Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Polynésie Française - Session de remplacement Septembre 2007

Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

7 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On désigne par (E) l'ensemble des fonctions $f$ continues sur l'intervalle [0 ; 1] et vérifiant les conditions ( $P_{1}$ ), ( $P_{2}$ ) et ( $P_{3}$ ) suivantes :
    ( $P_{1}$ ) : $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
    ( $P_{2}$ ) : $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$ .
    ( $P_{3}$ ) : pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1], $f(x) \le x$ .

Dans un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ du plan, on note ( $\mathcal{C}_{f}$ ) la courbe représentative d'une fonction $f$ de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation $y = x$ .

À toute fonction $f$ de (E), on associe le nombre réel $I_{f}= \displaystyle\int_{0}^1 [x - f(x)] \text{d}x$ .

1. a) Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E).
La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres.

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    b) Montrer que, pour toute fonction $f$ de (E), $I_{f} \ge 0$ .

2. Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $h(x) = 2^x - 1$ .
(On rappelle que, pour tout $x$ réel, $2^x = \text{e}^{x\ln 2}$ ).
    a) Montrer que la fonction $h$ vérifie les conditions ( $P_{1}$ ) et ( $P_{2}$ ).
    b) Soit $\varphi$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $\varphi(x) = 2^x - x - 1$ .
Montrer que, pour tout $x$ de [0 ; 1], $\varphi(x) \le 0$ . (On pourra étudier le sens de variation de la fonction $\varphi$ sur [0 ; 1]).
En déduire que la fonction $h$ appartient à l'ensemble (E).
    c) Montrer que le réel $I_{h}$ associé à la fonction $h$ est égal à $\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{\ln 2}$ .

3. Soit $P$ une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par $P(x)=ax^2 +b x+ c$ où $a$ , $b$ et $c$ sont trois nombres réels tels que $0 < a < 1$ .
On se propose de déterminer les valeurs des réels $a$ , $b$ et $c$ pour que la fonction $P$ appartienne à l'ensemble (E) et que $I_{p} = I_{h}$ .
    a) Montrer que la fonction $P$ vérifie la propriété ( $P_{2}$ ) si et seulement si, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1], $P(x) = ax^2 +(1 - a)x$ .
Montrer que toute fonction $P$ définie sur [0 ; 1] par $P(x)=ax^2 +(1 - a)x$ avec $0 < a < 1$ appartient à (E).
    b) Exprimer en fonction de $a$ le réel $I_{P}$ associé à la fonction $P$ .
    c) Montrer qu'il existe une valeur du réel $a$ pour laquelle $I_{P} = I_{h}$ .
Quelle est cette valeur ?

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3.

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On choisit le repère orthonormal $\left(\text{D}~;~\vec{\i},~\vec{\j},~\vec{k}\right)$ tel que $\vec{\i} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DA}}, \vec{\j} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DC}}$ et $\vec{k} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DH}}$ .

1. a) Donner les coordonnées des points A, C et E.
    b) Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système {(C ; 2) , (E ; 1)}.
    c) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{DL}}$ .

2. Soit $(a , b)$ un couple de réels. On note M le point de la droite (AE) tel que $\overrightarrow{\text{AM}} = a\overrightarrow{\text{AE}}$ et N le point de la droite (DL) tel que $\overrightarrow{\text{DN}} = b\overrightarrow{\text{DL}}$ .
    a) Montrer que le vecteur $\overrightarrow{\text{MN}}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{DL}}$ si et seulement si le couple $(a , b)$ vérifie le système $\left\lbrace\begin{array}{l c l}- a + 2b& =&1 \\ 3a - b& =& 0 \end{array}\right.$
    b) En déduire qu'il existe un seul point M₀ de (AE) et un seul point N₀ de (DL) tels que la droite (M₀N₀) est orthogonale aux droites (AE) et (DL).
    c) Déterminer les coordonnées des points M₀ et N₀ puis calculer la distance M₀N₀.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes :
40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.
On admet qu'au début de chaque année :
    chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
    chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
    chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.

La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu'elle le soit par une plante de type B est 0,3.
La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu'elle le soit par une plante de type A est 0,3.

Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note:
    $A_{n}$ l'évènement « la plante choisie la $n$ -ième année est de type A »,
    $B_{n}$ l'évènement « la plante choisie la $n$ -ième année est de type B »,
    $C_{n}$ l'évènement « la plante choisie la $n$ -ième année est de type C ».
On désigne par $p_{n}$ , $q_{n}$ et $r_{n}$ les probabilités respectives des événements $A_{n}$ , $B_{n}$ et $C_{n}$ .

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Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année n°0) on pose :
$p_{0}$ = 0,40, $q_{0}$ = 0,41 et $r_{0}$ = 0,19.

1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.

2. a) Montrer que $p_{1}$ = 0,363 puis calculer $q_{1}$ et $r_{1}$ .
    b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul,
$\left\lbrace\begin{array}{l c l} p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n} \\ q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n} \end{array}\right.$

3. On définit les suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ sur $\mathbb{N}$ par
$S_{n} = q_{n} + p_{n}$ et $D_{n} = q_{n} - p_{n}$ .
    a) Montrer que $\left(S_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
On admet que $\left(D_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,3.
    b) Déterminer les limites des suites $\left(S_{n}\right)$ et $\left(D_{n}\right)$ .
    c) En déduire les limites des suites $\left(p_{n}\right)$ , $\left(q_{n}\right)$ et $\left(r_{n}\right)$ .
Interpréter le résultat.

5 points

exercice 4 - Épreuve de spécialité

Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
On considère un triangle OAB et une similitude directe $\sigma$ de centre O, de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$ .
Soit :
    les points A' et B', images respectives des points A et B par la similitude $\sigma$ ;
    les points I, milieu du segment [A'B] et J, milieu du segment [AB'] ;
    le point M milieu du segment [AA'] ;
    le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H' image du point H par la similitude $\sigma$ .

Partie A. Étude d'un exemple

Dans cette partie, le point A a pour affixe -6 + 4i, le point B a pour affixe 2 + 4i, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe 4i.
La similitude $\sigma$ est la similitude directe de centre O, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. Déterminer les affixes des points A', B' et H'.

2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH').

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Partie B. Étude du cas général

1. a) Montrer que H' est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A'B').
    b) Montrer que $\overrightarrow{\text{MI}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AB}}$ . On admet que $\overrightarrow{\text{MJ}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{A}'\text{B}'}$ .
    c) En déduire que $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$ et que $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) = \left(\overrightarrow{\text{OH}},\overrightarrow{\text{OH}'}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \mathbb{Z}$ .

2. On appelle $s$ la similitude directe qui transforme M en O et I en H.
On note K l'image du point J par la similitude $s$ .
    a) Montrer que OK= OH', puis que $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) =\left(\overrightarrow{\text{OH}},\overrightarrow{\text{OK}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \mathbb{Z}$ .
    b) En déduire que le point H' est l'image du point J par la similitude $s$ .
3. Montrer que $\left(\overrightarrow{\text{IJ}},\overrightarrow{\text{HH}'}\right) = \left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{OH}}\right) + k\times 2\pi,~ k \in \mathbb{Z}$ .
Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH').

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Voir la correction

exercice 1

1. a) La proposition $(P_3)$ veut dire géométriquement que : $\text{ Sur l'intervalle [0 ; 1], la courbe } (\mathcal{C}_f) \text{ représentative de la fonction }f \text{ est en-dessous de la droite (D) d'équation }y=x$
Cette proposition n'est vérifiée ni par la courbe $n°2$ ni par la courbe $n°3$ .
$\boxed{\text{ La courbe qui représente donc une fonction de l'ensemble (E) est la courbe n°1 }}$
1. b) Soit $f$ une fonction de l'ensemble $(E)$ , on a:
$f$ est continue sur l'intervalle $[0 ; 1]$
Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 1]$ , $0 \le x-f(x)$
Donc, l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \left[x-f(x)\right] \text{d}x$ est positive, il s'ensuit que $I_f\ge 0$
On conclut que: $\boxed{\forall f\in (E)\text{ : } I_f\ge 0 }$
2. a) Pour tout $x$ de $[0;1]\text{ : }$ $h(x)=2^x-1=\text{e}^{x\ln 2}-1$
Puisque les deux fonctions $x\mapsto \ln (2) x \text{ et } x\mapsto e^x-1$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ , donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ par composition, il s'ensuit que $h$ est dérivable sur $[0;1]$
On a donc: $\forall x \in[0;1]\text{ : }h'(x)=\left(\text{e}^{x\ln 2}-1\right)'=(x\ln 2)'\text{e}^{x\ln 2}=\boxed{\ln (2)\text{e}^{x\ln 2}}$
On sait que $\forall x \in [0;1]\text{ : } \text{e}^{x\ln 2}>0$
On en tire que $\forall x\in[0;1]\text{ : } h'(x)>0$
Donc: $h \text{ est une fonction strictement croissante sur l'intervalle } [0;1] \text{ et la propriété } (P_1) \text{ est vérifiée. }\red{(I)}$
D'autre part: $\begin{cases} h(0)=\text{e}^{0\times\ln 2}-1=1-1=0 \\h(1)=\text{e}^{1\times\ln 2}-1=\text{e}^{\ln 2}-1=2-1=1\end{cases}\text{ et donc la propriété } (P_2) \text{ est vérifiée } \red{(II)}$
De $\red{(I)} \black{\text{ et }} \red{(II)}$ : $\boxed{\text{ La fonction }h \text{ vérifie les conditions } (P_{1}) \text{ et } (P_{2})}$
2. b) Pour tout $x$ de $[0;1] \text{ : }$ $\varphi (x)= 2^x - x - 1=h(x)-x$
Les fonctions $h$ et $x\mapsto x$ sont dérivables sur $[0;1]$ , il en est alors de même pour la fonction $\varphi$ .
Et on peut écrire: $\forall x\in[0;1]\text{ : }\varphi'(x)=(h(x)-x)'=h'(x)-1=\boxed{\ln (2)\text{e}^{x\ln 2}-1}$
1re méthode :
Résolvons l'inéquation $\varphi'(x)\le 0$ sur l'intervalle $[0;1]$
$\varphi'(x)\le 0\Longleftrightarrow \ln (2)\text{e}^{x\ln 2}-1 \le 0 \Longleftrightarrow \text{e}^{x\ln 2}\le \dfrac{1}{\ln 2}\Longleftrightarrow x\ln 2\le \ln\left(\dfrac{1}{\ln 2}\right)\Longleftrightarrow x\ln 2\le -\ln\left(\ln 2\right) \Longleftrightarrow x\le \dfrac{-\ln\left(\ln 2\right)}{\ln 2}$
De même pour l'inéquation $\varphi'(x)\ge 0\Longleftrightarrow x\ge \dfrac{-\ln\left(\ln 2\right)}{\ln 2}$
Avec $\varphi'\left(\dfrac{-\ln\left(\ln 2\right)}{\ln 2}\right)= 0$
En notant $\theta=\dfrac{-\ln\left(\ln 2\right)}{\ln 2}$ et en s'assurant que $\theta=\dfrac{-\ln\left(\ln 2\right)}{\ln 2}\approx 0,53\in[0;1]$
On trace le tableau de variations de la fonction $\varphi$ , en tenant compte de $\varphi(0)=0 \text{ et } \varphi(1)=0$ : $\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \theta & & 1 \\ \hline \varphi'(x) & & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} \varphi & 0 & \decroit &\varphi(\theta)& \croit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$
On en déduit : $\boxed{\forall x\in[0;1] \text{ , } \varphi(x)\le 0 }$
2e méthode : (qui demande moins de calculs)
$\varphi''(x)=(\ln2)^2\text{e}^{x\ln2}>0$ donc $\varphi'$ est croissante sur [0;1]. Comme $\varphi'(0)=\ln2-1< 0 \text{ et }\varphi'(1)= 2\ln2 - 1 > 0$ , on obtient : $\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & \theta & & 1 \\ \hline \varphi'' & && + && \\ \hline \niveau{2}{3}\varphi' & \ln2-1<0 && \croit & 2\ln2-1 >0 & \\ \hline \niveau{2}{3} \varphi & 0 & \decroit &\varphi(\theta)& \croit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

On en déduit : $\boxed{\forall x\in[0;1] \text{ , } \varphi(x)\le 0 }$
Or, pour tout $x$ de $[0;1] \text{ , }\varphi(x)=h(x)-x$ , donc : $\forall x\in[0;1]\text{ , } h(x)\le x$
Et donc : $h \text{ vérifie la propriété } (P_3) ~ ~ \red{(III)}$
De $\red{(I) }\black{,} \red{(II)} }\text{ \black{et} } \red{(III)}$ : $\boxed{h\in (E)}$
2. c) Calcul de $I_h$ :
$\begin{matrix}I_h&=&\displaystyle\int_{0}^{1} \left(x-h(x)\right) \text{d}x&=&\displaystyle\int_{0}^{1} \left(x-2^x+1\right) \text{d}x\\&=&\displaystyle\int_{0}^{1} \left(x-\text{e}^{x\ln2}+1\right) \text{d}x&=&\displaystyle\int_{0}^{1} x \text{d}x-\dfrac{1}{\ln 2}\int_{0}^{1}\ln(2)\text{e}^{x\ln2}\text{d}x+\int_{0}^{1} \text{d}x\\&=&\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1-\dfrac{1}{\ln 2}\left[\text{e}^{x\ln2}\right]_0^1+[x]_0^1&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\ln 2}\left(e^{\ln 2} -e^0\right)+1\\&=&\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\ln 2}\left(2-1\right)+1&=&\boxed{\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\ln 2}}\end{matrix}$
3. a) $P \text{ vérifie la propriété } (P_{2}) \Longleftrightarrow \begin{cases} P(0)=0\\P(1)=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} c=0 \\ a +b+ c=1\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} c=0\\b=1-a\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\forall x\in[0;1]\text{ : }P(x)= ax^2+(1-a)x }$
3. b) $I_P=\displaystyle\int_{0}^{1} \left(x-P(x)\right) \text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{1} \left(x-ax^2-(1-a)x\right) \text{d}x=\displaystyle\int_{0}^{1} \left(-ax^2+ax\right) \text{d}x=a\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=a\left[-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\right]=\boxed{\dfrac{a}{6}}$
3. c)Puisque $0<a<1$ , on a : $0<I_P=\dfrac{a}{6}<\dfrac{1}{6}$ .
Or, on a $\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\ln 2}\approx 0,057$ et $\dfrac{1}{6}\approx 0,167$ , donc : $0<I_h<\dfrac{1}{6}$ .
Et donc : $\boxed{ \text{ Il existe } a \text{ pour lequel }I_P=I_h}$
Valeur de $a$ : $I_P=I_h\Longleftrightarrow \dfrac{a}{6}= \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{\ln 2}\Longleftrightarrow \boxed{a=9-\dfrac{6}{\ln 2}}$
Or, $a=9-\dfrac{6}{\ln 2}\approx 0,34$ , donc $0<a<1$ et la valeur convient

exercice 2

1. a) $D$ est l'origine du repère, alors $D(0;0;0)$ .
Coordonnées du point $A$ : $\vec{i} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DA}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{\text{DA}}=3 \vec{i}\Longleftrightarrow \boxed{A(3;0;0)}$
De même:
Coordonnées du point $C$ : $\vec{j} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{DC}}\Longleftrightarrow \boxed{C(0;3;0)}$
Coordonnées du point $E$ : $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{DA}\Longleftrightarrow \overrightarrow{DE}=3\vec{i}+3\vec{k} \Longleftrightarrow\boxed{E(3;0;3)}$
1. b) La somme des coefficients n'est pas nulle, $L$ est le barycentre du système $\lbrace(C ; 2) , (E ; 1)\rbrace$ , équivaut à dire : $2\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{LE}=\overrightarrow{0}$
Soit : $2\overrightarrow{LC}+\overrightarrow{LE}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \begin{cases}2(x_C-x_L)+(x_E-x_L)=0\\2(y_C-y_L)+(y_E-y_L)=0\\2(z_C-z_L)+(z_E-z_L)=0\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}-2x_L+3-x_L=0\\6-2y_L-y_L=0\\-2z_L+3-z_L=0\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{L(1;2;1)}$
1. c)
$\overrightarrow{AE}(x_E-x_A;y_E-y_A;z_E-z_A)\Longleftrightarrow \overrightarrow{AE}(3-3;0-0;3-0)\Longleftrightarrow \boxed{\overrightarrow{AE}(0;0;3)}$
$\overrightarrow{DL}(x_L-x_D;y_L-y_D;z_L-z_D)\Longleftrightarrow \overrightarrow{DL}(x_L;y_L;z_L)\Longleftrightarrow \boxed{\overrightarrow{DL}(1;2;1)}$
2. a) On a : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}=-a\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+b\overrightarrow{DL}$
Rappelons aussi que : $\overrightarrow{AE}(0;0;3)\text{ , } \overrightarrow{DL}(1;2;1)\text{ et } \overrightarrow{AD}(-3;0;0)\left(\text{car: }\overrightarrow{AD}=-3\vec{i} \right)$
On obtient :
$\begin{matrix} \begin{cases} \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{AE} \\ \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{DL}\end{cases} &\Longleftrightarrow & \begin{cases} \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AE}=0\\ \overrightarrow{MN}. \overrightarrow{DL}=0\end{cases}&\Longleftrightarrow& \begin{cases}\left(-a\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+b\overrightarrow{DL}\right).\overrightarrow{AE}=0\\\left(-a\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}+b\overrightarrow{DL}\right).\overrightarrow{DL}=0\end{cases} \\&\Longleftrightarrow& \begin{cases}-a\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AE}+b\overrightarrow{DL}.\overrightarrow{AE}=0\\-a\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{DL}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{DL}+b\overrightarrow{DL}.\overrightarrow{DL}=0\end{cases}&\Longleftrightarrow &\begin{cases} -3^2a+0+3b=0\\-3a-3+b(1^2+2^2+1^2)=0\end{cases} \\&\Longleftrightarrow& \begin{cases} -9a+3b=0\\-3a-3+6b=0\end{cases} \end{matrix}$
Conclusion : $\boxed{\text{ Le vecteur }\overrightarrow{MN} \text{ est orthogonal aux vecteurs } \overrightarrow{AE} \text{ et } \overrightarrow{DL} \text{ si et seulement si a et b vérifient } \begin{cases} 3a-b=0\\-a+2b=1\end{cases}}$
2. b) Résolvons le système $\left\lbrace\begin{array}{l c l}- a + 2b& =&1 \\ 3a - b& =& 0 \end{array}\right$
$\begin{cases} 3a-b=0\\-a+2b=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 6a-2b=0\\-a+2b=1\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 5a=1\\b=\dfrac{a+1}{2}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{1}{5}\\b=\dfrac{3}{5}\end{cases}$
Le système admet une solution unique, donc il existe deux points $M_0$ et $N_0$ uniques appartenant respectivement aux droites $(AE)$ et $(DL)$ avec $\overrightarrow{M_0N_0}$ orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{DL}}$
On en déduit que : $\boxed{\text{ Il existe un seul point } M_0 \text{ de } (AE) \text{ et un seul point } N_0 \text{ de } (DL) \text{ tels que la droite } (M_0N_0) \text{ est orthogonale aux droites } (AE) \text{ et } (DL)}$
2. c) D'après le 2. b) $\overrightarrow{AM_0} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{DN_0} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{\text{DL}}$
$\overrightarrow{AM_0} = \dfrac{1}{5}\overrightarrow{\text{AE}}\Longleftrightarrow \begin{cases}x_{M_0}=\dfrac{1}{5}\times 0+3\\y_{M_0}=\dfrac{1}{5}\times 0+0\\z_{M_0}=\dfrac{1}{5}\times 3+0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}x_{M_0}=3\\y_{M_0}=0\\z_{M_0}=\dfrac{3}{5}\end{cases}\Longleftrightarrow\boxed{M_0\left(3;0;\dfrac{3}{5}\right)}$
$\overrightarrow{DN_0} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{\text{DL}}\Longleftrightarrow \begin{cases}x_{N_0}=\dfrac{3}{5}\times 1\\y_{N_0}=\dfrac{3}{5}\times 2\\z_{N_0}=\dfrac{3}{5}\times 1\end{cases} \Longleftrightarrow\boxed{N_0\left(\dfrac{3}{5};\dfrac{6}{5};\dfrac{3}{5}\right)}$
Calcul de la distance $M_0N_0$ :
$M_0N_0=\sqrt{(x_{N_0}-x_{M_0})^2+(y_{N_0}-y_{M_0})^2+(z_{N_0}-z_{M_0})^2}=\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}-3\right)^2+\left(\dfrac{6}{5}-0\left)^2+\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{5}\right)^2}$ $=\sqrt{\dfrac{36}{5}}=\dfrac{6}{\sqrt{5}}=\boxed{\dfrac{6\sqrt{5}}{5}}$

exercice 3

1. On complète l'arbre :

Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 1

2. a) L'événement "la plante choisie la 1ère année est de type A" a pour probabilité : $p_1=p(A_0\cap A_1)+p(B_0\cap A_1)=0,4\times0,6+0,41\times 0,3=\boxed{0,363}$
L'événement "la plante choisie la la 1ère année est de type B" a pour probabilité : $q_{1}=p(A_0\cap B_1)+p(B_0\cap B_1)=0,4\times 0,3+0,41\times 0,6=\boxed{0,366}$
L'énévement "la plante choisie la 1ère année est de type C" a pour probabilité : $r_1=1-(p_1+q_1)=1-(0,363+0,366)=\boxed{0,271}$
2. b) Pour tout entier naturel $n$ , la situation à la n-ème année se représente d'après l'énoncé par l'arbre suivant :

Bac S Spécialité Polynésie Française Session de remplacement Septembre 2007 - terminale : image 3

Donc, directement : $\boxed{\forall n \in \mathbb{N}\text{ , } \left\lbrace\begin{array}{l c l} p_{n+1}&=& 0,6p_{n} + 0,3 q_{n} \\ q_{n+1}& =& 0,3p_{n} + 0,6q_{n} \end{array}\right. }$
3. a) La suite $(S_n)$ est définie par : $\forall n\in\mathbb{N}\text{ , }S_{n} = q_{n} + p_{n}$
Donc :
$\begin{matrix}\forall n\in\mathbb{N}\text{ , } S_{n+1}&=&q_{n+1} + p_{n+1}\\&=& 0,3p_{n} + 0,6q_{n} +0,6p_{n} + 0,3 q_{n}\\&=&0,9p_n+0,9q_{n}\\&=&0,9(p_n+q_{n})\\&=&\boxed{0,9 S_n}\end{matrix}$
On conclut que : $\boxed{ \text{ La suite } (S_n)_{n\in\mathbb{N}} \text{ est une suite géométrique de raison } 0,9 }$
3. b) Les raisons des deux suites géométriques $(S_n)$ et $(D_n)$ (à savoir $0,9$ et $0,3$ ) appartiennent tout les deux à $]0;1[$ , donc : $\boxed{ \displaystyle\lim_{n\to+\infty}S_n=\lim_{n\to+\infty}D_n=0}$
3. c) On a pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $\begin{cases} S_{n} = q_{n} + p_{n}\\D_{n} = q_{n} - p_{n}\end{cases}$
Donc, pour tout entier naturel $n$ , $\begin{cases} q_{n}=\dfrac{S_n+D_n}{2} \\ p_{n}=\dfrac{S_n-D_n}{2}\end{cases}$
On en déduit : $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}p_n=\dfrac{1}{2}\left(\lim_{n\to+\infty}S_n-\lim_{n\to+\infty}D_n\right)=0 \text{ et } \lim_{n\to+\infty}q_n=\dfrac{1}{2}\left(\lim_{n\to+\infty}S_n+\lim_{n\to+\infty}D_n\right)=0$
Conclusion : $\boxed{ \displaystyle\lim_{n\to+\infty}p_n=\lim_{n\to+\infty}q_n=0}$
Finalement, puisque pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $r_n=1-p_n-q_n$
Alors : $\boxed{\displaystyle\lim_{n\to+\infty}r_n=1}$
Interprétation: À longue échéance, il n'y aura plus que des plantes du type C, les plantes de type A et B vont disparaître.

exercice 4

Partie A :

1. L'expression de la similitude directe $\sigma$ de centre $O$ , de rapport $\lambda$ et d'angle $\theta$ est : $\sigma: z'-z_O=\lambda\text{e}^{i\theta}(z-z_O)$
Dans notre cas, $\lambda=\dfrac{1}{2}\text{ , } \theta=\dfrac{\pi}{2} \text{ et }z_O=0$ , donc : $\sigma: z'=\dfrac{1}{2}\text{e}^{i\frac{\pi}{2}}z\text{ soit }\sigma: z'=\dfrac{i}{2}z$
On calcule les affixes demandées :
$z_{A'}=\dfrac{i}{2}z_A=\dfrac{i}{2}(-6+4i)=\boxed{-2-3i}$
$z_{B'}=\dfrac{i}{2}z_B=\dfrac{i}{2}(2+4i)=\boxed{-2+i}$
$z_{H'}=\dfrac{i}{2}z_H=\dfrac{i}{2}(4i)=\boxed{-2}$
2. Calculons tout d'abord les affixes des points $I$ et $J$ qui sont respectivement les milieux des segments $[A'B]$ et $[AB']$ :
$z_I=\dfrac{z_{A'}+z_{B}}{2}=\dfrac{-2-3i+2+4i}{2}=\dfrac{1}{2}i$
$z_J=\dfrac{z_{A}+z_{B'}}{2}=\dfrac{-6+4i-2+i}{2}=\dfrac{-8+5i}{2}=-4+\dfrac{5}{2}i$
Montrons que la droite $(IJ)$ est perpendiculaire à la droite $(HH')$ .
$z_{\vec{IJ}}=-4+\frac{5i}{2}-\frac{i}{2}=-4+2i\text{ donc }\overrightarrow{IJ}(-4;2)$
$z_{\vec{HH'}}=-2-4i\text{ donc }\overrightarrow{HH'}(-2;-4)$
Evaluons le produit scalaire : $\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{HH'}=(-4)(-2)\times (2)(-4)=0$
Il s'ensuit : $\boxed{\text{ La droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH')}}$

Partie B :

1. a) Une similitude conserve les angles. Comme $(OH)$ est perpendiculaire à $(AB)$ alors :
$(OH') \text{ est perpendiculaire à }(A'B')$
D'autre part la similitude conserve l'alignement ; comme $H\in(AB)$ alors :
$H'\in(A'B')$
On en déduit que : $\boxed{\text{ H' est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A'B')}}$
1. b) Dans le triangle AA'B, M est le milieu de [AA'] et I est le milieu de [A'B]. On en déduit : $\boxed{\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}}$
1. c)
Rapport des distances :
On a $\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \text{ donc } MI=\dfrac{1}{2} AB$ , de même, $\overrightarrow{MJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{A'B'}\Longrightarrow MJ=\dfrac{1}{2} A'B'$
Donc : $\dfrac{MJ}{MI}=\dfrac{A'B'}{AB}$
D'autre part, $H', A'\text{ et }B'$ sont les images respectives de $H, A \text{ et }B$ par la similitude $\sigma$ de rapport $\lambda=\dfrac{1}{2}$ (on rappelle aussi que $O$ est le centre de $\sigma$ donc invariant)
Donc : $\dfrac{OH'}{OH}=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{1}{2}$
On obtient : $\boxed{\dfrac{MJ}{MI}=\dfrac{OH'}{OH}}$
Angles :
La droite $(MI)$ est parallèle à $(AB)$ et la droite $(MJ)$ parallèle à $(A'B')$ , donc : $(\overrightarrow{MI},\overrightarrow{MJ})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}) [2\pi]$
Or, on sait que la similitude conserve les angles, donc puisque $H', A'\text{ et }B'$ sont les images respectives de $H, A \text{ et }B$ par la similitude $\sigma$
On a : $(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OH'})=(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A'B'}) [2\pi]$
On en déduit : $(\overrightarrow{MI},\overrightarrow{MJ})=(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OH'}) [2\pi]$
Ou : $\boxed{(\overrightarrow{MI},\overrightarrow{MJ})=(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OH'}) +2k\pi \text{ avec }k\in\mathbb{Z}}$
2. a)
Distances :
Puisque $O, H\text{ et }K$ sont les images respectives de $M, I \text{ et }J$ par la similitude $s$ , donc : $MI=OH \text{ et }MJ=OK$
Donc: $\dfrac{MJ}{MI}=\dfrac{OK}{OH}$
Or, d'après 1. c) : $\dfrac{\text{MJ}}{\text{MI}} = \dfrac{\text{OH}'}{\text{OH}}$
On en déduit : $\dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OH'}{OH}$
Et donc : $\boxed{OK=OH'}$
Angles:
Puisque $O, H\text{ et }K$ sont les images respectives de $M, I \text{ et }J$ par la similitude $s$
Alors: $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) =\left(\overrightarrow{\text{OH}},\overrightarrow{\text{OK}}\right) [2\pi]$
Or d'après 1. c) $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) =(\overrightarrow{OH},\overrightarrow{OH'})[2\pi]$
D'où : $\boxed{\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{MJ}}\right) =(\overrightarrow{\text{OH}},\overrightarrow{\text{OK}})+2k\pi \text{ avec }k\in\mathbb{Z}}}$
2. b) On déduit directement des résultats trouvés en 2. a) que le point $K$ coïncide avec le point $H'$
Et donc: $\boxed{\text{ Le point H' est l'image du point J par la similitude s }}$
3. Puisque $O, H\text{ et }H'$ sont les images respectives de $M, I \text{ et }J$ par la similitude $s$
Alors les deux angles $(\overrightarrow{\text{IJ}},\overrightarrow{\text{HH'}})$ et $(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{OH}})$ sont des angles de similitude $s$ .
Donc directement : $\boxed{\left(\overrightarrow{\text{IJ}},\overrightarrow{\text{HH}'}\right) = \left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{OH}}\right) + 2k\pi,~ k \in \mathbb{Z}}$
On a vu que $(OH)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et que $(MI)$ est parallèle à $(AB)$ , donc $(MI)$ est perpendiculaire à $(OH)$
Il en découle : $\left(\overrightarrow{\text{MI}},\overrightarrow{\text{OH}}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$
Donc : $\left(\overrightarrow{\text{IJ}},\overrightarrow{\text{HH}'}\right)=\dfrac{\pi}{2}[2\pi]$
On en déduit : $\boxed{\text{ La droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH') }}$

Publié par Aurélien/ le 11-06-2016

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