Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session de remplacement Mars 2007

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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9


L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal (O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k}).

1. Question de cours
Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal \vec{n}(a, b, c) et un point M_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0}).

2. On considère les points A(1 ; 2 ; -3), B(-3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; -1).
    a) Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
    b) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x - y + z + 3 =  0.
    c) Soit I le point de coordonnées (-5 ; 9 ; 4). Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite \mathcal{D} passant par I et perpendiculaire au plan (ABC).
    d) Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite \mathcal{D} et du plan (ABC).
    e) En déduire la distance du point I au plan (ABC).


4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question, l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif la note est ramenée à 0.


A) Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant.
Question 1 : La probabilité de tirer trois boules noires est :
a) \quad \dfrac{\binom{4}{3}}{\binom{8}{3}}b) \quad \dfrac{9}{8}c)\quad \left(\dfrac{1}{2} \right)^3d) \quad \dfrac{4\times 3 \times 2}{8 \times 7 \times 6}
Question 2 : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu'il ait tiré 3 boules rouges est :
a) \quad 0b) \quad \left(\dfrac{1}{8}\right)^3c) \quad \dfrac{23}{128}d) \quad \dfrac{1}{92}

B) Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f(x) =  x + mm est une constante réelle.
Question 3 : f est une densité de probabilité sur l'intervalle [0 ; 1] lorsque
a) \quad m=-1b)\quad m=\dfrac{1}{2}c) \quad m=\text{e}^{\frac{1}{2}}d) \quad m = \text{e}^{-1}

C) La durée de vie en années d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0,2.
Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est
a) \quad 1 - \dfrac{1}{\text{e}}b)\quad \dfrac{1}{\text{e}}c) \quad \dfrac{1}{5\text{e}}d) \quad \dfrac{1}{0,2}(\text{e} - 1)



5 points

exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l'alphabet, on commence par associer un entier n de l'ensemble \Omega = \lbrace0 ;  1 ; 2 ; \ldots ; 24 ;  25\rbrace selon le tableau ci-dessous :
ABCDEFGHIJKLM
0123456789101112


NOPQRSTUVWXYZ
13141516171819202122232425

a et b étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier n de \Omega le reste de la division euclidienne de (an + b) par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
Exemple : pour coder la lettre P avec a = 2 et b = 3, on procède de la manière suivante :
étape 1 : on lui associe l'entier n = 15.
étape 2 : le reste de la division de 2 \times 15 + 3 = 33 par 26 est 7.
étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.

1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend a = 0 ?

2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit a = 13.

3. Dans toute la suite de l'exercice, on prend a = 5 et b = 2.
    a) On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers n et p. Montrer, que si 5n + 2 et 5p + 2 ont le même reste dans la division par 26 alors n - p est un multiple de 26. En déduire que n = p.
    b) Coder le mot AMI.

4. On se propose de décoder la lettre E.
    a) Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément n de \Omega tel que 5n - 26y = 2, où y est un entier.
    b) On considère l'équation 5x - 26y = 2, avec x et y entiers relatifs.
Donner une solution particulière de l'équation 5x - 26y = 2.
Résoudre alors l'équation 5x - 26y = 2.
En déduire qu'il existe un unique couple (x ; y) solution de l'équation précédente, avec 0 \le x \le  25.
    c) Décoder alors la lettre E.


7 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit (u_{n}) la suite définie sur \mathbb{N}^* par
\displaystyle u_{n} = \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}.


Partie A

1. Montrer que pour tout n de \mathbb{N}^*
u_{n+1} - u_{n} = \dfrac{-3n - 2}{n(2n+2)(2n+1)}

2. En déduire le sens de variation de la suite (u_{n}).

3. Établir alors que (u_{n}) est une suite convergente.

L'objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite (u_{n}).

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +\infty[ par :
f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right)


1. a) Justifier pour tout entier naturel n non nul l'encadrement :
\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\le \int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x \le \dfrac{1}{n}

    b) Vérifier que
\displaystyle\int_{n}^{n+1}\dfrac{1}{x}\:\text{d}x = \dfrac{1}{n} - f(n)

    c) En déduire que pour tout entier naturel n non nul,
0 \le f(n) \le  \dfrac{1}{n(n+1)}


2. On considère la suite (S_{n}) définie sur \mathbb{N}^* par
S_{n} = \displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k(k+1)} = \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots + \dfrac{1}{2n(2n+1)}

    a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
0 \le f(n) + f(n+1) + \cdots +f(2n) \le S_{n}

    b) Déterminer les réels a et b tels que pour tout réel x distinct de -1 et de 0, on ait
\dfrac{1}{x(x+1)} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1}

    c) En déduire l'égalité
S_{n} = \dfrac{n+1}{n(2n+1)}

    d) En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand n tend vers +\infty de
\displaystyle \sum_{k=n}^{2n} f(k)  = f(n) + f(n+ 1) +  \cdots+ f(2n)

    e) Vérifier que pour tout entier n\ge  1,
f(n) + f(n+1) + \cdots + f(2n) = u_{n} - \ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right)

    f) Déterminer la limite de la suite (u_{n}).
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