Baccalauréat Scientifique
Antilles Guyane - Session de remplacement Septembre 2007
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisé.
Le sujet est composé de QUATRE exercices indépendants.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
Une urne contient 15 boules identiques indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge.
On sait de plus qu'il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l'urne.
On tire au hasard simultanément 2 boules dans l'urne et on note leur couleur.
Soit l'évènement G : « obtenir deux boules de même couleur ».
Partie A
On suppose que l'urne contient 3 boules noires et 7 boules banches.
Calculer la probabilité de l'évènement G.
Partie B
On note , et le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges figurant dans l'urne.
1. On note la probabilité en fonction de , et de l'évènement G.
Démontrer que .
2. Le but de cette question est de déterminer , et afin que la probabilité soit minimale.
L'espace est muni d'un repère orthonormal.
Soient les points N, B et R de coordonnées respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15) et soit le point de coordonnées . On pourra se rapporter à la figure ci-dessous.
a) Justifier qu'une équation cartésienne du plan (NBR) est .
b) En déduire que le point est un point du plan (NBR).
c) Démontrer que .
d) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H.
e) En déduire les valeurs de , et afin que la probabilité soit minimale. Justifier que cette probabilité minimale est égale à .
Partie C
On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l'organisateur d'un jeu, de telle sorte que la probabilité de l'évènement G soit .
Un joueur mise euros, avec entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l'urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ.
S'il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit fois le montant de sa mise, avec nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien.
On note la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1. Calculer l'espérance E() de la variable en fonction de et de .
2. Déterminer la valeur de pour laquelle le jeu est équitable.
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. Déterminer le nombre complexe tel que
2. Pour tout nombre complexe , on pose .
Montrer que s'écrit sous la forme .
En déduire les solutions sous forme algébrique de l'équation .
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé , unité graphique : 5 cm.
1. On considère les points A et B d'affixes respectives et .
Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.
Montrer que , en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que .
2. On considère le point C d'affixe . Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que
On pourra conjecturer l'affixe de D à l'aide de la figure pour traiter la question suivante.
3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle et les affixes respectives des vecteurs et . Prouver que : .
4. Donner une mesure en radians de l'angle
5. Prouver que .
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].
On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c'est un carré.
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
ABC est un triangle équilatéral tel que .
Soit un nombre réel fixe et soient les points M, N et P, deux à deux distincts, définis par :
.
Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une unique similitude directe qui transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P, et d'en préciser les éléments caractéristiques.
On munit le plan d'un repère orthonormal direct.
On note et , les affixes respectives des points A, B, C, M, N et P.
1. On rappelle que toute similitude conserve le barycentre.
a) Exprimer et en fonction de et .
b) En déduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité.
On notera G ce centre de gravité.
c) On suppose que existe. Déterminer l'image de G par .
2. On considère la rotation de centre G et d'angle .
a) Vérifier que M est le barycentre du système de points , et en déduire que .
On admet de même que et .
b) Soit , la similitude directe de centre G de rapport et d'angle .
Montrer qu'elle transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P.
c) Conclure sur l' existence et l'unicité de .
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Question de cours
Soit I un intervalle de .
Soient et deux fonctions continues, dérivables sur I telles que et soient continues sur I.
Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I.
Partie A
Soit une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ; 1].
On note la fonction dérivée de .
On suppose que est continue sur l'intervalle [0 ; 1].
1. Utiliser la question de cours pour montrer que :
.
2. En déduire que .
Partie B
On désigne par la fonction logarithme nepérien.
Soit la fonction définie sur l'intervalle ]- 2 ; 2[ par .
Soit la courbe représentative de sur l'intervalle ]- 2 ; 2[ dans un repère orthonormal d'unité graphique 2 cm.
1. Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition.
2. a) Montrer que pour tout réel de l'intervalle ]- 2 ; 2[ on a .
b) En déduire les variations de sur l'intervalle ]- 2 ; 2[.
Partie C
La courbe est tracée ci-dessous.
Hachurer sur ci-dessous la partie du plan constituée des points M( ; ) tels que :
.
En utilisant la partie A, calculer en cm2 l'aire de .
4 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Soit une suite.
On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
Partie A (3 points)
Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte.
Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie.
Une bonne réponse donne 0,75 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point et l'absence de réponse est comptée 0 point.
Tout total négatif est ramené à zéro.
1. est un réel strictement positif et désigne la fonction logarithme népérien.
Si alors :
a)
b)
c)
d)
2. Si est strictement croissante, alors :
a) est strictement décroissante et majorée par 2
b) est strictement croissante et minorée par 1
c) est strictement croissante et majorée par 2
d) est strictement décroissante et minorée par 1
3. Si diverge vers , alors :
a) converge vers 2
b) diverge vers
c) converge vers 1
d) converge vers un réel tel que
4. Si est majorée par 2, alors :
a) est majorée par
b) est minorée par
c) est majorée par
d) est minorée par
Partie B (1 point)
Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a .
Publié par TP/dandave
le
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