Bac Scientifique
Amérique du Sud - Session Novembre 2007
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
1.Dans cette question, on demande au candidat d'exposer des connaissances. On suppose connu le résultat suivant :
La fonction est l'unique fonction dérivable sur telle que , et .
Soit un réel donné.
a) Montrer que la fonction définie sur par est solution de l'équation .
b) Soit une solution de l'équation . Soit la fonction définie sur par . Montrer que est une fonction constante.
c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation .
2. On considère l'équation différentielle (E) : .
a) Déterminer deux nombres réels et tels que la fonction définie sur par :
soit une solution de (E).
b) Résoudre l'équation différentielle .
c) Démontrer que est solution de (E) si et seulement si est solution de .
d) En déduire les solutions de (E).
e) Déterminer la solution de (E) vérifiant .
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct .
On fera une figure que l'on complétera avec les différents éléments intervenant dans l'exercice.
1. On considère les points A d'affixe 1 et B d'affixe i. On appelle la réflexion (symétrie axiale) d'axe (AB).
Montrer que l'image par d'un point d'affixe a pour affixe .
2. On note l'homothétie de centre A et de rapport -2. Donner l'écriture complexe de .
3. On note la composée .
a) Montrer que est une similitude.
b) Déterminer l'écriture complexe de .
4. On appelle l'image d'un point par .
a) Démontrer que l'ensemble des points du plan tels que est la droite (AB).
b) Démontrer que l'ensemble des points du plan tels que est la perpendiculaire en A à la droite (AB).
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct .
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. Soit l'application qui à tout point de d'affixe non nulle associe le point d'affixe :
1. Soit E le point d'affixe . Déterminer l'affixe du point E', image de E par .
2. Déterminer l'ensemble des points tels que .
3. On note A et B les points d'affixes respectives et .
Soit un point distinct des points O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe différent de 0, 1 et -1, on a :
b) En déduire une expression de en fonction de puis une expression de l'angle en fonction de l'angle .
4. Soit la médiatrice du segment [A, B]. Montrer que si est un point de distinct du point O, alors est un point de .
5. Soit le cercle de diamètre [A, B].
a) Montrer que si le point appartient à alors le point appartient à la droite (AB).
b) Tout point de la droite (AB) a-t-il un antécédent par ?
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
L'espace est muni d'un repère orthonormal .
1. On considère le point A de coordonnées (-2 ; 8 ; 4) et le vecteur de coordonnées (1 ; 5 ; -1).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par A et de vecteur directeur .
2. On considère les plans et d'équations cartésiennes respectives
et .
Démontrer que les plans et sont sécants. On donnera une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée .
Montrer que le vecteur de coordonnées (2 ; 1 ; 1) est un vecteur directeur de .
3. Démontrer que les droites et ne sont pas coplanaires.
4. On considère le point H de coordonnées et le point H' de coordonnées (3 ; 0 ; -4).
a) Vérifier que H appartient à et que H' appartient à .
b) Démontrer que la droite (HH') est perpendiculaire aux droites et .
c) Calculer la distance entre les droites et , c'est-à-dire la distance HH'.
5. Déterminer l'ensemble des points de l'espace tels que .
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. On considère la fonction définie sur par
.
a) Déterminer la limite de en .
b) Déterminer la dérivée de .
c) Dresser le tableau de variations de .
2. Soit un entier naturel non nul. On considère la fonction , définie sur [0 ; + [ par
.
a) Déterminer la limite de en .
b) Démontrer que la fonction est strictement croissante sur [0 ; + [.
c) Démontrer que l'équation admet une unique solution sur [0 ; + [.
d) Justifier que, pour tout entier naturel , .
3. Montrer que pour tout entier naturel non nul , .
4. Étude de la suite a) Montrer que la suite est croissante.
b) En déduire qu'elle est convergente.
c) Utiliser l'expression pour déterminer la limite de cette suite.
Remarque : cette correction, écrite au delà de 2012, utilise volontairement les quantificateurs universel () et existentiel () en tant qu'entraînement.
exercice 1
1. a) Soit la fonction définie sur par avec réel.
La fonction est dérivable sur comme fonction composée de et de dérivables sur .
Alors, pour tout de
On en déduit que :
Et donc :
1. b) Puisque la fonction est solution de l?équation différentielle sur , donc est dérivable sur et pour tout réel : Or, la fonction définie sur par est dérivable sur car les fonctions et sont dérivables sur On a donc,
On en déduit que
Et donc :
1. c) D'après 1. b), si une fonction définie sur est solution de l?équation différentielle , alors la fonction est constante sur .
Donc dans ce cas, il existe un réel tel que :
Et donc, il existe un réel tel que :
On en déduit :
Réciproquement, soit une fonction définie sur par :
Donc pour tout réel :
Cela veut dire que :
On en déduit :
De
2. a) Déterminons les deux nombres réels et tels que la fonction définie sur par : soit une solution de l'équation différentielle
est une fonction dérivable sur car et sont dérivables sur est solution de l'équation , donc pour tout réel, on a:
Et la fonction s'écrit donc :
2. b) Directement d'après 1. c)
2. c) Par définition de la fonction, est solution de l'équation différentielle , donc :
Soit une fonction définie sur .
On a donc :
Conclusion :
2. d) Soit une fonction définie sur telle que est solution de D'après 2. c), cela est équivalent à est solution de (avec la fonction définie sur par : )
Ce qui équivaut à (d'après 1. c) ):
Il s'ensuit que :
Conclusion :
2. e) Soit une fonction définie sur et solution de vérifiant Donc il existe un réel tel que :
Il s'agit de déterminer la constante réelle , on a :
Et on remplace dans l'expression de :
exercice 2-Spécialité
1. L'écriture complexe de la symétrie axiale est : où .
La symétrie axiale est d'axe . On a .
Les points et sont donc invariants par cette symétrie et on peut écrire :
En en déduit :
2. L'homothétie de centre A et de rapport -2 transforme le point en .
équivaut à dire soit .
3. a) La symétrie axiale est une similitude de centre et l'homothétie est aussi une similitude de centre , donc par composition :
3. b) Soit l'image d'un point par et soit l'image de par l'homothétie .
Donc :
Donc l'écriture complexe de est :
4. a)Soit l'image d'un point par .
Déterminons l'ensemble des points vérifiant :
On pose où sont réels ; on obtient :
On vérifie facilement que et sont deux points de cette droite, qui est donc la droite (AB).
On peut conclure que :
4. b) Ici encore, est l'image d'un point par .
Déterminons l'ensemble des points vérifiant :
On pose où sont réels, donc :
La droite d'équation est bien évidemment perpendiculaire à la droite puisque le produit des deux coefficients directeurs est égal à , de plus appartient à cette droite.
Figure.
exercice 2
1. On note l'affixe du point . Le point est l'image du point d'affixe par :
2. Soit d'affixe et d'affixe . On a :
3. a) Soit l'affixe d'un point distinct des points .
Soit l'affixe d'un point image de par , c'est à dire : .
On a :
3. b) Rapport des distances :
Les angles :
Soit :
4. Soit la médiatrice du segment Si est un point de (différent de ), alors Et donc :
On en déduit que :
Conclusion :
Remarque : pour pouvoir utiliser les résultats du 3. b) qui ne sont valables que pour
5. a) Soit un point de
Si (respectivement ) :
Alors d'après 2., on a (respectivement ) et on déduit que
Si :
car est le diamètre du cercle contenant .
Et donc, d'après 3. b) , Ce qui veut dire que les points sont alignés, et donc :
Conclusion :
Remarque : Ici aussi, on a distingué différents cas afin de pouvoir utiliser les résultats du 3. b)
5. b) Soit un point appartenant à la droite et d'affixe Il faut montrer qu'il existe toujours un point d'affixe z vérifiant: Cette équation est une équation complexe de second degré, donc elle admet toujours au moins une solution.
Conclusion :
Figure.
exercice 3
1. Soit réels.
Soit dans l'espace le point Soit la droite passant par et de vecteur directeur On a :
Conclusion :
2. Le plan a pour équation cartésienne , donc admet comme vecteur normal Le plan a pour équation cartésienne , donc admet comme vecteur normal D'après les coordonnées de ces derniers, il n'existe pas de réel tel que : , et donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
On en déduit que :
Notons la droite d'intersection de et Soit un point de l'espace de coordonnées appartenant à
3. Afin de montrer que deux droites de l'espace ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu'elles ne sont ni parallèles ni sécantes.
Parallélisme : D'après 1., le vecteur directeur de la droite est D'autre part, la droite de représentation paramétrique a pour vecteur directeur A la lecture des coordonnées, on peut dire qu'il n'existe pas de réel tel que : , et donc les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Et donc :
Sécance : Les représentations paramétriques de et étant respectivement et Un point de l'espace appartient à et si et seulement si il existe et réels tels que :
On a :
Le système est incompatible, il s'ensuit qu'il n'existe pas de point appartenant à et et donc :
De on peut conclure :
4. a) On a , donc pour , on obtient directement les coordonnées du point .
On en déduit :
On a , donc pour , on obtient directement les coordonnées du point .
On en déduit :
4. b) Un vecteur directeur de la droite est
Un vecteur directeur de la droite est
Un vecteur directeur de la droite est
Calculons les produits scalaires :
Conclusion :
4. c) D'après 4. a), on a , donc :
5.Soit un point de l'espace de coordonnées avec réels ; rappelons que et On a :
Conclusion :
exercice 4
1. a) On a , donc De plus , on obtient par somme :
1. b) Dérivabilité : On a est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur et pour tout de Or, d'après le cours, la fonction est dérivable sur , on en déduit par composition des fonctions que la fonction est dérivable sur . Enfin, la fonction polynôme est dérivable sur , On en déduit que la fonction est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.
Calcul de dérivée : Pour tout de ,
1. c) Signe de : Pour tout
On en déduit :
Tableau de variations de :
Remarque : 2. a) Soit fixé. On a et , on aboutit donc à :
2. b) On a vu que la fonction est dérivable sur , donc pour fixé, la fonction est dérivable sur . Enfin, la fonction polynôme est dérivable sur , on en déduit que la fonction est dérivable sur comme somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout de ,
Pour tout
On en déduit :
Conclusion :
2. c) est continue sur car dérivable sur est strictement croissante sur Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) :
2. d) On a pour tout entier naturel non nul :
Donc, puisque , on obtient :
Par croissance de la fonction sur , on conclut :
3. Soit un entier naturel non nul.
On sait que est solution de l'équation , soit :
Calculons à présent
On a pour tout entier naturel non nul , donc , il s'ensuit D'autre part , on en déduit :
4. a) On a pour tout entier naturel non nul :
Donc :
Et par croissance de la fonction sur , on trouve :
On déduit que :
4. b) On a :
Donc :
5. b) Soit la limite (dont on sait qu'elle existe et qu'elle est finie ) de la suite La limite est donc solution de l'équation . Or On en déduit que
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