Baccalauréat Général
Série Scientifique
Nouvelle Calédonie - Session de remplacement Mars 2007
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Pour tout cet exercice, l'espace est muni d'un repère orthonormal .
1. Question de cours Établir l'équation cartésienne d'un plan dont on connaît un vecteur normal et un point .
2. On considère les points A(1 ; 2 ; -3), B(-3 ; 1 ; 4) et C(2 ; 6 ; -1).
a) Montrer que les points A, B et C déterminent un plan.
b) Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est .
c) Soit I le point de coordonnées (-5 ; 9 ; 4). Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite passant par I et perpendiculaire au plan (ABC).
d) Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite et du plan (ABC).
e) En déduire la distance du point I au plan (ABC).
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats
Pour chaque question une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte les points attribués à la question, une réponse inexacte enlève la moitié des points attribués à la question, l'absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif la note est ramenée à 0.
A) Un sac contient 3 boules blanches, 4 boules noires et 1 boule rouge, indiscernables au toucher. On tire, au hasard, successivement, trois boules du sac, en remettant chaque boule tirée dans le sac avant le tirage suivant.
Question 1 : La probabilité de tirer trois boules noires est :
a)
b)
c)
d)
Question 2 : Sachant que Jean a tiré 3 boules de la même couleur, la probabilité qu'il ait tiré 3 boules rouges est :
a)0
b)
c)
d)
B) Soit la fonction définie sur [0 ; 1] par où est une constante réelle.
Question 3 : est une densité de probabilité sur l'intervalle [0 ; 1] lorsque
a)
b)
c)
d)
C) La durée de vie en années d'un composant électronique suit une loi exponentielle de paramètre 0,2.
Question 4 : La probabilité que ce composant électronique ait une durée de vie strictement supérieure à 5 ans est
a)
b)
c)
d)
5 points
exercice 3 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour coder un message, on procède de la manière suivante : à chacune des 26 lettres de l'alphabet, on commence par associer un entier de l'ensemble selon le tableau ci-dessous :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
et étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier de le reste de la division euclidienne de par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
Exemple : pour coder la lettre P avec = 2 et = 3, on procède de la manière suivante :
étape 1 : on lui associe l'entier = 15.
étape 2 : le reste de la division de 2 15 + 3 = 33 par 26 est 7.
étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.
1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l'on prend = 0 ?
2. Montrer que les lettres A et C sont codées par la même lettre lorsque l'on choisit = 13.
3.Dans toute la suite de l'exercice, on prend = 5 et = 2.
a) On considère deux lettres de l'alphabet associées respectivement aux entiers et . Montrer, que si 5 + 2 et 5 + 2 ont le même reste dans la division par 26 alors est un multiple de 26. En déduire que .
b) Coder le mot AMI.
4. On se propose de décoder la lettre E.
a) Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l'élément de tel que , où est un entier.
b) On considère l'équation , avec et entiers relatifs.
Donner une solution particulière de l'équation .
Résoudre alors l'équation .
En déduire qu'il existe un unique couple solution de l'équation précédente, avec .
c) Décoder alors la lettre E.
7 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Soit la suite définie sur par
.
Partie A
1. Montrer que pour tout de
2. En déduire le sens de variation de la suite .
3. Établir alors que est une suite convergente.
L'objectif de la partie B est de déterminer la valeur de la limite de la suite .
Partie B
Soit la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par :
1. a) Justifier pour tout entier naturel non nul l'encadrement :
b) Vérifier que
c) En déduire que pour tout entier naturel non nul,
2. On considère la suite définie sur par
a) Montrer que pour tout entier naturel non nul,
b) Déterminer les réels et tels que pour tout réel distinct de -1 et de 0, on ait
c) En déduire l'égalité
d) En utilisant les questions précédentes, déterminer alors la limite quand tend vers de
e) Vérifier que pour tout entier ,
f) Déterminer la limite de la suite .
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)
.
)
et un point )
.
.
passant par I et perpendiculaire au plan (ABC).
la fonction définie sur [0 ; 1] par  = x + m)
où 
est une constante réelle.
de l'ensemble 
selon le tableau ci-dessous :
et 
étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier 
le reste de la division euclidienne de )
par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
15 + 3 = 33 par 26 est 7.
. Montrer, que si 5
est un multiple de 26. En déduire que 
.
, où 
est un entier.
, avec 
et )
solution de l'équation précédente, avec 
.
)
la suite définie sur 
par
.(2n+1)})
[ par :
 = \dfrac{1}{x} + \ln \left(\dfrac{x}{x+1}\right))
)
 \le \dfrac{1}{n(n+1)})
)
définie sur } = \dfrac{1}{n(n+1)} + \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} + \cdots + \dfrac{1}{2n(2n+1)})
 + f(n+1) + \cdots +f(2n) \le S_{n})
} = \dfrac{a}{x} + \dfrac{b}{x+1})
})
de
 = f(n) + f(n+ 1) + \cdots+ f(2n))
,
 + f(n+1) + \cdots + f(2n) = u_{n} - \ln\left(2+\dfrac{1}{n}\right))