Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Asie - Session Juin 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.
Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les QUATRE exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fause et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si $f$ est la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x) = \sin^2 x$ , alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel $x$ , $f '(x) = \sin 2x$ .

2. Soit $f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si $f(-1) = -f(1)$ , alors : $\displaystyle\int_{-1}^{1} tf'(t)\:\text{d}t = - \displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\:\text{d}t$ .

3. Soit $f$ une fonction définie et continue sur l'intervalle [0 ; 3].
Si $\displaystyle\int_{0}^{3} f(t) \text{d}t \le \displaystyle\int_{0}^{3} g(t) \text{d}t$ , alors pour tout nombre réel $x$ appartenant à [0 ; 3] : $f (x) \le g(x)$ .

4. Si $f$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y + 2$ et si $f$ n'est pas une fonction constante, alors la représentation de $f$ dans un repère du plan, n'admet aucune tangente parallèle à l'axe des abscisses.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . L'unité graphique est 4 cm.
Soit $\lambda$ un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit, pour tout entier naturel $n$ , la suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes par : $\left\lbrace\begin{array}{l c l} z_{0}&=&0 \\ z_{n+1}&=&\lambda \cdot z_{n} + \text{i} \end{array}\right.$ On note $M_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ .

1. Calcul de $z_{n}$ en fonction de $n$ et de $\lambda$ .
    a) Vérifier les égalités : $z_{1} = \text{i}~ ;~ z_{2} = (\lambda + 1)\text{i}~ ;~ z_{3} = (\lambda^2 +\lambda + 1)\text{i}$ .
    b) Démontrer que, pour tout entier $n$ positif ou nul : $z_{n} = \dfrac{\lambda^n - 1}{\lambda - 1}\cdot \text{i}$ .

2. Etude du cas $\lambda = \text{i}$ .
    a) Montrer que $z_{4} = 0$ .
    b) Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $z_{n+4}$ en fonction de $z_{n}$ .
    c) Montrer que $M_{n+1}$ est l'image de $M_{n}$ par une rotation dont on précisera le centre et l'angle.
    d) Représenter les points $M_{0}~, M_{1},~ M_{2},~ M_{3}$ et $M_{4}$ dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .

3. Caractérisation de certaines suites $\left(z_{n}\right)$ .
    a) On suppose qu'il existe un entier naturel $k$ tel que $\lambda^k=1$ .
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a l'égalité : $z_{n+k}= z_{n}$ .
    b) Réciproquement, monter que s'il existe un entier naturel $k$ tel que, pour tout entier naturel $n$ on ait l'égalité $z_{n+k}= z_{n}$ alors : $\lambda^k = 1$ .

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Le but de cet exercice est d'étudier une même configuration géométrique à l'aide de deux méthodes différentes.

I - A l'aide des nombres complexes, sur un cas particulier

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . L'unité graphique est 1 cm.

1. On considère les points A et B d'affixes respectives 10 et 5i.
    a) Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $s$ qui transforme O en A et B en O.
    b) Déterminer les éléments caractéristiques de $s$ . On note $\Omega$ son centre.
    c) Déterminer le point $s \circ s(\text{B})$ ; en déduire la position du point $\Omega$ par rapport aux sommets du triangle ABO.

2. On note $\mathcal{D}$ la droite d'équation $x - 2y = 0$ , puis A' et B' les points d'affixes respectives 8+4i et 2+i.
    a) Démontrer que les points A' et B' sont les projetés orthogonaux respectifs des points A et de B sur la droite $\mathcal{D}$ .
    b) Vérifier que $s$ (B') =A'.
    c) En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre $\left[\text{A}'\text{B}'\right]$ .

II - A l'aide des propriétés géométriques des similitudes

OAB est un triangle rectangle en O tel que $\left(\overrightarrow{\text{OA}},~\overrightarrow{\text{OB}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ .

1. On note encore $s$ est la similitude directe telle que $s$ (O) = A et $s$ (B) = O. Soit $\Omega$ son centre.
    a) Justifier le fait que l'angle de $s$ est égal à $\dfrac{\pi}{2}$ .
    b) Démontrer que $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [OA]. (On admet de même que $\Omega$ appartient aussi au cercle de diamètre [OB].)
En déduire que $\Omega$ est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.

2. On désigne par $\mathcal{D}$ une droite passant par O, distincte des droites (OA) et (OB).
On note A' et B' les projetés othogonaux respectifs des points A et B sur la droite $\mathcal{D}$ .
    a) Déterminer les images des droites (BB') et $\mathcal{D}$ par la similitude $s$ .
    b) Déterminer le point $s$ (B').
    c) En déduire que le point $\Omega$ appartient au cercle de diamètre [A'B']

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation.
Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que :
    92 % des jouets sont sans défaut de finition ;
    parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;
    2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :
    F l'évènement : « le jouet est sans défaut de finition »;
    S l'évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».

1. Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation.
    a) Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités.
    b) Démontrer que $p_{\overline{\text{F}}}\left(\overline{\text{S}}\right) = \dfrac{1}{4}$ .
    c) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation.

2. Calcul de probabilités.
    a) Démontrer que $p(\text{S}) = 0,934$ .
    b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition (on donnera le résultat arrondi au millième).

3. Etude d'une variable aléatoire $B$ .
Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 €, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 €.
On désigne par $B$ la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.
    a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $B$ .
    b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $B$ .

4. Etude d'une nouvelle variable aléatoire.
On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 10 jouets.
On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise.

Calculer la probabilité qu'au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité.

7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On désigne par $a$ un réel strictement positif et différent de 1.
On se propose de rechercher, dans l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [, les solutions de l'équation $E_{a} : x^a = a^x$ .

I - Etude de quelques cas particuliers

1. Vérifier que les nombres 2 et 4 sont solutions de l'équation $E_{2}$ .
2. Vérifier que le nombre $a$ est toujours solution de l'équation $E_{a}$ .
3. On se propose de démontrer que $e$ est la seule solution de l'équation $E_{\text{e}}$ .
On note $h$ la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $h(x) = x - \text{e}\ln x$ .
    a) Question de cours :
On rappelle que lorsque $t$ tend vers $+\infty$ , alors $\dfrac{\text{e}^t}{t}$ tend vers $+\infty$ .
Démontrer que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ .
    b) Déterminer les limites de $h$ en 0 et $+\infty$ .
    c) Etudier les variations de $h$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
    d) Dresser le tableau des variations de $h$ et conclure quant aux solutions de l'équation $E_{\text{e}}$ .

II - Résolution de l'équation $E_{a}$

1. Soit $x$ un réel strictement positif. Montrer que $x$ est solution de l'équation $E_{a}$ si et seulement si $x$ est solution de l'équation : $\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\ln a}{a}$ .

2. On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = \dfrac{\ln x}{x}$ .
    a) Déterminer les limites de $f$ en 0 et $+\infty$ . Donner une interprétation graphique de ces deux limites.
    b) Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.
    c) Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ .
    d) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ . (Unité : 2 cm).

3. Justifier à l'aide des résultats précédents les propositions $(P_{1})$ et $(P_{2})$ suivantes :
    $(P_{1})$ : si $a \in ]0~;~1]$ , alors $E_{a}$ admet l'unique solution $a$ ;
    $(P_{2})$ : si $a \in ]1~;~\text{e}[~ \cup~ ]\text{e}~; ~+ \infty[$ , alors $E_{a}$ admet deux solutions $a$ et $b$ , l'une appartenant à l'intervalle $]1~;~\text{e}[$ et l'autre appartenant à l'intervalle $]\text{e}~; ~+ \infty[$ .

Publié par Pascal/dandave le 30-11--0001

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