Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session de remplacement Mars 2008

Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Le sujet est composé de quatre exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur ]- $\infty$ ; 6[ par $f(x) = \dfrac{9}{6-x}$ .
On définit pour tout entier naturel $n$ la suite $(U_n)$ par $\left \lbrace \begin{array}{l} U_0 = -3 \\ U_{n+1} = f(U_n) \end{array}$

1. La courbe représentative de la fonction $f$ est donnée ci-dessous accompagnée de celle de la droite d'équation $y = x$ . Construire sur ce graphique les points $\text{M}_0(U_0;0)$ , $\text{M}_1(U_1 ; 0)$ , $\text{M}_2(U_2 ; 0)$ , $\text{M}_3(U_3 ; 0)$ et $\text{M}_4(U_4 ; 0)$ .
Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite $(U_n)$ ?

2. a) Démontrer que si $x < 3$ alors $\dfrac{9}{6-x} < 3$ . En déduire que $U_n < 3$ pour tout entier naturel $n$ .
    b) Etudier le sens de variation de la suite $(U_n)$ .
    c) Que peut-on déduire des questions 2. a) et 2. b) ?

3. On considère la suite $(V_n)$ définie par $V_n = \dfrac{1}{U_n-3}$ pour tout entier naturel $n$ .
    a) Démontrer que la suite $(V_n)$ est une suite arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$ .
    b) Déterminer $V_n$ puis $U_n$ en fonction de $n$ .
    c) Calculer la limite de la suite $(U_n)$ .

Bac S Nouvelle Calédonie Session de remplacement Mars 2008 - terminale : image 1

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

Partie B

On note 0, 1, 2, ..., 9, $\alpha$ , $\beta$ , les chiffres de l'écriture d'un nombre en base 12. Par exemple : $\overline{\beta\alpha 7}^{12}=\beta\times12^2+\alpha\times12+7=11\times144+10\times12+7=1711$ en base 10.

1. a) Soit $N_1$ le nombre s'écrivant en base 12 : $N_1 = \overline{\beta 1 \alpha}^{12}$ .
Déterminer l'écriture de $N_1$ en base 10.
    b) Soit $N_2$ le nombre s'écrivant en base 10 : $N_2 = 1131 = 1 \times 10^3 + 1 \times 10^2 + 3 \times 10 + 1$ . Déterminer l'écriture de $N_2$ en base 12.

Dans toute la suite, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 : $N = \overline{a_n a_{n-1} ... a_1 a_0}^{12}$ .

2. a) Démontrer que $N \equiv a_0[3]$ . En déduire un critère de divisibilité par 3 d'un nombre écrit en base 12.
    b) A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_2$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.

3. a) Démontrer que $N \equiv a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0 [11]$ . En déduire un critère de divisibilité par 11 d'un nombre écrit en base 12.
    b) A l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_1$ est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.

4. Un nombre $N$ s'écrit $N = \overline{x4y}^{12}$ . Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par 33.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :
pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10 % n'ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.
pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5 % n'ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.
Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60% au premier éleveur, 40 % au deuxième éleveur.

1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois.
    a) Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de 0,92.
    b) Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
    c) Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité pour qu'il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approximative approchée à 10^-2 près.

3. L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s'il est gris et perd 0,10 euro s'il ne survit pas.
Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique, arrondie au centime.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

L'espace est rapporté à un repère $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ orthonormé. Soit $t$ un nombre réel.
On donne le point A(-1 ; 2 ; 3) et la droite $\mathcal{D}$ de système d'équations paramétriques : $\left \lbrace \begin{array}{l} {x = 9 + 4t \\ y = 6 + t \\ z = 2 + 2t\end{array} \right.$
Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes le distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$ .

1. a) Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par A.
    b) Vérifier que le point B(-3 ; 3 ; -4) appartient à la droite $\mathcal{D}$ .
    c) Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et le plan $\mathcal{P}$ .
    d) Exprimer la distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$ .

2. Soit M un point de la droite $\mathcal{D}$ . Exprimer AM² en fonction de $t$ . Retrouver alors la valeur de $d$ .

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Bac S Nouvelle Calédonie Session de remplacement Mars 2008 - terminale : image 2

On peut conjecturer que la suite (U_n) est croissante et convergente vers 3 (abscisse du point d'intersection entre la courbe et la droite).

2. a) $x < 3 \Rightarrow -x > -3 \Rightarrow 6 - x > 3 > 0$ $\Rightarrow \dfrac{1}{6-x} < \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{9}{6-x} < \dfrac{9}{3} = 3$
On a donc : $\boxed{\text{si } x < 3 \text{ alors } \frac{9}{6-x} < 3}$

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $U_n < 3$ :
$U_0 = -3 < 3$ . La propriété est vraie au rang 0.
On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $U_n < 3$ . Alors $U_{n+1} = f(U_n) = \dfrac{9}{6-U_n} < 3$ d'après la propriété démontrée précédemment. La propriété est donc héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel $n$ .
Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , on a donc $\boxed{U_n < 3}$

2. b) Pour tout entier naturel $n$ ,
$U_{n+1} - U_n = f(U_n) - U_n = \dfrac{9}{6-Un} - U_n = \dfrac{9-U_n(6-Un)}{6-U_n} = \dfrac{U_n^2-6U_n+9}{6-U_n} = \dfrac{(U_n-3)^2}{6-U_n}$
Or $U_n < 3$ donc $-U_n > -3$ donc $6 - U_n > 3 > 0$ et $(U_n - 3)^2 > 0$ donc $U_{n+1} - U_n > 0$
$U_{n+1} > U_n$ : la suite (U_n) est strictement croissante.

2. c) La suite (U_n) est strictement croissante (question 2. b)) et majorée (question 2. a)), elle est donc convergente.

3. a) Pour tout entier naturel $n$ ,
$V_{n+1} = \dfrac{1}{U_{n+1}-3} = \dfrac{1}{\frac{9}{6-U_n}-3} = \dfrac{6-U_n}{9-3(6-U_n)}$ $= \dfrac{6-U_n}{-9+3U_n} = \dfrac{-(Un-3)+3}{3(U_n-3)} = -\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{U_n-3} = -\dfrac{1}{3}+V_n$
Donc (V_n) est une suite arithmétique de raison $-\dfrac{1}{3}$ .

3. b) Donc pour tout entier naturel $n$ : $V_n = V_0 - \dfrac{1}{3}n$
Or $V_0 = \dfrac{1}{U_0-3} = \dfrac{1}{-3-3} = -\dfrac{1}{6}$
Donc, pour tout entier naturel $n$ , on a : $\boxed{V_n = -\frac{1}{6} - \frac{1}{3}n = - \frac{2n+1}{6}}$
$V_n = \dfrac{1}{U_n-3} \Rightarrow U_n-3 = \dfrac{1}{V_n} = -\dfrac{6}{2n+1}$
Conclusion : pour tout entier naturel $n$ , on a : $\boxed{U_n = - \frac{6}{2n+1}+3}$

3. c) $\displaystyle \lim _{n\to+\infty} U_n = \displaystyle \lim_{n\to+\infty} - \dfrac{6}{2n+1} + 3 = 3$
La suite (U_n) converge vers 3.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Question de cours

Si $a_1\equiv b_1 [n]$ et $a_2 \equiv b_2 [n]$ alors :
$a_1 + a_2 \equiv b_1 + b_2 [n]$
$a_1a_2 \equiv b_1b_2 [n]$
Pour tout entier naturel $p$ , $a_1^p \equiv b_1^p [n]$

Démonstration de la propriété de compatibilité avec la multiplication :
Si $a_1 \equiv b_1 [n]$ et $a_2 \equiv b_2 [n]$ alors il existe deux entiers $q_1$ et $q_2$ tels que $a_1 = q_1n+b_1$ et $a_2=q_2n+b_2$ .
Alors $a_1a_2=(q_1n+b_1)(q_2n+b_2)=q_1q_2n^2+q_1b_2n+q_2b_1n+b_1b_2$ $=(q_1q_2n+q_1b_2+q_2b_1)n+b_1b_2=Qn+b_1b_2$
Donc $a_1a_2\equiv b_1b_2 [n]$ .

Partie B :

1. a) $N_1 = \overline{\beta 1 \alpha}^{12}=\beta\times 12^2+1\times12+\alpha=11\times144+12+10=1606$
$\boxed{N_1 = 1606 \text{ en base 10}}$

1. b) $N_2=1131=1008+120+3=7\times144+10\times12+3=7\times12^2+10\times12+3=\bar{7\alpha3}^{12}$
$\boxed{N_2=\overline{7\alpha3}^{12}}$

2. a) Pour $N=\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}^{12}$ , en base 10 :
$N=a_n\times12^n+a_{n-1}\times12^{n-1}+...+a_1\times12+a_0\equiv a_0 [12]$
Donc il existe un entier naturel $q$ tel que $N=12q+a_0=3(4q)+a_0=3Q+a_0$ , donc $\boxed{N\equiv a_0[3]}$
N est donc divisible par 3 si le dernier chiffre ( $a_0$ ) est un multiple de 3.

2. b) $N_2=\overline{7\alpha3}^{12}$ , donc $a_0=3$ est divisible par 3, donc $N_2$ est divisible par 3.
On le vérifie en base 10 car un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme des chiffres de son écriture en base 10 est un multiple de 3, et ici 1+1+3+1=6 donc $N_2$ est divisible par 3.
On a aussi : $N_2=1131=3\times377$ .

3. a) $12\equiv 1[11]$ , donc pour tout entier naturel $p$ , $12^p\equiv 1[11]$ donc $a_p \times 12^p \equiv a_p$
Or $N=a_n\times12^n+a_{n-1}\times12^{n-1}+...+a_1\times12+a_0$ donc $\boxed{N\equiv a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0[11]}$
N est donc divisivible par 11 si la somme des chiffres de son écriture en base 12 est divisible par 11.

3. b) $N_1=\overline{\beta 1\alpha}^{12}$ . Or $\beta+1+\alpha=11+1+10=22$ est divisible par 11, donc $N_1$ est divisible par 11.
On le vérifie en base 10 car $N_1=1606=11\times146$ .

4. Comme 3 et 11 sont premiers entre eux, $N=\overline{x4y}^{12}$ est divisible par 33 = 3 × 11 si et seulement si $N$ est divisible par 3 ET $N$ est divisible par 11, si et seulement si $y$ est un multiple de 3 ET $x + 4 + y$ est divisible par 11.
$y$ est un multiple de 3, donc $y \in \lbrace 0;3;6;9 \rbrace$ .
Si $y = 0$ , $x + 4$ est divisible par 11. La seule possibilité est $x = 7$
Si $y = 3$ , $x + 7$ est divisible par 11. La seule possibilité est $x = 4$
Si $y = 6$ , $x + 10$ est divisible par 11. La seule possibilité est $x = 1$
Si $y = 9$ , $x + 13$ est un multiple de 11. La seule possibilité est $x = 9$
$\boxed{S=\lbrace (7,0);(4,3);(1,6);(9,9)\rbrace }$

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On définit les évènements suivants :
E₁ = "le poisson provient du premier élevage"
E₂ = "le poisson provient du deuxième élevage"
M = "à l'âge de trois mois, le poisson n'a pas survécu"
R = "à l'âge de trois mois, le poisson est rouge"
G = "à l'âge de trois mois, le poisson est gris"

L'énoncé nous indique :
$p(E_1) = 0,6$ ; $p(E_2) = 0,4$
$p_{E_1}(M)=0,1$ ; $p_{E_1}(R)=0,75$ ; $p_{E_1}(G)=0,15$
$p_{E_2}(M)=0,05$ ; $p_{E_2}(R)=0,65$ ; $p_{E_2}(G)=0,3$

1. a) On cherche $p(\overline{M})$ , la probabilité que le poisson ait survécu à l'âge de trois mois : $p(\overline{M})= 1-p(M)$
Or $p(M) = p(E_1\cap M) + p(E_2\cap M) = p(E_1)p_{E_1}(M)+p(E_2)p_{E_2}(M)$ $= 0,6\times 0,1 + 0,4 \times 0,05 = 0,06 + 0,02 = 0,08$
Donc $\boxed{p(\overline{M})=1-p(M)=1-0,08=0,92}$

1. b) On cherche $p(R)$ , la probabilité que le poisson soit rouge à l'âge de trois mois :
$p(R) = p(E_1\cap R) + p(E_2\cap R) = p(E_1)p_{E_1}(R)+p(E_2)p_{E_2}(R)$ $= 0,6\times 0,75 + 0,4 \times 0,65 = 0,45 + 0,26 = 0,71$
$\boxed{p(R)=0,71}$

1. c) On cherche $p_G(E_1)$ , la probabilité que le poisson provienne du premier élevage sachant qu'il est gris à l'âge de trois mois :
$p_G(E_1)=\dfrac{p(E_1\cap G)}{p(G)}$
Or $P(E_1 \cap G) = p(E_1)p_{E_1}(G) = 0,6 \times 0,15 = 0,09$ et $p(G)=1-p(M)-p(R)=1-0,08-0,71=0,21$
Donc $\boxed{p_G(E_1) = \frac{0,09}{0,21}=0,43}$

2. Soit $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de poissons en vie à l'âge de trois mois.
Il s'agit de la répétition $n = 5$ fois de l'épreuve de Bernoulli dont le succès est donné par le fait de survivre (donc $p=p(\overline{M})=0,92$ ).
$Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 5$ et $p = 0,92$ à savoir : $p(Y = k)=\left( \begin{array}{l} n \\k \\ \end{array} \right)p^k(1-p)^{n-k}=\left( \begin{array}{l} 5\\k \\ \end{array} \right)0,92^k0,08^{5-k}$
On cherche $p(Y=3)$ : $p(Y=3)=\left( \begin{array}{l} 5\\ 3 \\ \end{array} \right)0,92^3 0,08^{5-3} = \dfrac{5!}{3!2!}0,92^3 0,08^2=0,04$
$\boxed{p(Y=3)=0,04}$

3. $X\in\lbrace 1 ; 0,25 ; -0,10 }$
Loi de probabilité de $X$ :
$p(X=1)=p(R)=0,71\\ p(X=0,25)=p(G)=0,21\\ p(X=-0,10)=p(M)=0,08$

L'espérance mathématique de $X$ est définie par :
$E(X)=1\times p(X=1)+0,25\times p(X=0,25) - 0,10\times p(X=-0,10)$ $=0,71+0,25\times 0,21-0,10\times 0,08=0,71+0,052-0,008=0,754$
$\boxed{E(X)=0,75}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) P est perpendiculaire à D donc tout vecteur directeur de D est normal à P.
Or le vecteur (4;1;2) est directeur de D, il est donc normal à P, donc l'équation cartésienne de P est de la forme $4x+y+2z+d=0$ .
Or P passe par A(-1;2;3) donc $4\times(-1)+2+2\times3+d=0$ ; $-4+2+6+d=0$ ; $d=-4$ .
L'équation cartésienne de P est : $\boxed{4x+y+2z-4=0}$

1. b) Vérifions si le point B(-3;3;-4) appartient à la droite D :
$x=-3=9+4t \Longleftrightarrow t = -3 \\ y = 3 = 6 + t \Longleftrightarrow t = -3 \\ z = -4 = 2 + 2t \Longleftrightarrow t = -3$
Donc $\boxed{B\in D}$

1. c) La distance du point B au plan P est donnée par :
$d_B = \dfrac{|ax_B+by_B+cz_B+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\dfrac{|4\times(-3)+1\times3+2\times(-4)-4|}{\sqrt{21}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21}$

1. d) Soit C le point d'intersection de D et P. A est un point de P, B un point de D et P et D sont orthogonaux, donc (AC) et (BC)=D sont perpendiculaires : ABC est rectangle en C.
D'après Pythagore, $AB^2=AC^2+BC^2=d^2+d_B^2$ d'où $\boxed{d=\sqrt{AB^2-d_B^2}}$
Or A(-1;2;3) et B(-3;3;-4) donc $AB^2=(-3+1)^2+(3-2)^2+(-4-3)^2=4+1+49=54$
D'où : $d=\sqrt{54-21}=\sqrt{33}$

2. $\text{M}(x , y , z )$ et A(-1 ; 2 ; 3). Donc :
$AM^2=(x+1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=(10+4t)^2+(4+t)^2+(-1+2t)^2 \\ =100+80t+16t^2+16+8t+t^2+1-4t+4t^2=21t^2+84t+117$
Pour trouver $d$ , il faut trouver le point M tel que $\overrightarrow{AM}$ est perpendiculaire à D.
$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{u} = 0 \Longleftrightarrow 4(x+1)+1(y-2)+2(z-3)=0$ $\Longleftrightarrow 4(10+4t)+4+t+2(-1+2t)=0$ $\Longleftrightarrow 21t+42=0$ $\Longleftrightarrow t=-2$
Alors $d^2=AM^2=21\times4+84\times(-2)+117=33$
$\boxed{d=\sqrt{33}}$

Publié par Aurélien/Aurélien le 08-07-2009

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