Fiche de mathématiques
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Bac Scientifique
Métropole - La Réunion
Session de remplacement Septembre 2007

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L'utilisation de la calculatrice est autorisée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnement entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

Coefficient : 7 (pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité) ou 9 (pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)     Durée : 4 heures
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes.

1. Restitution organisée de connaissances
La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue.
On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d'elles si vraie ou fausse et justifier.
Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1.
    P : Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = x^n ; alors f est dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f' donnée sur \mathbb{R} par : f'(x) = nx^{n-1}.
    Q : Soit u une fonction dérivable sur \mathbb{R} et soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f = u^n ; alors f est dérivable sur \mathbb{R}, de dérivée f' donnée par f' =  nu^{n-1}.

2. On désigne par g la fonction définie sur ] -1 ; 1[ par g(0) = 0 et g'(x) =	\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}g' désigne la dérivée de la fonction g sur ]-1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter g(x).
On considère alors la fonction composée h définie sur ]-\pi ~;~ 0[ par h(x) = g\left(\\cos x\right).
      a) Démontrer que pour tout x de ]-\pi~;~ 0[ on a h'(x) = 1, où h' désigne la dérivée de h.
      b) Calculer h\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) puis donner l'expression de h(x).


6 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. La suite u est définie par : u_{0} = 2 \text{ et } u_{n+1} =	\dfrac{1}{3}u_{n} + \dfrac{23}{27} pour tout entier naturel n.
    a) On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d'équation y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{23}{27} et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.
    b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est \ell = \dfrac{23}{18}.
    c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : u_{n} \geq \dfrac{23}{18}.
     d) Etudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

2. a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que :
\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{10^k} = \frac{1}{90}\left(1 - \frac{1}{10^n}\right) c'est-à-dire que \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + \cdots + \dfrac{1}{10^{n+1}} = \dfrac{1}{90}\left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)

    b) La suite v est définie par v_{n} = 1,2777\ldots7 avec n décimales consécutives égales à 7.
Ainsi v0 = 1,2,   v1 = 1,27   et   v2 = 1,277.
En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c'est-à-dire le quotient de deux entiers).

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.
bac S métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 1



5 points

exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit les nombres complexes : z_{1} = \sqrt{2} +  \text{i}\sqrt{6}, \, z_{2} = 2 + 2\text{i} \quad  \text{ et } \quad  Z = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.
    a) Ecrire Z sous forme algébrique.
    b) Donner les modules et arguments de z_{1} , \, z_{2} \text{ et } Z.
    c) En déduire \cos \dfrac{\pi}{12} \text{ et } \sin \dfrac{\pi}{12}.
    d) Le plan est muni d'un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives z_{1},~ z_{2} \text{ et } Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
     e) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe Z^{2\:007}.


5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. On considère l'ensemble A7 = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
    a) Pour tout élément a de A7, écrire dans le tableau figurant à la fin de l'exercice l'unique élément y de A7 tel que ay \equiv 1 (modulo 7).
    b) Pour x entier relatif, démontrer que l'équation 3x \equiv 5 (modulo 7) équivaut à x \equiv  4 (modulo 7).
    c) Si a est un élément de A7, montrer que les seuls entiers relatifs x solutions de l'équation ax \equiv 0 (modulo 7) sont les multiples de 7.

2. Dans toute cette question, p est un nombre premier supérieur ou égal à 3. On considère l'ensemble Ap = {1 ; 2 ; ... ; p - 1} des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à p. Soit a un élément de Ap.
    a) Vérifier que ap - 2 est une solution de l'équation ax \equiv 1 (modulo p).
    b) On note r le reste dans la division euclidienne de ap - 2 par p. Démontrer que r est l'unique solution x dans Ap, de l'équation ax \equiv  1 (modulo p).
    c) Soient x et y deux entiers relatifs. Démontrer que xy \equiv  0 (modulo p) si et seulement si x est un multiple de p ou y est un multiple de p.
    d) Application : p = 31. Résoudre dans A31 les équations : 2x \equiv 1 (modulo 31) et 3x \equiv 1 (modulo 31). A l'aide des résultats précédents, résoudre dans \mathbb{Z} l'équation 6x^2 - 5x + 1 \equiv 0 (modulo 31).

a 1 2 3 4 5 6
y           6



4 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur \left]-\dfrac{\pi}{2} \, ; \, \dfrac{\pi}{2} \right[ :
    (E) : y' + (1 + \tan x) y = \cos x
   (E0) : y' + y = 1.

1. Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E0).

2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur \left]-\dfrac{\pi}{2} \, ; \, \dfrac{\pi}{2} \right[ et telles que f(x) = g(x) \cos x.
Démontrer que la fonction f est solution de (E) si et seulement si la fonction g est solution de (E0).

3. Déterminer la solution f de (E) telle que f(0) = 0.








exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Restitution organisée des connaissances
P est vraie. Montrons-le par récurrence.
pour n=2 : f(x) = x^2 = x \times x. On suppose connu que la dérivée de x est 1. On utilise la formule de dérivation d'un produit de fonctions : f'(x) = 1 \times x + x \times 1 = 2x = 2x^{2-1}. La propriété est vraie au rang 2.
On suppose que pour n donné, la dérivée de la fonction x^n est nx^{n-1} (la propriété est supposée vraie au rang n). Soit f(x)=x^{n+1}=x\times x^n. En utilisant la formule de dérivation d'un produit de fonctions : f'(x)=1\times x^n+x\times nx^{n-1}=x^n+nx^n=(n+1)x^n=(n+1)x^{(n+1)-1}. La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 2 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n\ge2.

Q est fausse. La vraie propriété est Q' : la dérivée de la fonction u^n est nu'u^{n-1}. Montrons-le par récurrence.
pour n=2 : f=u^2=u\times u. On utilise la formule de dérivation d'un produit de fonctions : f'=u'u+uu'=2u'u=2u'u^{2-1}. La propriété est vraie au rang 2.
On suppose la propriété vraie au rang n. Soit f=u^{n+1}=u\times u^n. Alors, en utilisant le formule de dérivation d'un produit de fonctions : f'=u'\times u^n+u\times nu'u^{n-1}=u'u^n+nu'u^n=(n+1)u'u^n=(n+1)u'u^{(n+1)-1}. La propriété est héréditaire.
La propriété est vraie au rang 2 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n\ge2.

2. a) h = g \circ \cos
Or la dérivée de v \circ u est (v \circ u)' = u' \times (v' \circ u) donc h' = -\sin \times g' \circ \cos
Donc, pour tout x \in ]-\pi,0[, \cos(x) \in ]-1;1[ et h'(x) = -\sin x \times g'(\cos x)
Or g'(\cos x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \cos^2x}} = \dfrac{1}{\sqrt{\sin^2 x}} = \dfrac{1}{|\sin x|}. Or sur ]-\pi,0[ \, , \, \sin x < 0, donc |\sin x| = -\sinx et g'(\cos x) = -\dfrac{1}{\sin x}
D'où h'(x) = -\sin x \times \left(-\dfrac{1}{\sin x} \right) = 1
\boxed{\text{pour tout } x \in ]-\pi;0[ \, , \, h'(x) = 1}

2. b) h \left(-\dfrac{\pi}{2} \right) = g \left(\cos \left(-\dfrac{\pi}{2} \right) \right) = g(0) = 0
\boxed{h \left(-\frac{\pi}{2} \right) = 0}
Pour tout x \in ]-\pi;0[ \, , \, h'(x) = 1 donc h(x) = x+kk est un réel à déterminer.
On a : h\left(-\dfrac{\pi}{2} \right) = 0 donc k = \dfrac{\pi}{2} donc \boxed{h(x) = x + \dfrac{\pi}{2}}




exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a)
bac S métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 2


1. b) Si la suite admet une limite, elle est définie par : \ell = \dfrac{1}{3} \ell + \dfrac{23}{27} \, \Longleftrightarrow \, \dfrac{2}{3} \ell = \dfrac{23}{27} \, \Longleftrightarrow \, \boxed{\ell = \frac{23}{18}}

1. c) Démonstration par récurrence :
pour n = 0, u_0 = 2\ge \dfrac{23}{18}. La propriété est vraie au rang 0.
supposons la propriété vraie au rang n : u_n \ge \dfrac{23}{18}. Alors u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{23}{27}
Or u_n \ge \dfrac{23}{18} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n\ge \dfrac{23}{54} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{3}u_n + \dfrac{23}{27} \ge \dfrac{23}{54} + \dfrac{23}{27} = \dfrac{69}{54} = \dfrac{23}{18} donc u_{n+1}\ge \dfrac{23}{18}. La propriété est héréditaire.
la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout n \ge 0: \boxed{\forall n\ge0,u_n\ge \frac{23}{18}}

1. d) \forall n\ge0,u_{n+1}-u_n = \dfrac{1}{3}u_n+\dfrac{23}{27}-u_n=\dfrac{23}{27}-\dfrac{2}{3}u_n
Or u_n\ge \dfrac{23}{18} donc -\dfrac{2}{3}u_n\le -\dfrac{23}{27} donc \dfrac{23}{27}-\dfrac{2}{3}u_n\le 0. On a donc u_{n+1}-u_n\le 0 soit u_{n+1}\le u_n. La suite est décroissante.
La suite est décroissante et minorée par \dfrac{23}{27}. Elle admet donc une limite. Or on a montré que la limite ne pouvait être que \dfrac{23}{18}. La limite de la suite est donc \dfrac{23}{18}.

2. a) On a : S = \dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} + ... +\dfrac{1}{10^{n+1}} = \dfrac{1}{10^2} \left(1+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10^2}+ ... + \dfrac{1}{10^{n-1}}\right)
On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique de raison \dfrac{1}{10} : 1+q+q^2+...+q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}
Donc : S = \dfrac{1}{10^2} \times \left(\dfrac{1-\dfrac{1}{10^n}}{1-\dfrac{1}{10}} \right) = \dfrac{1}{10^2} \times \left(\dfrac{1-\dfrac{1}{10^n}}{\dfrac{9}{10}} \right) = \dfrac{1}{10^2} \times \dfrac{10}{9} \times \left(1 - \dfrac{1}{10^n} \right) = \dfrac{1}{90} \times \left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)
\boxed{\forall n\ge1, \sum_{k=2}^{n+1} \left(\dfrac{1}{10^k}\right) = \dfrac{1}{90} \left(1 - \dfrac{1}{10^n} \right)}

2. b) v_0 = 1,2
v_1 = 1,27 = 1,2 + 7\dfrac{1}{10^2} \\ v_2 = 1,277 = 1,2 + 7 \left(\dfrac{1}{10^2} + \dfrac{1}{10^3} \right) \\ ... \\\ v_n = 1,27777... = 1,2 + 7 \left(\dfrac{1}{10^2} + ... + \dfrac{1}{10^n} \right) = 1,2 + 7 \displaystyle \sum_{k=2}^{n+1} \left(\dfrac{1}{10^k}\right) = 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{90} \left(1 - \dfrac{1}{10^n}\right)
Donc \displaystyle \lim_{n\to+\infty} v_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} 1,2 + 7 \times \dfrac{1}{90} \left(1 - \dfrac{1}{10^n} \right) = 1,2 + \dfrac{7}{90} = \dfrac{12}{10} + \dfrac{7}{90} = \dfrac{115}{90} = \dfrac{23}{18}
La limite de la suite (vn) est donc un nombre rationnel.

3. (un) est une fonction décroissante et sa limite est \dfrac{23}{18}.
Pour tout n\ge0, v_{n+1}-v_n=7\dfrac{1}{10^{n+1}} > 0 donc (vn) est une suite croissante et sa limite est \dfrac{23}{18}.
Donc les suites (un) et (vn) sont adjacentes.




exercice 3 - Candidats n'ayant pas suivi l'option de spécialité

a) Z = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}{2+2i} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}{1+i} \\ = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{(\sqrt2 + i\sqrt6)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{(\sqrt2+i\sqrt6-i\sqrt2+\sqrt{6})}{2} \\ = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}+i\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}
\boxed{Z = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}

b) z_1 = \sqrt2+i\sqrt6 donc |z_1| = |\sqrt2+i\sqrt6|=\sqrt{2+6}=\sqrt8=2\sqrt2 donc \boxed{|z_1|=2\sqrt2}
et z_1 = 2\sqrt2 \dfrac{\sqrt2+i\sqrt6}{2\sqrt2} = 2\sqrt2 \left(\dfrac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2} \right) = 2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}} donc \boxed{\arg(z_1)=\frac{\pi}{3}}
z_2 = 2+2i donc |z_2|=|2+2i|=\sqrt{4+4}=\sqrt8=2\sqrt2 donc \boxed{|z_2| = 2\sqrt2}
et z_2 = 2\sqrt2 \dfrac{2+2i}{2\sqrt2} = 2\sqrt2 \left(\dfrac{\sqrt2}{2} + i\dfrac{\sqrt2}{2} \right)=2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4} donc \boxed{\arg(z_2) = \frac{\pi}{4}}
On a donc : z_1 = 2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3} et z_2=2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4} donc Z = \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}}}{2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{4}}} = \dfrac{e^{i\frac{\pi}{3}}}{e^{i\frac{\pi}{4}}}=e^{i(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})}=e^{i\frac{\pi}{12}}= \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{12} \right)
Donc : \boxed{|Z|=1}   et   \boxed{\arg(Z) = \frac{\pi}{12}}.

c) On a : Z = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}+i\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4} = \cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + i \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) donc :
\boxed{\cos \left(\frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4} \text{ et } \sin \left(\frac{\pi}{12} \right) = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}}

d) Méthode pour placer les points A, B et C :
- on place le point B de coordonnées (2 ; 2) car z_B = z_2 = 2+2 i
- on trace le cercle C1 de centre O qui passe par B ; ce cercle a pour rayon |z_2| = 2 \sqrt2
- on trace le cercle C2 de centre O et de rayon 1 ;
- sur le cercle C2, on place le point D d'abscisse \dfrac{1}{2}, ainsi la droite (OD) fait un angle de \dfrac{\pi}{3} (60°) avec l'axe des abscisses (car \cos \dfrac{\pi}{3} = d\frac{1}{2}) ;
- Le point A se trouve à l'intersection du cercle C1 et de la droite (OD) car |z_A| = |z_1| = 2\sqrt 2 et \arg(z_1) = \dfrac{\pi}{3} ;
- sur le cercle C2, on place le point E d'ordonnée \dfrac{1}{2}, ainsi la droite (OE) fait un angle de \dfrac{\pi}{6} (30°) avec l'axe des abscisses (car \sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}) ; on peut aussi obtenir cette droite en traçant la bissectrice entre l'axe des abscisses et la droite (OD) ;
- on trace la bissectrice entre l'axe des abscisses et la droite (OE) : cette droite fait donc un angle de \dfrac{\pi}{12} avec l'axe des abscisses ;
- le point C se trouve à l'intersection de cette dernière droite et du cercle C2 car |z_C| = |Z| = 1 et \arg(Z) = \dfrac{\pi}{12}.
bac S métropole et La Réunion septembre 2007 - terminale : image 3


e) Z = e^{i\frac{\pi}{12}} donc Z^{2007} = e^{i\frac{\pi}{12}\times2007} = \cos \left(\dfrac{2007\pi}{12} \right) + i\sin \left(\dfrac{2007\pi}{12} \right).
Or \dfrac{2007\pi}{12}=166\pi+\dfrac{15\pi}{12}\equiv \dfrac{15\pi}{12} \equiv \dfrac{5\pi}{4}[2\pi]
Donc Z^{2007} = \cos \left(\dfrac{5\pi}{4} \right) + i \sin \left(\dfrac{5\pi}{4} \right) = -\dfrac{\sqrt2}{2} - i\dfrac{\sqrt2}{2}
\boxed{Z^{2007} = -\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}}




exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a) 1 \times 1 = 1 \equiv 1[7] ; 2\times4=8\equiv1[7] ; 3\times5=15\equiv1[7] ; 6\times6=36\equiv1[7]
D'où le tableau complété :
a 1 2 3 4 5 6
y 1 4 5 2 3 6


1. b) 3x \equiv5[7][ \Longleftrightarrow 3x\equiv12[7] \Longleftrightarrow x \equiv 4[7]

1. c) Si ax \equiv 0[7] alors 7|ax. Or pour tout élément a de A7, a et 7 sont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss : 7|x. x est donc un multiple de 7.
Réciproquement, si x est un multiple de 7 alors ax est un multiple de 7 et ax \equiv 0[7].
Donc : \boxed{ax\equiv 0[7] \text{ si et seulement si } x \text{ est un multiple de 7}}

2. a) Pour tout a\in A_p, p est un nombre premier et a est positif strictement inférieur à p, donc a n'est pas un multiple de p.
D'après le petit théorème de Fermat, a^{p-1}-1 est un multiple de p, autrement dit a^{p-1}-1 \equiv 0[p] donc a^{p-1}\equiv1[p]
Or a^{p-1} = a \times a^{p-2} donc a \times a^{p-2}\equiv1[p]
a^{p-2} est solution de ax\equiv1[p]

2. b) r est le reste de la division euclidienne de a^{p-2} par p, donc : \exists ! r tel que a^{p-2}=kp+r, où k\in\mathbb{N} et 0\le r <p
si r=0 alors a^{p-2} est un multiple de p et a\times a^{p-2}\equiv 0[p]. Or a \times a^{p-2}\equiv 1[p] donc r\neq0
on a donc r\neq0, donc r\in A_p. On vient de démontrer que a^{p-2} est solution de ax\equiv1[p] donc a\times a^{p-2}\equiv1[p] donc a(kp+r)\equiv 1[p] donc akp+ar\equiv1[p] donc ar\equiv1[p]
Donc, on vient de montrer que r est un élément de A_p solution de ax\equiv1[p].
Réciproquement, soit r un élément de A_p solution de ax\equiv1[p]. On a alors ar \equiv 1[p], or a\times a^{p-2}\equiv1[p] d'après la question précédente, donc a\times a^{p-2}-ar\equiv0[p] soit a(a^{p-2}-r)\equiv0[p].
Or p est premier et 0\le a <p donc a et p sont premiers entre eux, donc a^{p-2}-r\equiv0[p] donc a^{p-2}\equiv r[p], or 0\le r<p donc par définition, r est le reste de la division euclidienne de a^{p-2} par p.
Conclusion : soit r le reste de la division euclidienne de a^{p-2} par p. r est l'unique élément de A_p solution de ax\equiv1[p]

2. c) Si x est un multiple de p alors xy est un multiple de p et xy \equiv 0[p]. De même, si y est un multiple de p alors xy est multiple de p et xy\equiv0[p]. Donc si x est un multiple de p ou y est un multiple de p, alors xy\equiv0[p].
Réciproquement, soient x et y deux entiers relatifs tels que xy\equiv0[p].
Si p ne divise pas x, alors x\neq0 et x et p sont premiers entre eux (puisque p est premier). On a alors p|xy et p et x premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, p divise y. y est un multiple de p.
Sinon, p divise x, donc x est un multiple de p.
Conclusion : \boxed{xy \equiv 0[p] \text{ SSI } x \text{ est un multiple de } p \text{ ou } y \text{ est un multiple de } p}

2. d) Application à p = 31.
2\in A_{31} donc d'après la question 2.b), l'unique solution de 2x \equiv 1[31] dans A_{31} est le reste de la division euclidienne de a^{p-2} = 2^{29} = 536870912 par 31, c'est-à-dire 16.
L'unique solution de 2x\equiv1[31] dans A_{31} est 16.
3 \in A_{31} donc d'après la question 2.b), l'unique solution de 3x\equiv1[31] dans A_{31} est le reste de la division euclidienne de a^{p-2}=3^{29} par 31, c'est-à-dire 21.
L'unique solution de 3x\equiv1[31] dans A_{31} est 21.
NB : on a montré que la solution de ax\equiv1[p] dans A_p est unique. On peut également la trouver à tâtons (si on ne dispose pas de calculatrice), en remarquant que :
32 \equiv 1[32] or 32 = 2 \times 16 avec 16 \in A_{31}, donc 16 est l'unique élement de A_{31} solution de 2x\equiv1[31]
32\equiv1[31] mais 32 n'est pas un multiple de 3 ; 32 + 31 = 63 \equiv 1[31] et 63 = 3\ times 21 donc 21 est l'unique élément de A_{31} solution de 3x\equiv1[31]

P(x)=6x^2-5x+1 \\ \Delta=b^2-4ac=25-4\times6\times1=25-24=1 \\ x_1 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5-1}{12}=\dfrac{1}{3} \text{ et } x_2 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}=\dfrac{5+1}{12}=\dfrac{1}{2}
Donc P(x) = 6 \left(x - \dfrac{1}{3} \right) \left(x - \dfrac{1}{2} \right) = (3x - 1)(2x - 1)
6x^2-5x+1 \equiv 0[31] \Longleftrightarrow (3x-1)(2x-1)\equiv0[31]
\Longleftrightarrow  31|3x-1 ou 31|2x-1 (d'après la question 2c)
\Longleftrightarrow  3x-1 \equiv0[31] ou 2x-1\equiv0[31]
\Longleftrightarrow  3x\equiv1[31] ou 2x\equiv1[31]
\Longleftrightarrow  x\equiv16[31] ou x\equiv21[31] (d'après les résultats précédents)
\boxed{S=\lbrace x=16+31k \text{ ou } x=21+31k, \, k\in\mathbb{Z}\rbrace }




exercice 4 - Commun à tous les condidats

1. Les solutions de l'équation différentielle y'=ay+b sont les fonctions de la forme : f(x)=Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}, \, C\in\mathbb{R}.
Ici, l'équation (E_0) peut s'écrire y'=-y+1 donc a=-1 et b=1. Les solutions de (E_0) sont donc les fonctions :
\boxed{f(x)=Ce^{-x}+1,C\in\mathbb{R}}

2. f solution de (E) \, \Longleftrightarrow \, f'+(1 + \tan x)f = \cosx
Or f(x) = g(x) \cos x donc f'(x) = g'(x) \cos x - g(x) \sin x donc :
f solution de (E)
\Longleftrightarrow g' \cos x - g \sin x + (1 + \tan x) g \cos x = \cos x \\ \Longleftrightarrow g' \cos x - g \sin x + g \cos x + g \dfrac{\sin x}{\cos x} \cos x = \cos x \\ \Longleftrightarrow g' \cos x - g \sin x + g \cos x + g \sin x = \cos x \\ \Longleftrightarrow g' \cos x + g \cos x = \cos x
\Longleftrightarrow g' + g = 1 (car x\in]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[ donc \cos x \neq 0)
\Longleftrightarrow g solution de (E_0).
\boxed{f \text{ solution de } (E) \text{ SSI } g \text{ solution de } (E_0)}

3. Soit f la solution cherchée. Soit g la fonction définie par g(x) = \dfrac{f(x)}{\cos x} sur ]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}[.
f est solution de (E) donc, d'après la question 2, g est solution de (E_0) donc, d'après la question 1, g s'écrit :
g(x) = Ce^{-x} + 1C est une constante à déterminer.
Donc f(x) = g(x) \cos x = (Ce^{-x} + 1) \cos x, or f(0) = 0 donc C + 1 = 0 donc C = -1
\boxed{f(x) = (1-e^{-x}) \cos x}
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