Bac Scientifique
Polynésie Française - Session de remplacement Septembre 2007
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Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.
Du papier millimétré est mis à la disposition du candidat.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
La qualité et la précision de la rédaction seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
7 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
On désigne par (E) l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle [0 ; 1] et vérifiant les conditions (), () et () suivantes :
() : est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
() : et .
() : pour tout réel de l'intervalle [0 ; 1], .
Dans un repère orthonormal du plan, on note () la courbe représentative d'une fonction de l'ensemble (E) et (D) la droite d'équation .
À toute fonction de (E), on associe le nombre réel .
1. a) Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E).
La déterminer en justifiant l'élimination des deux autres.
b) Montrer que, pour toute fonction de (E), .
2. Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par .
(On rappelle que, pour tout réel, ).
a) Montrer que la fonction vérifie les conditions () et ().
b) Soit la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par .
Montrer que, pour tout de [0 ; 1], . (On pourra étudier le sens de variation de la fonction sur [0 ; 1]).
En déduire que la fonction appartient à l'ensemble (E).
c) Montrer que le réel associé à la fonction est égal à .
3. Soit une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 1] par où , et sont trois nombres réels tels que .
On se propose de déterminer les valeurs des réels , et pour que la fonction appartienne à l'ensemble (E) et que .
a) Montrer que la fonction vérifie la propriété () si et seulement si, pour tout réel de l'intervalle [0 ; 1], .
Montrer que toute fonction définie sur [0 ; 1] par avec appartient à (E).
b) Exprimer en fonction de le réel associé à la fonction .
c) Montrer qu'il existe une valeur du réel pour laquelle .
Quelle est cette valeur ?
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 3.
On choisit le repère orthonormal tel que et .
1. a) Donner les coordonnées des points A, C et E.
b) Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système {(C ; 2) , (E ; 1)}.
c) Déterminer les coordonnées des vecteurs et .
2. Soit un couple de réels. On note M le point de la droite (AE) tel que et N le point de la droite (DL) tel que .
a) Montrer que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et si et seulement si le couple vérifie le système b) En déduire qu'il existe un seul point M0 de (AE) et un seul point N0 de (DL) tels que la droite (M0N0) est orthogonale aux droites (AE) et (DL).
c) Déterminer les coordonnées des points M0 et N0 puis calculer la distance M0N0.
4 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
La végétation d'un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes :
40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C.
On admet qu'au début de chaque année :
chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C.
chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C.
La probabilité qu'une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu'elle le soit par une plante de type B est 0,3.
La probabilité qu'une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0,6 et celle qu'elle le soit par une plante de type A est 0,3.
Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type.
Pour tout entier naturel non nul, on note:
l'évènement « la plante choisie la -ième année est de type A »,
l'évènement « la plante choisie la -ième année est de type B »,
l'évènement « la plante choisie la -ième année est de type C ».
On désigne par , et les probabilités respectives des événements , et .
Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l'année n°0) on pose :
= 0,40, = 0,41 et = 0,19.
1. Recopier sur la copie et compléter l'arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n'est demandée pour cette question.
2. a) Montrer que = 0,363 puis calculer et .
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul,
3. On définit les suites et sur par
et .
a) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison.
On admet que est une suite géométrique de raison 0,3.
b) Déterminer les limites des suites et .
c) En déduire les limites des suites , et .
Interpréter le résultat.
5 points
exercice 4 - Épreuve de spécialité
Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère un triangle OAB et une similitude directe de centre O, de rapport et d'angle .
Soit :
les points A' et B', images respectives des points A et B par la similitude ;
les points I, milieu du segment [A'B] et J, milieu du segment [AB'] ;
le point M milieu du segment [AA'] ;
le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H' image du point H par la similitude .
Partie A. Étude d'un exemple
Dans cette partie, le point A a pour affixe -6 + 4i, le point B a pour affixe 2 + 4i, et le point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe 4i.
La similitude est la similitude directe de centre O, de rapport et d'angle .
1. Déterminer les affixes des points A', B' et H'.
2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH').
Partie B. Étude du cas général
1. a) Montrer que H' est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A'B').
b) Montrer que . On admet que .
c) En déduire que et que .
2. On appelle la similitude directe qui transforme M en O et I en H.
On note K l'image du point J par la similitude .
a) Montrer que OK= OH', puis que .
b) En déduire que le point H' est l'image du point J par la similitude .
3. Montrer que .
Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH').
1. a) La proposition veut dire géométriquement que :
Cette proposition n'est vérifiée ni par la courbe ni par la courbe .
1. b) Soit une fonction de l'ensemble , on a:
est continue sur l'intervalle Pour tout réel de l'intervalle , Donc, l'intégrale est positive, il s'ensuit que On conclut que:
2. a) Pour tout de
Puisque les deux fonctions sont dérivables sur , donc est dérivable sur par composition, il s'ensuit que est dérivable sur On a donc:
On sait que
On en tire que
Donc:
D'autre part:
De :
2. b) Pour tout de
Les fonctions et sont dérivables sur , il en est alors de même pour la fonction .
Et on peut écrire:
1re méthode :
Résolvons l'inéquation sur l'intervalle
De même pour l'inéquation
Avec
En notant et en s'assurant que On trace le tableau de variations de la fonction , en tenant compte de :
On en déduit :
2e méthode : (qui demande moins de calculs)
donc est croissante sur [0;1]. Comme , on obtient :
On en déduit :
Or, pour tout de , donc :
Et donc :
De :
2. c) Calcul de :
3. a)
3. b)
3. c)Puisque , on a :
.
Or, on a et , donc :
.
Et donc :
Valeur de :
Or, , donc et la valeur convient
exercice 2
1. a) est l'origine du repère, alors .
Coordonnées du point :
De même:
Coordonnées du point :
Coordonnées du point :
1. b) La somme des coefficients n'est pas nulle, est le barycentre du système , équivaut à dire :
Soit :
1. c)
2. a) On a :
Rappelons aussi que :
On obtient :
Conclusion :
2. b) Résolvons le système
Le système admet une solution unique, donc il existe deux points et uniques appartenant respectivement aux droites et avec orthogonal aux vecteurs et On en déduit que :
2. c) D'après le 2. b)
et
Calcul de la distance :
exercice 3
1. On complète l'arbre :
2. a) L'événement "la plante choisie la 1ère année est de type A" a pour probabilité :
L'événement "la plante choisie la la 1ère année est de type B" a pour probabilité :
L'énévement "la plante choisie la 1ère année est de type C" a pour probabilité :
2. b) Pour tout entier naturel , la situation à la n-ème année se représente d'après l'énoncé par l'arbre suivant :
Donc, directement :
3. a) La suite est définie par :
Donc :
On conclut que :
3. b) Les raisons des deux suites géométriques et (à savoir et ) appartiennent tout les deux à , donc :
3. c) On a pour tout de ,
Donc, pour tout entier naturel ,
On en déduit :
Conclusion :
Finalement, puisque pour tout ,
Alors :
Interprétation: À longue échéance, il n'y aura plus que des plantes du type C, les plantes de type A et B vont disparaître.
exercice 4
Partie A :
1. L'expression de la similitude directe de centre , de rapport et d'angle est :
Dans notre cas, , donc :
On calcule les affixes demandées :
2. Calculons tout d'abord les affixes des points et qui sont respectivement les milieux des segments et :
Montrons que la droite est perpendiculaire à la droite .
Evaluons le produit scalaire : Il s'ensuit :
Partie B :
1. a) Une similitude conserve les angles. Comme est perpendiculaire à alors :
D'autre part la similitude conserve l'alignement ; comme alors :
On en déduit que :
1. b) Dans le triangle AA'B, M est le milieu de [AA'] et I est le milieu de [A'B]. On en déduit :
1. c) Rapport des distances : On a , de même, Donc :
D'autre part, sont les images respectives de par la similitude de rapport (on rappelle aussi que est le centre de donc invariant)
Donc :
On obtient :
Angles : La droite est parallèle à et la droite parallèle à , donc :
Or, on sait que la similitude conserve les angles, donc puisque sont les images respectives de par la similitude On a :
On en déduit :
Ou :
2. a) Distances : Puisque sont les images respectives de par la similitude , donc :
Donc:
Or, d'après 1. c) :
On en déduit :
Et donc :
Angles: Puisque sont les images respectives de par la similitude Alors:
Or d'après 1. c)
D'où :
2. b) On déduit directement des résultats trouvés en 2. a) que le point coïncide avec le point Et donc:
3. Puisque sont les images respectives de par la similitude Alors les deux angles et sont des angles de similitude .
Donc directement :
On a vu que est perpendiculaire à et que est parallèle à , donc est perpendiculaire à Il en découle :
Donc :
On en déduit :
Publié par Aurélien/
le
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Merci à dandave / Aurelien_ pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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