac{2}{3}u_n$
Or $u_n\ge \dfrac{23}{18}$ donc $-\dfrac{2}{3}u_n\le -\dfrac{23}{27}$ donc $\dfrac{23}{27}-\dfrac{2}{3}u_n\le 0$ . On a donc $u_{n+1}-u_n\le 0$ soit $u_{n+1}\le u_n$ . La suite est décroissante.
La suite est décroissante et minorée par $\dfrac{23}{27}$ . Elle admet donc une limite. Or on a montré que la limite ne pouvait être que $\dfrac{23}{18}$ . La limite de la suite est donc $\dfrac{23}{18}$ .

2. a) On a : $S = \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + ... +\dfrac{1}{10^{n+1}} = \dfrac{1}{10^2} \left(1+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10^2}+ ... + \dfrac{1}{10^{n-1}}\right)$
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ : $1+q+q^2+...+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Donc : $S = \dfrac{1}{10^2} \times \left(\dfrac{1-\dfrac{1}{10^n}}{1-\dfrac{1}{10}} \right) = \dfrac{1}{10^2} \times \left(\dfrac{1-\dfrac{1}{10^n}}{\dfrac{9}{10}} \right) = \dfrac{1}{10^2} \times \dfrac{10}{9} \times \left(1 - \dfrac{1}{10^n} \right) = \dfrac{1}{90} \times \left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)$
$\boxed{\forall n\ge1, \sum_{k=2}^{n+1} \left(\dfrac{1}{10^k}\right) = \dfrac{1}{90} \left(1 - \dfrac{1}{10^n} \right)}$

2. b) $v_0 = 1,2$
$v_1 = 1,27 = 1,2 + 7\dfrac{1}{10^2} \\ v_2 = 1,277 = 1,2 + 7 \left(\dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} \right) \\ ... \\\ v_n = 1,27777... = 1,2 + 7 \left(\dfrac{1}{10^2} + ... + \dfrac{1}{10^n} \right) = 1,2 + 7 \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} \left(\dfrac{1}{10^k}\right) = 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{90} \left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)$
Donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{90} \left(1 - \dfrac{1}{10^n} \right) = 1,2 + \dfrac{7}{90} = \dfrac{12}{10} + \dfrac{7}{90} = \dfrac{115}{90} = \dfrac{23}{18}$
La limite de la suite (v_n) est donc un nombre rationnel.

3. (u_n) est une fonction décroissante et sa limite est $\dfrac{23}{18}$ .
Pour tout $n\ge0$ , $v_{n+1}-v_n=7\dfrac{1}{10^{n+1}} > 0$ donc (v_n) est une suite croissante et sa limite est $\dfrac{23}{18}$ .
Donc les suites (u_n) et (v_n) sont adjacentes.

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'option de spécialité

a) $Z = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}{2+2i} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}{1+i} \\ = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(\sqrt2 + i\sqrt6)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{(\sqrt2+i\sqrt6-i\sqrt2+\sqrt{6})}{2} \\ = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}+i\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$
$\boxed{Z = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}$

b) $z_1 = \sqrt2+i\sqrt6$ donc $|z_1| = |\sqrt2+i\sqrt6|=\sqrt{2+6}=\sqrt8=2\sqrt2$ donc $\boxed{|z_1|=2\sqrt2}$
et $z_1 = 2\sqrt2 \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}{2\sqrt2} = 2\sqrt2 \left(\dfrac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2} \right) = 2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc $\boxed{\arg(z_1)=\frac{\pi}{3}}$
$z_2 = 2+2i$ donc $|z_2|=|2+2i|=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2$ donc $\boxed{|z_2| = 2\sqrt2}$
et $z_2 = 2\sqrt2 \dfrac{2+2i}{2\sqrt2} = 2\sqrt2 \left(\dfrac{\sqrt2}{2} + i\dfrac{\sqrt2}{2} \right)=2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}$ donc $\boxed{\arg(z_2) = \frac{\pi}{4}}$
On a donc : $z_1 = 2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}$ et $z_2=2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}$ donc $Z = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})}=e^{i\frac{\pi}{12}}= \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \right)$
Donc : $\boxed{|Z|=1}$ et $\boxed{\arg(Z) = \frac{\pi}{12}}$ .

c) On a : $Z = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}+i\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} = \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ donc :
$\boxed{\cos \left(\frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4} \text{ et } \sin \left(\frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}$

d) Méthode pour placer les points A, B et C :
- on place le point B de coordonnées (2 ; 2) car $z_B = z_2 = 2+2 i$
- on trace le cercle C₁ de centre O qui passe par B ; ce cercle a pour rayon $|z_2| = 2 \sqrt2$
- on trace le cercle C₂ de centre O et de rayon 1 ;
- sur le cercle C₂, on place le point D d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ , ainsi la droite (OD) fait un angle de $\dfrac{\pi}{3}$ (60°) avec l'axe des abscisses (car $\cos \dfrac{\pi}{3} = d\frac{1}{2}$ ) ;
- Le point A se trouve à l'intersection du cercle C₁ et de la droite (OD) car $|z_A| = |z_1| = 2\sqrt 2$ et $\arg(z_1) = \dfrac{\pi}{3}$ ;
- sur le cercle C₂, on place le point E d'ordonnée $\dfrac{1}{2}$ , ainsi la droite (OE) fait un angle de $\dfrac{\pi}{6}$ (30°) avec l'axe des abscisses (car $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ) ; on peut aussi obtenir cette droite en traçant la bissectrice entre l'axe des abscisses et la droite (OD) ;
- on trace la bissectrice entre l'axe des abscisses et la droite (OE) : cette droite fait donc un angle de $\dfrac{\pi}{12}$ avec l'axe des abscisses ;
- le point C se trouve à l'intersection de cette dernière droite et du cercle C₂ car $|z_C| = |Z| = 1$ et $\arg(Z) = \dfrac{\pi}{12}$ .

bac S métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 3

e) $Z = e^{i\frac{\pi}{12}}$ donc $Z^{2007} = e^{i\frac{\pi}{12}\times2007} = \cos \left(\dfrac{2007\pi}{12} \right) + i\sin \left(\dfrac{2007\pi}{12} \right)$ .
Or $\dfrac{2007\pi}{12}=166\pi+\dfrac{15\pi}{12}\equiv \dfrac{15\pi}{12} \equiv \dfrac{5\pi}{4}[2\pi]$
Donc $Z^{2007} = \cos \left(\dfrac{5\pi}{4} \right) + i \sin \left(\dfrac{5\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt2}{2} - i\dfrac{\sqrt2}{2}$
$\boxed{Z^{2007} = -\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}}$

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $1 \times 1 = 1 \equiv 1[7]$ ; $2\times4=8\equiv1[7]$ ; $3\times5=15\equiv1[7]$ ; $6\times6=36\equiv1[7]$
D'où le tableau complété :

a	1	2	3	4	5	6
y	1	4	5	2	3	6

1. b) $3x \equiv5[7][ \Longleftrightarrow 3x\equiv12[7] \Longleftrightarrow x \equiv 4[7]$

1. c) Si $ax \equiv 0[7]$ alors $7|ax$ . Or pour tout élément a de A₇, a et 7 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : $7|x$ . $x$ est donc un multiple de 7.
Réciproquement, si $x$ est un multiple de 7 alors $ax$ est un multiple de 7 et $ax \equiv 0[7]$ .
Donc : $\boxed{ax\equiv 0[7] \text{ si et seulement si } x \text{ est un multiple de 7}}$

2. a) Pour tout $a\in A_p$ , p est un nombre premier et a est positif strictement inférieur à p, donc a n'est pas un multiple de p.
D'après le petit théorème de Fermat, $a^{p-1}-1$ est un multiple de p, autrement dit $a^{p-1}-1 \equiv 0[p]$ donc $a^{p-1}\equiv1[p]$
Or $a^{p-1} = a \times a^{p-2}$ donc $a \times a^{p-2}\equiv1[p]$
$a^{p-2}$ est solution de $ax\equiv1[p]$

2. b) r est le reste de la division euclidienne de $a^{p-2}$ par p, donc : $\exists ! r$ tel que $a^{p-2}=kp+r$ , où $k\in\mathbb{N}$ et $0\le r <p$
si $r=0$ alors $a^{p-2}$ est un multiple de p et $a\times a^{p-2}\equiv 0[p]$ . Or $a \times a^{p-2}\equiv 1[p]$ donc $r\neq0$
on a donc $r\neq0$ , donc $r\in A_p$ . On vient de démontrer que $a^{p-2}$ est solution de $ax\equiv1[p]$ donc $a\times a^{p-2}\equiv1[p]$ donc $a(kp+r)\equiv 1[p]$ donc $akp+ar\equiv1[p]$ donc $ar\equiv1[p]$
Donc, on vient de montrer que r est un élément de $A_p$ solution de $ax\equiv1[p]$ .
Réciproquement, soit r un élément de $A_p$ solution de $ax\equiv1[p]$ . On a alors $ar \equiv 1[p]$ , or $a\times a^{p-2}\equiv1[p]$ d'après la question précédente, donc $a\times a^{p-2}-ar\equiv0[p]$ soit $a(a^{p-2}-r)\equiv0[p]$ .
Or p est premier et $0\le a <p$ donc a et p sont premiers entre eux, donc $a^{p-2}-r\equiv0[p]$ donc $a^{p-2}\equiv r[p]$ , or $0\le r<p$ donc par définition, r est le reste de la division euclidienne de $a^{p-2}$ par p.
Conclusion : soit r le reste de la division euclidienne de $a^{p-2}$ par p. r est l'unique élément de $A_p$ solution de $ax\equiv1[p]$

2. c) Si $x$ est un multiple de p alors $xy$ est un multiple de p et $xy \equiv 0[p]$ . De même, si $y$ est un multiple de p alors $xy$ est multiple de p et $xy\equiv0[p]$ . Donc si $x$ est un multiple de p ou $y$ est un multiple de p, alors $xy\equiv0[p]$ .
Réciproquement, soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs tels que $xy\equiv0[p]$ .
Si p ne divise pas $x$ , alors $x\neq0$ et $x$ et p sont premiers entre eux (puisque p est premier). On a alors $p|xy$ et p et $x$ premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, p divise $y$ . $y$ est un multiple de p.
Sinon, p divise $x$ , donc $x$ est un multiple de p.
Conclusion : $\boxed{xy \equiv 0[p] \text{ SSI } x \text{ est un multiple de } p \text{ ou } y \text{ est un multiple de } p}$

2. d) Application à p = 31.
$2\in A_{31}$ donc d'après la question 2.b), l'unique solution de $2x \equiv 1[31]$ dans $A_{31}$ est le reste de la division euclidienne de $a^{p-2} = 2^{29} = 536870912$ par 31, c'est-à-dire 16.
L'unique solution de $2x\equiv1[31]$ dans $A_{31}$ est 16.
$3 \in A_{31}$ donc d'après la question 2.b), l'unique solution de $3x\equiv1[31]$ dans $A_{31}$ est le reste de la division euclidienne de $a^{p-2}=3^{29}$ par 31, c'est-à-dire 21.
L'unique solution de $3x\equiv1[31]$ dans $A_{31}$ est 21.
NB : on a montré que la solution de $ax\equiv1[p]$ dans $A_p$ est unique. On peut également la trouver à tâtons (si on ne dispose pas de calculatrice), en remarquant que :
$32 \equiv 1[32]$ or $32 = 2 \times 16$ avec $16 \in A_{31}$ , donc 16 est l'unique élement de $A_{31}$ solution de $2x\equiv1[31]$
$32\equiv1[31]$ mais 32 n'est pas un multiple de 3 ; $32 + 31 = 63 \equiv 1[31]$ et $63 = 3\ times 21$ donc 21 est l'unique élément de $A_{31}$ solution de $3x\equiv1[31]$

$P(x)=6x^2-5x+1 \\ \Delta=b^2-4ac=25-4\times6\times1=25-24=1 \\ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-1}{12}=\dfrac{1}{3} \text{ et } x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+1}{12}=\dfrac{1}{2}$
Donc $P(x) = 6 \left(x - \dfrac{1}{3} \right) \left(x - \dfrac{1}{2} \right) = (3x - 1)(2x - 1)$
$6x^2-5x+1 \equiv 0[31] \Longleftrightarrow (3x-1)(2x-1)\equiv0[31]$
$\Longleftrightarrow 31|3x-1$ ou $31|2x-1$ (d'après la question 2c)
$\Longleftrightarrow 3x-1 \equiv0[31]$ ou $2x-1\equiv0[31]$
$\Longleftrightarrow 3x\equiv1[31]$ ou $2x\equiv1[31]$
$\Longleftrightarrow x\equiv16[31]$ ou $x\equiv21[31]$ (d'après les résultats précédents)
$\boxed{S=\lbrace x=16+31k \text{ ou } x=21+31k, \, k\in\mathbb{Z}\rbrace }$

exercice 4 - Commun à tous les condidats

1. Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions de la forme : $f(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}, \, C\in\mathbb{R}$ .
Ici, l'équation $(E_0)$ peut s'écrire $y'=-y+1$ donc $a=-1$ et $b=1$ . Les solutions de $(E_0)$ sont donc les fonctions :
$\boxed{f(x)=Ce^{-x}+1,C\in\mathbb{R}}$

2. $f$ solution de $(E) \, \Longleftrightarrow \, f'+(1 + \tan x)f = \cosx$
Or $f(x) = g(x) \cos x$ donc $f'(x) = g'(x) \cos x - g(x) \sin x$ donc :
$f$ solution de $(E)$
$\Longleftrightarrow g' \cos x - g \sin x + (1 + \tan x) g \cos x = \cos x \\ \Longleftrightarrow g' \cos x - g \sin x + g \cos x + g \dfrac{\sin x}{\cos x} \cos x = \cos x \\ \Longleftrightarrow g' \cos x - g \sin x + g \cos x + g \sin x = \cos x \\ \Longleftrightarrow g' \cos x + g \cos x = \cos x$
$\Longleftrightarrow g' + g = 1$ (car $x\in]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ donc $\cos x \neq 0$ )
$\Longleftrightarrow g$ solution de $(E_0)$ .
$\boxed{f \text{ solution de } (E) \text{ SSI } g \text{ solution de } (E_0)}$

3. Soit $f$ la solution cherchée. Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = \dfrac{f(x)}{\cos x}$ sur $]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[$ .
$f$ est solution de (E) donc, d'après la question 2, $g$ est solution de $(E_0)$ donc, d'après la question 1, $g$ s'écrit :
$g(x) = Ce^{-x} + 1$ où C est une constante à déterminer.
Donc $f(x) = g(x) \cos x = (Ce^{-x} + 1) \cos x$ , or $f(0) = 0$ donc $C + 1 = 0$ donc $C = -1$
$\boxed{f(x) = (1-e^{-x}) \cos x}$

Publié par Cel/Aurélien le 20-03-2009

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