Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences Médico-Sociales
Session Juin 2007 - Polynésie Française

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient 2

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices est autorisé.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.

9 points

exercice

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, quatre affirmations sont proposées ; une seule de ces quatre affirmations est exacte.
Barème : chaque réponse exacte rapporte 1,5 point ; chaque réponse inexacte retire 0,5 point ; l'absence de réponse ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera zéro. Aucune justification n'est demandée.

Compléter le tableau ci-dessous en inscrivant très lisiblement les réponses choisies (a, b, c ou d) :

Question	1	2	3	4	5	6
Réponse choisie

1. Le nombre d'allocataires du RMI âgés de plus de 50 ans est passé de 150 000 en 1995 à 262 500 en 2005. Entre 1995 et 2005, ce nombre a augmenté d'environ :

a) 42,9 %

b) 112,5 %

c) 75 %

d) 57,1 %

2. La droite qui passe par les points A(2 ; 7) et B(0 ; -3) a pour équation :

a) $y = 5x - 3$

b) $y = -5x - 3$

c) $y = 3,5x - 3$

d) $y = 0,2x - 3$

3. La fonction $f$ est définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $f(x) = x - \dfrac{1}{x}$ . Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est :

a) 1

b) -1

c) 0

d) 2

4. La dérivée de la fonction g définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = x\ln x$ est telle que :

a) $g'(x) = \dfrac{1}{x}$

b) $g'(x) = \ln x - 1$

c) $g'(x) = \ln x + 1$

d) $g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x}$

5. Dans une cage, il y a cinq lapins, deux blancs et trois noirs, et quatre cochons d'Inde, deux blancs et deux marrons. La probabilité qu'un animal choisi au hasard dans la cage soit blanc est :

a) $\dfrac{2}{9}$

b) $\dfrac{1}{3}$

c) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{4}$

d) $\dfrac{4}{9}$

6. Dans un club, on a recueilli les lieux de séjour des 120 membres pour les dernières vacances. Chacun avait choisi un séjour à la mer ou bien à la campagne. Les résultats de l'enquête sont consignés dans le tableau ci-dessous.

	Mer	Campagne
Femmes	60	20
Hommes	10	30

On choisit une personne au hasard dans ce club. La probabilité que ce soit un homme ou une personne ayant passé ses dernières vacances à la mer est :

a) $\dfrac{1}{12}$

b) $\dfrac{11}{12}$

c) $\dfrac{5}{6}$

d) $\dfrac{3}{4}$

11 points

probleme

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 12] par : $f(t) = 0,4t\text{e}^{1-0,5t}$ .

1. a) On pose u(t) = 0,4t et v(t) = e^1-0,5t. On note u', v' et $f'$ les dérivées respectives des fonctions u, v et $f$ .
Calculer u'(t) et v'(t). En déduire $f'(t)$ .
   b) Vérifier que $f'(t) = 0,4(1 - 0,5t)\text{e}^{1-0,5t}$ .
   c) Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0 ; 12].
   d) Dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0 ; 12].

2. Compléter le tableau de valeurs suivant (arrondir les résultats à 0,01 près) :

$t$	0	0,25	0,5	1	2	3	4	6	9	12
$f(t)$		0,24				0,73				0,03

3. Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour une unité sur l'axe des abscisses,
20 cm pour une unité sur l'axe des ordonnées.

Partie B

On a mesuré la concentration d'un médicament dans le plasma sanguin d'un patient pendant les douze heures qui ont suivi son administration orale.
Cette concentration plasmatique (en mg.L^-1) au temps t (en heures) est $f(t)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.

1. Calculer la concentration plasmatique 1 h 30 min après l'administration du médicament (le résultat sera arrondi à 0,01 près).

Les questions suivantes seront traitées à l'aide du graphique et l'on fera apparaître les traits de construction utiles sur le graphique.

2. Pour quelles valeurs de $t$ la concentration plasmatique est-elle de 0,7 mg.L^-1 ?

3. Pendant combien de temps la concentration plasmatique reste-t-elle supérieure à 0,3 mg.L^-1 ?
Exprimer le résultat en heures et minutes.

Correction

exercice

Question	1	2	3	4	5	6
Réponse choisie	c	a	d	c	d	c

Explications :
1. Le coefficient multiplicateur vaut $\dfrac{262500}{150000}=1,75$ ce qui correspond à une augmentation de 75 %.
2. Il suffit de vérifier que les coordonnées des deux points vérifient l'équation de cette droite
$\begin{cases} 5\times 2-3=7 \\ 5\times 0-3=-3\end{cases}$
3. $f'(x)=1+\dfrac{1}{x^2} \Longrightarrow f'(1)=1+1=2$
4. $f'(x)=\ln x+x\times\dfrac{1}{x}= \ln x+1$
5. Il y a dans la cage 2 lapins blancs et 2 cochons d'inde blancs, soit 4 animaux blancs sur un total de 9 animaux donc $p=\dfrac{4}{9}$
6. Soit l'événement M : "La personne a passé ses dernières vacances à la mer" et l'événement H : "La personne est un homme".
La probabilité demandée est $P(M\cup H)=P(M)+P(H)-P(M\cap H)=\dfrac{40}{120}+\dfrac{70}{120}-\dfrac{10}{120}=\dfrac{100}{120}=\boxed{\frac{5}{6}}$

probleme

Partie A

1. a) Pour tout $t$ de [0 ; 12], les fonctions $u$ et $v$ définies respectivement par $u(t) = 0,4t$ et $v(t) = e^{1-0,5t}$ sont dérivables sur [0 ; 12] et on a, pour tout $t$ de [0 ; 12],
$\begin{cases} u'(t)=0,4\\ v'(t) =(1-0,5t)'e^{1-0,5t}=-0,5e^{1-0,5t}\end{cases}$
Dérivée de $f$ :
$f$ est définie sur l'intervalle [0 ; 12] par : $f(t) = 0,4t\text{e}^{1-0,5t}=u(t)v(t)$ .
La fonction $f$ est dérivable sur cet intervalle comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle et on a pour tout $t$ de [0 ; 12] :
$f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=0,4\text{e}^{1-0,5t}+0,4t (-0,5e^{1-0,5t})=0,4\text{e}^{1-0,5t}-0,2t\text{e}^{1-0,5t}=\boxed{0,2\text{e}^{1-0,5t}\left(2-t\right)}$

1. b) Pour tout $t$ de [0 ; 12], $f'(t)=0,2\text{e}^{1-0,5t}\left(2-t\right)=0,2\text{e}^{1-0,5t}\times 2\left(1-\dfrac{1}{2}t\right)=\boxed{ 0,4(1 - 0,5t)\text{e}^{1-0,5t}}$

1. c) Comme pour tout $t$ de $[0;12]$ , $0,4\text{e}^{1-0,5t}>0$ , le signe de $f'(t)$ est celui de $1-0,5t$
Or, $\begin{cases}1-0,5t>0\Longleftrightarrow 1>0,5t\Longleftrightarrow t<2 \\1-0,5t<0\Longleftrightarrow 1<0,5t\Longleftrightarrow t>2\\1-0,5t=0\Longleftrightarrow 1=0,5t\Longleftrightarrow t=2\end{cases}$
On en déduit : $\boxed{f'(t)>0 \text{ pour tout }t \text{ de }[0;2] \text{ , } f'(t)<0 \text{ pour tout }t \text{ de } [2;12] \text{ , avec } f'(2)=0}$

1. d) Tableau de variations : $\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline {t} & 0 & &2 & & 12 \\ \hline f(t) & & + & \barre{0} & - & \\ \hline \niveau{2}{3} f & f(0) &\croit & f(2) & \decroit & f(12) \\ \hline \end{tabvar}$

2. Tableau de valeurs :

$t$	0	0,25	0,5	1	2	3	4	6	9	12
$f(t)$	0	0,24	0,42	0,66	0,8	0,73	0,59	0,32	0,11	0,03

Partie B

1. Comme 1 h 30 min = 1,5h, la concentration demandée est $f(1,5)=0,4\times 1,5\text{e}^{1-0,5\times 1,5}\approx\boxed{0,77}$
Donc : La concentration plasmatique 1 h 30 min après l'administration du médicament est 0,77 mg.L^-1

2. D'après le graphique (voir pointillés oranges) les valeurs de $t$ pour lesquelles la concentration plasmatique est de 0,7 mg.L^-1 sont : $t\approx 1,15h$ ou $t=3,2h$ , soit 1 h 09 min ou 3 h 12 min

3. D'après le graphique (voir pointillés bleus), la durée pendant laquelle la concentration reste supérieure à 0,3 mg.L^-1 est : 6,25 - 0,3 = 5,95h, soit : 5 h 57 min
Figure :

Bac SMS, Polynésie Française 2007 - terminale : image 1

Publié par Cel/dandave le 13-06-2014

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